四川绵阳市2025-2026学年高二下学期期末教学质量测试数学（A）

【考试时间：2026年7月7日14：10一16：10】 高中2024级第二学年末教学质量测试 数学(A) 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页：答题卡共6页。满分150分， 考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同 时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内。 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦 干净后再选涂其它答案：非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出 答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.考试结束后将答题卡收回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.函数f(x)=x2-2x在区间[-1,0]上的平均变化率为 A.-3 B.-2 C.3 D.4 2、已知随机变量X服从两点分布，若2P(X=)=3P(X=0),则P(X=0)= a月 B c. D.} 3.、意大利著名数学家斐波郑契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3， 5,,这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每个数都等于它前面两 个数的和.后人把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则ag= A.13 B.21 C.34 D.55 4.某篮球运动员每次投球的投中率是 每次投球的果相互独立，则他投球4次，恰好 投中2次的概率为 A. B 27 C. D. 5.已知一组数据x1,2,…,x幻的方差为4、则数据2x1+1,2x2+1,…,2x+1的方差为 A.5 C.16 D.17 高二数学试题第1页（共4页) 6.某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.某学生需从中选修3门，且至少包 含一门技能类的选修课，则该生不同的选课方案的种数为 A.18 B.30 C.31 D.34 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,且as+a4=6,a2+3as=10,则Sy= A.-18 B.18 C.-36 D.36 8.函数f)=e2x-少的大致图象是 x-1 A. B. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题园要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=8,n∈N°，则 4.a1=4 B.{an}为等比数列 C.S3=6 D.4≤Sw<8 10.设么B是一次随机实验中的两个事件，若P④行，P风4)-子，P(4=分，则 A.A与B相互独立 B.P國-号 C.P=月 D.PuU=号 11.已知函数f(x)=(4-x)(x-a)2(a>0),x=1是f(x)的一个极值点，则 A.a=1 B.f(x)的极大值为0 C.当m>4时，关于x的方程f(x)=m仅有一个实数解 D.若1≤x<x2≤3，则f(4-)+f(x2)>4 高二数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。将答案填写在答题卡的横线上。 12.曲线y=e+x在点(0,1)处的切线方程为 13.(x2-2)的展开式中x6的系数为 (用数字作答) 14.某图书馆，有n(n≥7，且nEN*)种不同的课外书，每种书至少有2本.甲从中随机选 3种借阅，乙从中随机选4种借阅，甲乙选择的结果相互独立.记X为被甲或乙选中 的图书种数，若X的均值为6，则n= 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 已知数列{an}满足am1-an=1(n∈N),数列{bn}为等比数列，且b,=a1=1,b,=a8. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn. 16.(15分) 已知函数f创=x- 2 (1)求f(x)的最大值； (2)对任意xeR,f(x)<(1-e)x+a,求实数a的取值范围. 17.(15分) 某校引入AI学习平台，高二全体学生参加了一次该平台的数学能力测试（满分150 分)，测试分数X~N(90,o2),且已知PX<125)=0.8,P(80<X<100)=0.2.平台将 数学测试成绩从高到低按照20%，30%，30%，20%的比例分为A,B,C,D四个等级， 用于后续的个性化习题推荐 (1)若甲、乙、丙三位同学在该项测试中的分数分别是：129、99、75，试确定三人 各自成绩的等级： (2)已知该次测试单选最后一道题，共4个选项，等级为A的同学都能选对，等级 为B的同学能排除2个错误选项后再随机选，等级为C的同学能排除1个错误选项后再随 机选，等级为D的同学随机选一个选项，且没人漏选.若从参加该次测试的学生中随机抽 取1人，求该生答对这道题的概率 高二数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 设函数f(x)=alnx-x+l(a≠0)，g(x)=sinx-x(x≥0). (1)分别讨论f(x),g(x)的单调性： (2》设数列a,满是a,=血中neN运明：立4<ha+0: (3)设函数F(x)=∫(x)-g(x),且F(x)在区间(O,)上单调递增，求整数a的最小值， 19.(17分) “中国天眼”FAST射电望远镜在银道面脉冲星巡天项目中，锁定了m颗候选脉冲星， 编号为1,2,3，…，m(m∈N).科研团队计划安排t次跟踪观测，每次观测1颗，观测规 程规定：第k次跟踪观测时，若选中的脉冲星编号为x,且满足x≤k,则认定该次观测成 功捕获1组有效脉冲信号、科研团队设计了两种观测方案： 方案一：每次观测均从m颗候选脉冲星中，等概率随机选择； 方案二：每次随机选择，且观测过的脉冲星不再列入后续选择的范围。 (1)若采用方案一，且当m=4,3时，设第1,2,3次观测，成功捕获有效脉冲信 号的概率依次为p1,p2,P3 (i)求p1,p2,p3 ()记该望远镜前3次观测中，成功获取有效脉冲信号的组数为X,求（☒： (2)已知：若随机变量X,服从两点分布，且P(X,=1)=1-P(X,=0)=P,=1,2,…, R,则E2X)=P,·i 试比较两种方案下，该望远镜成功捕获有效脉冲信号的组数的数 ial =I 学期望的大小，并说明理由 高二数学试题第4页（共4页） 高中2024级第四学期末教学质量测试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分： 1.A2.C3.B4.B5.C6.C7.B8.D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9.ABD 10.BD 11.ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.2x-y+1=0; 13.-160: 14.12 四、解答题：共77分。 15.解：(1)an+1-4n=1, .数列{n}是公差为1的等差数列， …1分 所以n=n, …2分 又{bm}是等比数列，且b=4=1,b4=a=8, …3分 设公比为g,则b=b·g3,即8=1g3,解得9=2，… …5分 .bn=1.2m-=2; …6分 （2)anbn=n-2-1, …7分 ∴.Tn=12°+22+3-22+L+n2m-1,… …8分 .2Tn=1…2+2,22+3.23+L+(-1).2"+n.2”,.9分 ∴.-1=1+2+22+L+2"-1-n-2”… …10分 =1-2 --n-2" 1-2 =(1-n)2”-1, .T=(n-1)2”+1.…13分 6解：(1)由f)=x-e2,得f)=-c2, …1分 令f'(x)=1-c2x>0,则x<0,故∫(x)在(-0,0)上单满递增，…2分 第1页共6页 当x>0时，f'(x)<0,f(x)在(0，∞)单调递减， …3分 所以当x=0时，f)取最大值0)=一行，无最小值：…5分 (2)由f)<1-ex+a,得2e2-ex+a>0, …7分 构造函数g)=e-er+a,则g)=e-e, …9分 令g(x)=e2-e>0,则x>2 g ..... …10分 故当x>时，g>0,8)单调递增， …11分 x<时，g)<0,g)单调递减， ……12分 故当x=宁g取极小值也是最小值，g兮 e_e+a>0, ……14分 22 .a>0.… …15分 17.解：(1)由题意得P(X≥125)=1-P(μ<125)=02，…1分 125)=0.5-P(X≥25)-5P80<X<100)=0.2,… P(90≤X≤125)=0.3，由对称性知： ∴A等级分数对应的区间约为[125,150]， 3分 B等级分数对应的区间约为[90,125)， …4分 C等级分数对应的区间约为(55,90)，…5分 D等级分数对应的区间约为[0,55]，…6分 故甲，乙，丙三位同学的等级分别是：A,B,C;…7分 （2)记事件M:该题答对；事件N1:该生等级为A;事件N2:该生等级为B; 事件N:该生等级为C;事件N4:该生等级为D,…8分 由全概率公式： P(M)=P(N)P(MIN)+P(N2)P(MIN2)+P(N3)P(MIN)+P(N)P(MIN),........10 PM)=1.POMNMN)POMIN …12分 第2页共6页 PM=0.2x1+0.3xt0.3×+0.2x 11 421 …14分 2 3 、该题的正确率为2 .......... …15分 18.解：(1)对于fx)=alnx-x+1(x>0),求导得f)=g-1=a-x, …1分 若a<0时，”(x)<0,f(x)在(0，+oo)上单调递减；…2分 若a>0时，令f'(x)=0得x=a, x∈(0，a)时，f”(x)>0,f(x)在(0，a)上单调递增； x∈(a,+oo)时，f'(x)<0,f(x)在(a,+o)上单调递减；…3分 对于g(x)=sinx-x(x≥0)，求导得g(x)=cosx-1≤0，…4分 故g(x)在[0，+o上单调递减；… …5分 (2)由(1)知g(x)在[0，+o)上单调递减，且g(0)=0, 于是g(x)≤g(0)=0,则si≤0(x≥0)，等号仅在=0时成立， 因此对ieN*有a=9in,人<⊥， …6分 i+1i+1 又由(1)，取a1得f(x)=lnx-x+1,其在=1处取得最大值f(I)=0, 故lnx≤x-1(x>0),等号在1时成立，… …7分 令x=点(iEN),则n点<A-1=-L,等号仅在时成立。 i+1 “i+1i+1 i+1 即n+L,则n+)-ni> …8分 i+1 a =sin-1s 1 <ln(i+)-lni,… …9分 “i+1i+1 对i=1,2,3,…n累加： 交-交26+0-h时=o+小-h=nt,E华10分 (3)由题意F(x)=f(x)-g(x)=alnx-x+1-(sinx-x)=alnx-sinx+l. Fx)在(0，)上单调递增，等价于F'(x)=a-cosx≥0在(0，π)上恒成立， 第3页共6页 即a≥xcosx在(0，π)上恒成立. 11分 记h(x)=xcosx(x∈(0，π). 当xe写，π)时，os≤0，故(0 12分 当x∈(0，乃)时，利用熟知不等式tax>x(可由求导或单位圆几何意义得到)， 有simx>x→sinx>XCOS. 13分 coSx 又sinx<1(因x<号)，于是CO<inx<1小 …14分 综上，h(x)<1在区间(0，)上恒成立.因此只要取a≥1. 验证1确实可行：此时F(x)=二-cosx. …15分 易知在(0孕上量>cosx:在写列上cosx0< 故F(x)>0在(0，)上恒成立，Fx)严格单调递增.… …16分 而当0（非正整数）时，F'(x)=-cosx在(0，乃)上为负，不满足条件， 因此，满足题意的整数a的最小值为1.…17分 方法二：由题意F(x)=f(x)-g(x)=alnx-x+l-(sinx-x)=alnx-sinx+l. Fx)在(0，元)上单调递增，等价于F'(x)=a-cos≥0在(0，)上恒成立， 即a≥xcosx在(0，元)上恒成立.… …11分 记h(x)=xcosx(x∈(0，π)，则h(x)=-xsinx+cosx, 易知，当xe吃)时，h)<0,则在区间号，上单调递减： 令p(x)=h(x)=-xsinx+cosx,则p'(x)=-xcOSx-2sinx,…l2分 当x∈(0，召)时，易知p'(x)<0,则px)=H()在区间0，)上单调递减， 又M孕>0，M孕<0，则存在x∈（牙，孕使得M,)=0,即sin名=c0s%, 第4页共6页 13分 ∴.x∈(0，x)时，h'(x)>0,h(x)为增函数； 六xe(孕时，<0，M树为减通数， 14分 '.h(x)在区间(0，x)为增函数，在区间[，π)上是减函数， ∴.h(x)≤h(x)=cosx=)2sin0, …15分 令4)=2snx,易知()在（匠孕上是增函数， 0<0x)<③=rsm号<1， 16分 ∴.满足题意的整数a的最小值为1.… 17分 19.解：(1)()当m=4,3时，且是有放回抽样，则A=4P=42’B=4 21 3 …3分 (i)方法1：随机变量X的可能取值为0,1,2,3， pX=0=3x1x13 42432 x-0=g对2员 px=2)=3x5x2+x2x2+xx1-3 42442442432 x-动分2 EX0=0x3+1x13+2x13+3x3=48_3 …7分 323223232322 方法2：该望远镜3次观测成功获取有效信号的总组数为X, 设X:= 「1，第次观测成功获取有效脉冲信号 （=1,2,3,…,1),…4分 0,第次观测未成功获取有效脉冲信号 213 因为方案一是有放回抽取，且由()知n=4'P=4-2'B=4, .E(X)=乃，E(X2)=乃2，E(X3)=P3,…6分 第5页共6页 又X=2x, 故：E(X)=P+P2+P3= 3 7分 (2)记成功获取有效脉冲信号组数为Y, 设y,= 1,第次观测成功获取有效脉冲信号 （户1,2,3，…，t),…8分 0,第次观测未成功获取有效脉冲信号 方案一：因为是有放回抽取，且x≤i,即x=1,2,…,i,共i种结果， 因此py=D=1，则EY)=pY=)=三， m m 叉y-2 故：0m=2E0Y)=2=1+2+3++1-化+0，…12分 i=l m m 2m 方案二：无放回依次抽取，等价于从m个编号中随机选1个进行有序排列. 又因为任意指定第；个位置，每一个编号出现在该位置的概率都是品=⊥， m 故因为满足条件x≤i的编号共i个，且这i个编号每一个编号出现在该位置的概率都 A m 仍然有p化=)=ix1,则E(Y)=py=)= …15分 m 故：B0=2B)=22=1+2+3++1_4+ …16分 i=lm m 2m 综上所述：两种方案下成功获取有效脉冲信号组数的数学期望相等.…17分 第6页共6页