2026-2027学年人教版九年级上册数学第二十五章-第三十章

该初中数学知识清单系统梳理了第二十五章至第三十章核心内容，涵盖一元二次方程、二次函数、反比例函数、旋转、圆及直线与圆位置关系等关键知识范畴，搭建了从概念定义到解法应用再到几何性质探究的递进式学习支架。 清单通过知识点分级、表格对比及公式推导过程呈现完整知识体系，如二次函数不同形式的图象性质用表格清晰对比参数影响，培养学生抽象能力与几何直观。特别标注重难点如“一元二次方程根的判别式”并附应用示例，设计“实际问题公式模型”如传播问题关系式，助力不同学生高效掌握，教师可直接用于备课与分层教学，提升课堂针对性。

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 知识点1 一元二次方程的概念及满足条件 1. 一元二次方程的概念 一般地，如果方程中只含有 ，且含有未知数的式子都是整式，未知数的 ，这样的方程叫作 . 2. 一元二次方程满足的条件 （1）方程的两边都是 ；（2）化简后方程中只含有 ；（3）化简后未知数的 . 知识点2 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 （a≠ 0）. 其中ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 知识点3 一元二次方程的解（根）的概念 使一元二次方程 的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 25.2 降次——解一元二次方程 知识点1 直接开平方法 1. 概念：根据 的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法，叫作直接开平方法. 2. 方程x2=p 的根的情况 一般地，对于方程x2=p， （1） 当p>0 时，根据平方根的意义，方程有 的实数根x1=- p ，x2= p ； （2） 当p=0 时，方程有 的实数根x1=x2=0； （3） 当p<0 时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程 . 知识点2 配方法 1. 概念：通过配成 来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 配方是为了利用开方实现 ，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 2. 方程（x+n）²=p 的根的情况 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（x+n）2=p 的形式，那么就有： （1） 当p>0 时，方程有两个不相等的实数根x1=-n+ p ，x2=-n- p ； （2） 当p=0 时，方程有两个相等的实数根 ； （3） 当p<0 时，因为对任意实数x，都有（x+n）2≥0，所以方程无实数根. 02 01 学科网（北京）股份有限公司 知识点3 公式法 1. 当Δ≥ 时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根可写为x -b ±b2 - 4ac = 2a 这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式. 的形式， 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0 的结果. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作 . 2. 判别式与一元二次方程根的关系 Δ > 0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根üΔ≥0⇔方程有实数根 Δ = 0 ⇔ 方程有两个相等的实数根 ýþ Δ<0⇔方程无实数根 知识点4 因式分解法 先 ，使方程化为 一次式的 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 知识点5 一元二次方程的根与系数的关系 方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1，x2 和系数a，b，c 的关系是 . 25.3 实际问题与一元二次方程 知识点1 传播问题的类型与特征 1. 连续性传播 设a 为传染源数，x 为每个传染源传播的个数，传播两轮后传染的总个数为b，则 . 2. 非连续性传播 设a 为传染源数，x 为每个传染源传播的个数，传播两轮后传染的总个数为b，则 . 知识点2 平均变化率问题 若a 为起始量，b 为增长（或降低）两次后的量，平均增长（或降低）率为x，则b=a（1+x）（2 或b= a（1-x）2）. 第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 知识点 二次函数的概念和一般形式 1. 二次函数的概念 一般地，形如 （a，b，c 是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数. 其中，x 是自变量，a，b，c分别是函数解析式的 、 和 . 2. 二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都可以化成y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的形式，因此，把y= ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）叫作二次函数的 . 26.2 二次函数的图象和性质 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 a 的 正负 大致图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<0 时，y 随x 的增大 a>0 向上 而 ； 当x>0 时，y 随x 的增大 当x=0 时， y 最小值=0 y 轴 （或x=0） （0，0） 而增大 当x<0 时，y 随x 的增大 a<0 向下 而增大； 当x>0 时，y 随x 的增大 当x=0 时， y 最大值=0 而减小 知识点2 二次函数y=ax²+k 的图象和性质 a 的正负 a>0 a<0 k 的正负 k>0 k <0 k>0 k <0 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴（或x=0） 顶点坐标 （0，k） 增减性 当x<0 时， ； 当x>0 时，y 随x 的增大而增大 当x<0 时，y 随x 的增大而增大； 当x>0 时，y 随x 的增大而减小 最值 当x=0 时，y 最小值=k 当x=0 时，y 最大值=k 知识点3 二次函数y=a（x-h）²的图象和性质 a 的正负 a>0 a<0 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h 顶点坐标 增减性 当x<h 时，y 随x 的增大而减小； 当x>h 时，y 随x 的增大而增大 当x<h 时，y 随x 的增大而增大； 当x>h 时，y 随x 的增大而减小 最值 当x=h 时，y 最小值 = 0 当x=h 时，y 最大值 = 0 04 03 学科网（北京）股份有限公司 知识点4 二次函数y=a（x-h）2+k 的图象和性质 a 的正负 a>0 a<0 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h 顶点坐标 （h，k） 增减性 当x<h 时，y 随x 的增大而减小； 当x>h 时，y 随x 的增大而增大 当x<h 时，y 随x 的增大而增大； 当x>h 时，y 随x 的增大而减小 最值 当x=h 时，y 最小值=k 当x=h 时，y 最大值=k 知识点5 二次函数图象的平移规律 知识点6 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质 1. 用配方法将二次函数y=ax²+bx+c 化成y=a（x-h）²+k 的形式) ( y=ax²+bx+c ¾¾¾® y=a配方 x + b 2a 2 4ac - b2 + 4a ，对称轴是 ，顶点坐标是 . 2. 二次函数y=ax²+bx+c 的图象和性质 a 的正负 a>0 a<0 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 ( b 4ac - b2 ) - 2a ， 4a 续表 增减性 当x<- b 时，y 随x 的增大而减小； 2a 当x>- b 时，y 随x 的增大而增大 2a 当x<- b 时，y 随x 的增大而增大； 2a 当x>- b 时，y 随x 的增大而减小 2a 最值 b 4ac - b2 当x=-2a 时，y 最小值 = 4a b 4ac - b2 当x=-2a 时，y 最大值 = 4a 3. 用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式形式 适用情形 一般式y=ax²+bx+c（a≠0） 已知抛物线上任意三个点的坐标（或任意三对x，y 的值），可设为一般式y=ax²+bx+c，列出关于a，b，c 的方程组，求值，再回代到y=ax²+bx+c 中即可 式y=a（x-h）²+k （a≠0） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大（小）值，可设为顶点式 y=a（x-h）²+k，再把已知的另外一个点的坐标代入，即可求出待定系数的值 交点式 y=a（x-x1）（x-x ₂） （a≠0） 已知抛物线与x 轴的两个交点的坐标或已知抛物线与x 轴的一个交点的坐标和对称轴，可设为交点式 y=a（x-x1）（x- x₂），其中x1，x₂是抛物线与x 轴交点的横坐标 26.3 二次函数与一元二次方程 知识点1 二次函数的图象与x 轴的交点和一元二次方程根的关系 b2-4ac 的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的交点 a>0 有两个交点 有一个交点 无交点 a<0 有两个交点 有一个交点 无交点 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实 数根 有两个不相等的实数根 有 的实 数根 没有实数根 06 05 学科网（北京）股份有限公司 知识点2 二次函数与一元二次不等式的关系 b2-4ac 的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a>0 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点 不等式ax2+bx+c>0 的解集 x< x1 或x>x2 x≠x1 （或x≠x2） 全体实数 不等式ax2+bx+c<0 的解集 x1<x<x2 无解 无解 a<0 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点 不等式ax2+bx+c>0 的解集 x1<x<x2 无解 无解 不等式ax2+bx+c<0 的解集 x<x1 或x>x2 x≠x1 （或x≠x2） 全体实数 第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 知识点1 反比例函数概念 一般地，形如 的函数叫作反比例函数，其中 x 是 ，其取值范围是 . 知识点2 反比例函数的三种形式 解析式（三种形式）： . 27.2 反比例函数的图象和性质 知识点 反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象由两条曲线组成，称为双曲线. 函数 y= k k 为常数，k≠0） x（ 大致图象 k>0 k<0 图象特征 图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴 经过的象限 象限 象限 增减性 在每一个象限内，y 随x 的增大而 在每一个象限内，y 随x 的增大而 轴对称性 图象关于直线 成轴对称 中心对称性 图象关于 成中心对称 08 07 学科网（北京）股份有限公司 知识点1 旋转及其相关概念 第二十八章 旋转 28.1 图形的旋转 1. 把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，叫作图形的旋转. 点O 叫作 ，转动的角叫作 . 2. 图形旋转的三要素： . 3. 如果图形上的点P 经过旋转变为点P'，那么这两个点叫作这个旋转的 . 4. 在旋转过程中，始终 的那个点就是旋转中心，旋转中心既可以在 ，也可以在 ，还可以在 . 知识点2 旋转的性质 1. 旋转的性质 （1） 对应点到旋转中心的距离 . （2） 对应点与旋转中心 等于旋转角. （3） 旋转前、后的图形 . 2. 旋转中心的确定 旋转中心为两对对应点所连线段的 的交点. 28.2 中心对称 知识点1 中心对称及其相关概念 1. 中心对称及其相关概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点对称或 ，这个点叫作对称中心（简称中心）. 这两个图形在旋转后能重合的对应点叫作 . 2. 中心对称的性质 （1） 成中心对称的两个图形中，对称点所连线段 ，而且被对称中心所平分. （2） 成中心对称的两个图形是全等图形. 知识点2 中心对称图形 1. 中心对称图形 把一个图形 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 2. 中心对称图形的性质 （1） 中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分. （2） 过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是 （面积和周长都分别相等）. 知识点3 关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为 . 第二十九章 圆 29.1 圆的有关概念 知识点1 圆的有关概念 1. 弦：连接 的线段叫作弧，如图，AB，AC 是弦. 2. 直径： 的弦叫作直径，如图，AB 是直径. 3. 弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧. 弧包括 .  （1） 优弧： 的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图，ABC 是优弧.  （2） 劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如图，AC 是劣弧. 4. 等圆：能够重合的两个圆叫作等圆. 同圆或等圆的半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆. 5. 等弧：在同圆或等圆中， 的弧叫作等弧. 知识点2 点和圆的位置关系 设⊙O 的半径为r，任意一点P 到圆心的距离OP=d，则有： （1） 点P 在 ⇔d >r，如图1； （2） 点P 在圆上⇔d=r，如图2； （3） 点P 在圆内⇔d<r，如图3. 知识点3 三角形的外接圆和反证法 1. 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的 . 2. 外心 外接圆的圆心是 的交点，叫作这个三角形的 . 3. 三角形外心的性质 三角形的外心到三角形三个 的距离相等，等于外接圆的半径. 4. 反证法 先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 这种方法叫作 . 反证法是一种间接证明命题的方法 . 29.2 圆的有关性质 知识点1 垂径定理及其推论 1. 圆的对称性 （1） 圆是轴对称图形，任何一条直径所在 都是圆的对称轴. （2） 圆是中心对称图形， 是它的对称中心. 2. 垂径定理及其推论 （1） 垂径定理： 平分弦，并且平分弦所对的 . （2） 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 . 知识点2 弧、弦、圆心角的关系 1. 圆心角的概念 我们把 的角叫作圆心角. 2. 圆心角、弧、弦之间的关系 （1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也相等. （2） 重要结论：①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. ②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 知识点3 圆周角定理及其推论 1. 圆周角定理： 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2. 圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等.②半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是 . 知识点4 圆内接多边形 1. 圆内接多边形的相关概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作 ，这个圆叫作这个 . 10 09 学科网（北京）股份有限公司 2. 圆内接四边形 如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫作 . 3. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的 . 29.3 弧长和扇形面积 知识点1 弧长公式 的圆心角所对的弧长为l=nπR . 180 知识点2 扇形面积公式 1. 圆心角为n°的扇形面积是 ； 2. 比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长表示扇形面积： ，其中l 为扇形的弧长，R为半径. 知识点3 圆锥及其侧面积和全面积 1. 圆锥的相关概念 圆锥是由一个 和一个 围成的几何体，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上 的线段叫作圆锥的 ，连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫作圆锥的高. 2. 圆锥的基本特征 （1） 圆锥的 通过底面圆的圆心，且垂直于底面； （2） 圆锥的 长都相等； （3） 圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆的半径r 恰好构成一个 三角形，则圆锥的母线长、圆锥的高、圆锥底面圆的半径三者之间的关系为h2+r2=l2. 3. 圆锥的侧面积和全面积 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为 . 因此圆锥的侧面积为 ，圆锥的全面积为 . 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 知识点1 直线和圆的位置关系 1. 直线和圆有三种位置关系 （1） 相交：直线和圆 ，这时称这条直线和圆相交，这条直线叫作圆的割线，如图1. （2） 相切：直线和圆 ，这时称这条直线和圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点，如图2. （3） 相离：直线和圆 ，这时称这条直线和圆相离，如图3. 2. 判断直线和圆的位置关系的方法 （1） 直观法：直接观察直线和圆的公共点的个数. （2） 判断圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系：直线l 和☉O 相交⇔d<r； 直线l 和☉O 相切⇔d=r；直线l 和☉O 相离⇔d>r. 知识点2 切线的判定与性质 1. 切线的判定定理 经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线. 2. 切线的性质定理 圆的切线垂直于 半径. 知识点3 切线长及切线长定理 1. 切线长 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 ，叫作这点到圆的 . 2. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角. 30.2 三角形的内切圆 知识点 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆 与三角形各边都 的圆叫作三角形的 ，这个三角形叫作圆的外切三角形. 12 11 学科网（北京）股份有限公司 2. 三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫作三角形的内心. 3. 三角形内心的性质 三角形的内心到三角形 的距离相等. 30.3 正多边形与圆 知识点1 正多边形的有关概念 1. 正多边形、正n 边形的概念 各边 ，各角也 的多边形是正多边形. 如果一个正多边形有n（n≥3）条边，那么这个正多边形叫作正n 边形. 2. 正多边形的判定 一个多边形必须同时满足各边相等和各角相等才能判定其是 . 3. 圆内接正多边形 一般地，把一个圆分成相等的一些弧，依次连接各等分点所得的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 4. 圆内接正多边形的相关概念 概念 图示 正多边形的中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个 正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫作正多边形的 半径 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多 边形的中心角 正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形的一边的距 离叫作正多边形的边心距 知识点2 正多边形的有关计算 1. 边长、半径、边心距之间的关系：设正多边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则 2. 正n（n≥3）边形的相关计算公式 （1）内角： . （2）外角： . a 2 +r2=R2. 2 （3 360° .( ) ）中心角： n （4） 周长：l=na（a 是正n 边形的边长）. （5） 面积：S=1 lr（l 是正n 边形的周长，r 是正n 边形的边心距）. 2 答 案 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 知识点1 1. 一个未知数 最高次数是2 一元二次方程 2.（1）整式 （2）一个未知数 （3） 最高次数是2 知识点2 ax2 + bx + c = 0 知识点3 左右两边相等 25.2 降次——解一元二次方程 知识点1 1. 平方根 26.3 二次函数与一元二次方程 知识点1 两个相等 第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 知识点1 y= k k 为常数，k≠0） 自变量（ x 不等于0 的一切实数 知识点2 y= k ，y=kx-1 ，xy=k（k 为常数， x k≠0） 27.2 反比例函数的图象和性质 2（. 1） 两个不相等 （2）两个相等 （3）无实数根 知识点 相交 第一、第三 第二、第四 减 知识点2 1. 完全平方形式 降次 小 增大 y=±x 原点 2（. 2） x1=x2=-n 第二十八章 旋转 知识点3 1.0 公式法 知识点4 分解因式 两个 乘积等于0 知识点5 x +x b x x = c1 2=- , 1 2 28.1 图形的旋转 知识点 1 1. 旋转中心 旋转角 2. 旋转中 心、旋转方向和旋转角 3. 对应点 4. 保持不 a a 25.3 实际问题与一元二次方程 动 图形的外部 图形的内部 图形上 知识点1 1.b=a（1+x）2 2.b=a+ax+ax2 知识点2 1（. 1）相等 （2）所连线段的夹角 第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 知识点 1.y=ax2+bx+c 二次项系数 （3）全等 2. 垂直平分线 28.2 中心对称 知识点1 1. 重合 中心对称 对称点 一次项系数 常数项 2. 一般式 2（. 1） 经过对称中心 26.2 二次函数的图象和性质 知识点2 1. 绕着某一个点旋转180° 重合 知识点1 减小 2（. 2） 全等图形 知识点2 y 随x 的增大而减小 知识点3 P（' -x，-y） 知识点3 （h,0） 知识点6 1.x=- b 2a b 4ac - b2 - 2a ， 4a( ) 第二十九章 圆 29.1 圆的有关概念 知识点1 1. 圆上任意两点 2. 经过圆心 2.x=- b 2a 3. 顶点 3. 半圆、优弧、劣弧 （1）大于半圆 5. 能够互相重合 2（. 1）轴 （2）母线 （3）直角 知识点2 （1）圆外 知识点3 1. 外接圆 2. 三角形三条边的垂直 平分线 外心 3. 顶点 4. 反证法 3.2πr πrl πr（r+l） 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 29.2 圆的有关性质 知识点1 1（. 1）有两个公共点 （2）只有一个 知识点1 1（. 1）直线 （2）圆心 公共点 （3）没有公共点 2（. 1）垂直于弦的直径 两条弧 （2）两条弧 知识点2 1. 垂直 2. 过切点的 知识点2 1. 顶点在圆心 2（. 知识点3 1. 一条弧 2. 直径 1）相等 知识点3 1. 线段的长 切线长 2. 相等 平分 知识点 4 1. 圆内接多边形 多边形的外接 圆 2. 圆内接四边形 3. 对角互补 29.3 弧长和扇形面积 知识点1 n° nπR2 1 30.2 三角形的内切圆 知识点 1. 相切 内切圆 2. 角平分线 3. 三条边 30.3 正多边形和圆 知识点1 1. 相等 相等 2. 正多边形 知识点2 1.S 扇形= 360 2.S 扇形=2 lR 知识点2 2（. （n - 2）× 180° 1 （2 360° 知识点3 1. 底面 侧面 任意一点 母线 ） n ） n $