四川绵阳市2025-2026学年高二下学期期末教学质量测试数学（A）

高中2024级第二学年末教学质量测试 数学（A） 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页：答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数在区间上的平均变化率为 A．-3 B．-2 C．3 D．4 2、已知随机变量服从两点分布，若，则 A． B． C． D． 3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和．后人把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则 A．13 B．21 C．34 D．55 4．某篮球运动员每次投球的投中率是，每次投球的结果相互独立，则他投球4次，恰好投中2次的概率为 A． B． C． D． 5．已知一组数据，，，的方差为4、则数据，，，的方差为 A．5 B．8 C．16 D．17 6．某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课．某学生需从中选修3门，且至少包含一门技能类的选修课，则该生不同的选课方案的种数为 A．18 B．30 C．31 D．34 7．已知等差数列的前项和为，且，，则 A．-18 B．18 C．-36 D．36 8．函数的大致图象是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，且满足，，则 A． B．为等比数列 C． D． 10．设，是一次随机实验中的两个事件，若，，，则 A．与相互独立 B． C． D． 11．已知函数，是的一个极值点，则 A． B．的极大值为 C．当时，关于的方程仅有一个实数解 D．若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填写在答题卡的横线上． 12．曲线在点处的切线方程为__________． 13．的展开式中的系数为__________．（用数字作答） 14．某图书馆，有（，且）种不同的课外书，每种书至少有2本．甲从中随机选3种借阅，乙从中随机选4种借阅，甲乙选择的结果相互独立．记为被甲或乙选中的图书种数，若的均值为6，则__________． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列满足，数列为等比数列，且，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16．（15分） 已知函数． （1）求的最大值； （2）对任意，，求实数的取值范围． 17．（15分） 某校引入AI学习平台，高二全体学生参加了一次该平台的数学能力测试（满分150分），测试分数，且已知，．平台将数学测试成绩从高到低按照20%，30%，30%，20%的比例分为A，B，C，D四个等级，用于后续的个性化习题推荐． （1）若甲、乙、丙三位同学在该项测试中的分数分别是：129、99、75，试确定三人各自成绩的等级； （2）已知该次测试单选最后一道题，共4个选项，等级为A的同学都能选对，等级为B的同学能排除2个错误选项后再随机选，等级为C的同学能排除1个错误选项后再随机选，等级为D的同学随机选一个选项，且没人漏选．若从参加该次测试的学生中随机抽取1人，求该生答对这道题的概率． 18．（17分） 设函数，． （1）分别讨论，的单调性； （2）设数列满足，证明：； （3）设函数，且在区间上单调递增，求整数的最小值． 19．（17分） “中国天眼”FAST射电望远镜在银道面脉冲星巡天项目中，锁定了颗候选脉冲星，编号为，，，，．科研团队计划安排次跟踪观测，每次观测1颗，观测规程规定：第次跟踪观测时，若选中的脉冲星编号为，且满足，则认定该次观测成功捕获1组有效脉冲信号．科研团队设计了两种观测方案： 方案一：每次观测均从颗候选脉冲星中，等概率随机选择； 方案二：每次随机选择，且观测过的脉冲星不再列入后续选择的范围． （1）若采用方案一，且当，时，设第1，2，3次观测，成功捕获有效脉冲信号的概率依次为，，． （i）求，，； （ii）记该望远镜前3次观测中，成功获取有效脉冲信号的组数为，求； （2）已知：若随机变量服从两点分布，且，，，，，则．试比较两种方案下，该望远镜成功捕获有效脉冲信号的组数的数学期望的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $