2027届高考物理一轮复习专项训练：第五章 “gR法”求质量(密度)及第一宇宙速度与卫星运行参量分析与计算

**基本信息** 以“gR法”和卫星参量公式为核心，构建“实验测g→万有引力推导→星球参量计算”的系统性方法体系，强化物理观念与科学推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |“gR法”求质量(密度)及第一宇宙速度|5题，含竖直上抛、平抛、弹簧压缩等实验场景|通过GM=gR²关联g与R，结合ρ=3g/(4πGR)、v=√(gR)推导；地球自转时两极g₀=GM/R²，赤道g=g₀-ω²R|实验测量g→万有引力定律→密度/质量/第一宇宙速度，形成“g-R-M-ρ-v”推导链| |卫星运行参量分析与计算|5题，含多轨道卫星比较、同步卫星、拉格朗日点问题|万有引力提供向心力：a=GM/r²、ω=√(GM/r³)、v=√(GM/r)、T=2π√(r³/GM)，开普勒第三定律应用|轨道半径为核心，建立a、ω、v、T与r的定量关系，区分卫星与赤道物体运动差异|

“gR法”求质量(密度)及第一宇宙速度 1.已知某行星的平均密度与地球的平均密度大致相等，若探测器登陆到该行星后，做了竖直上抛实验，并作出位移-时间图像来研究行星的一些参量，图中甲、乙曲线分别是在地球上和该行星上以不同初速度竖直上抛的物体的位移-时间图像，不计空气阻力和星球自转。则下列说法正确的是(　　) A.该行星与地球的重力加速度大小之比为9∶11 B.该行星与地球的质量之比为27∶32 C.该行星与地球的半径之比为32∶27 D.该行星与地球的第一宇宙速度之比为272∶322 2.(多选)航天员抵达月球后，已知月球半径为R，在月球表面倾角为α的固定斜面上沿水平方向以v0抛出一个小球(可视为质点)，运动时间t后落回该斜面，已知引力常量为G，忽略月球的自转。则下面正确的是(　　) A.月球表面的重力加速度为g= B.月球的质量为M= C.月球的密度为 D.月球的第一宇宙速度为 3.(多选)由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。地球可视为质量分布均匀的球体。下列说法正确的是(　　) A.质量为m的物体在地球北极受到的万有引力大小为mg0 B.质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg C.地球的半径为 D.地球的质量为 4.假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为(　　) A. B. C. D. 5.(2025·四川成都市检测)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P无初速度轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a-x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　) A.M与N的密度相等 B.物块Q的质量是物块P的3倍 C.两个弹簧的最大压缩量相同 D.M与N的质量相等 卫星运行参量分析与计算 1.(2025·江苏省模拟)如图所示，在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星a、b、c、d，其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上。对于图示时刻四颗卫星的位置及运行方向如图所示，下列说法中正确的是(　　) A.a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度 B.b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度 C.a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度 D.b、d的周期相同，且小于c的周期 2.(2025·安徽合肥市模拟)我国计划在2030年之前实现载人登月，假设未来航天员乘飞船来到月球，绕月球做匀速圆周运动时，月球相对飞船的张角为θ，如图所示，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A.θ越大，飞船的速度越小 B.θ越大，飞船做圆周运动的周期越大 C.若测得周期和张角θ，可求出月球的质量 D.若测得周期和张角θ，可求出月球的密度 3.如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星。下列说法中正确的是(　　) A.b卫星线速度大于7.9 km/s B.a、b、c做匀速圆周运动的向心速度大小关系为aa>ab>ac C.a、b做匀速圆周运动的周期关系为Ta<Tb D.在b、c中，b的线速度大 4.(2025·安徽省江南十三校质检)卫星a在某星球的赤道平面内绕该星球转动，其轨道可视为圆，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P通讯，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为2R、周期为2T。引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A.卫星绕星球转动比星球自转快 B.卫星的速度大于该星球赤道上的物体随星球自转的速度 C.若卫星相对星球转动一周时间为t，则时间t内卫星可以与观测站P通讯的时间为t D.可以通过变轨调整，使卫星a降低到较低的圆轨道运行，且周期仍为2T 5.(2025·浙江杭州市检测)如图所示是地月天体系统，在月球外侧的地月连线上存在一个特殊点，称为拉格朗日点。在地球上发射一颗质量为m0的人造卫星至该点后，它受到地球、月球对它的引力作用，并恰好和月球一起绕地球以相同角速度做匀速圆周运动。已知相对于地球质量M和月球质量m来说，m0很小，所以卫星对地球和月球的引力不影响地球和月球的运动。设地心、月心间距为L，月心到该拉格朗日点的距离为d，则(　　) A.该卫星的线速度比月球的线速度小 B.该卫星的向心加速度比月球的向心加速度小 C.该卫星的发射速度大于第二宇宙速度11.2 km/s D.题中物理量满足等式=+ 参考答案 “gR法”求质量(密度)及第一宇宙速度 1.已知某行星的平均密度与地球的平均密度大致相等，若探测器登陆到该行星后，做了竖直上抛实验，并作出位移-时间图像来研究行星的一些参量，图中甲、乙曲线分别是在地球上和该行星上以不同初速度竖直上抛的物体的位移-时间图像，不计空气阻力和星球自转。则下列说法正确的是(　　) A.该行星与地球的重力加速度大小之比为9∶11 B.该行星与地球的质量之比为27∶32 C.该行星与地球的半径之比为32∶27 D.该行星与地球的第一宇宙速度之比为272∶322 答案　C 解析　从图像中可看出在地球上竖直上抛物体在空中上升运动的时间为2t，上升的高度为3H，3H=g(2t)2，同理在行星上有2H=g'(1.5t)2，联立解得=，选项A错误； 在地球表面有G=mg，在该行星表面有G=mg'，又M=ρ·πR3，M'=ρ·πR'3 联立解得=，=，选项B错误，C正确；对在星球附近做匀速圆周运动的卫星有=mg，解得v=，=，选项D错误。 2.(多选)航天员抵达月球后，已知月球半径为R，在月球表面倾角为α的固定斜面上沿水平方向以v0抛出一个小球(可视为质点)，运动时间t后落回该斜面，已知引力常量为G，忽略月球的自转。则下面正确的是(　　) A.月球表面的重力加速度为g= B.月球的质量为M= C.月球的密度为 D.月球的第一宇宙速度为 答案　CD 解析　令小球的位移为x，则有xsin α=gt2，xcos α=v0t 解得g=，故A错误； 在月球表面有G=mg，结合上述解得M=，故B错误； 月球的密度ρ=，结合上述解得ρ=，故C正确； 月球的第一宇宙速度等于月球表面运行的卫星的环绕速度，则有G=m 结合上述解得v1=，故D正确。 3.(多选)由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。地球可视为质量分布均匀的球体。下列说法正确的是(　　) A.质量为m的物体在地球北极受到的万有引力大小为mg0 B.质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg C.地球的半径为 D.地球的质量为 答案　ACD 解析　在北极，物体所需向心力为零，则万有引力完全等于重力，即F引=mg0，故A正确；万有引力大小由F=G决定，与纬度无关，在赤道，万有引力仍为mg0，等于重力与向心力之和，即mg0=mg+mR，故B错误；在赤道，万有引力与重力的关系为mg0=mg+mR，解得R=，故C正确；在两极，万有引力等于重力G=mg0，则M=，联立解得M==，故D正确。 4.假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　物体在地球的两极时有mg0=G，物体在赤道时有mg+m()2R=G，其中M=ρ·πR3，联立解得地球的密度ρ=，故B正确，A、C、D错误。 5.(2025·四川成都市检测)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P无初速度轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a-x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　) A.M与N的密度相等 B.物块Q的质量是物块P的3倍 C.两个弹簧的最大压缩量相同 D.M与N的质量相等 答案　A 解析　当x=0时，物体在星球表面只受重力的作用，所以此时a为星球表面的重力加速度，由图像得==3，根据=mg，得M=，则==27，由ρ=== 则==1，故A正确，D错误；当a=0时，弹力与重力平衡则kx0=mPgM，2kx0=mQgN 所以有=6，故B错误；物体运动到最低点时弹簧压缩量最大。根据简谐运动的定义可判断物体在星球表面做简谐运动，由运动的对称性，可得P下落时弹簧的最大压缩量为2x0，Q下落时弹簧的最大压缩量为4x0，故C错误。 卫星运行参量分析与计算 1.(2025·江苏省模拟)如图所示，在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星a、b、c、d，其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上。对于图示时刻四颗卫星的位置及运行方向如图所示，下列说法中正确的是(　　) A.a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度 B.b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度 C.a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度 D.b、d的周期相同，且小于c的周期 答案　A 解析　对人造卫星受力分析，根据牛顿第二定律有G=ma 可得，人造卫星的加速度为a= 由题可知，卫星a、c的轨道半径相等，且小于b的轨道半径，则a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度，故A正确； 对人造卫星受力分析，根据牛顿第二定律有G=mω2r，可得人造卫星的角速度大小为ω=，由于卫星a、c的轨道半径相等，且小于b的轨道半径，则a、c的角速度大小相等，且大于b的角速度，故B错误；对人造卫星受力分析，根据牛顿第二定律有G=m 可得，人造卫星的线速度大小为v=，由于卫星a、c的半径相等，且小于d的半径，所以a、c的线速度大小相等，且大于d的线速度，故C错误； 根据开普勒第三定律有=k，由于卫星b、d的半径相等，且大于c的轨道半径，则b、d的周期相同，且大于c的周期，故D错误。 2.(2025·安徽合肥市模拟)我国计划在2030年之前实现载人登月，假设未来航天员乘飞船来到月球，绕月球做匀速圆周运动时，月球相对飞船的张角为θ，如图所示，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A.θ越大，飞船的速度越小 B.θ越大，飞船做圆周运动的周期越大 C.若测得周期和张角θ，可求出月球的质量 D.若测得周期和张角θ，可求出月球的密度 答案　D 解析　根据几何关系可知，θ越大，飞船做圆周运动的半径r越小，由G=m，得v=，由G=m()2r，得T=2π，可知轨道半径越小，飞船线速度越大，飞船做圆周运动的周期越小，A、B错误；设月球的半径为R，若测得周期T和张角θ，由G=mr()2，r=，ρ=，可求得M=，ρ=，因为R未知，只能求出月球密度，不能求出月球质量，C错误，D正确。 3.如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星。下列说法中正确的是(　　) A.b卫星线速度大于7.9 km/s B.a、b、c做匀速圆周运动的向心速度大小关系为aa>ab>ac C.a、b做匀速圆周运动的周期关系为Ta<Tb D.在b、c中，b的线速度大 答案　D 解析　b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力提供向心力有G=m，解得v=，b卫星转动线速度等于7.9 km/s，故A错误； 地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa=ωc，根据a=rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据万有引力提供的向心力有G=ma，得a=，可知b的向心加速度大于c的向心加速度，故ab>ac>aa，故B错误； 卫星c为同步卫星，所以Ta=Tc，根据万有引力提供向心力有G=m，得周期T=2π，可知c的周期大于b的周期，所以Ta=Tc>Tb，故C错误； 根据万有引力提供向心力有G=m，得v=，可知b的线速度大于c的线速度，故D正确。 4.(2025·安徽省江南十三校质检)卫星a在某星球的赤道平面内绕该星球转动，其轨道可视为圆，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P通讯，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为2R、周期为2T。引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A.卫星绕星球转动比星球自转快 B.卫星的速度大于该星球赤道上的物体随星球自转的速度 C.若卫星相对星球转动一周时间为t，则时间t内卫星可以与观测站P通讯的时间为t D.可以通过变轨调整，使卫星a降低到较低的圆轨道运行，且周期仍为2T 答案　C 解析　卫星的周期为2T而星球自转周期为T，卫星的周期较大，转得慢，故A错误； 卫星的速度为v卫=rω卫=2R×=，该星球赤道上的物体随星球自转的速度为v物=Rω星=R×=，两者速度大小相等，故B错误； 在相对转动一周的时间t内，有120°的对应范围能够通讯，所以相对转动一周，通讯时长为t1=t，故C正确； 根据开普勒第三定律可知，通过变轨调整，使卫星a降低到较低的圆轨道运行，周期应小于2T，故D错误。 5.(2025·浙江杭州市检测)如图所示是地月天体系统，在月球外侧的地月连线上存在一个特殊点，称为拉格朗日点。在地球上发射一颗质量为m0的人造卫星至该点后，它受到地球、月球对它的引力作用，并恰好和月球一起绕地球以相同角速度做匀速圆周运动。已知相对于地球质量M和月球质量m来说，m0很小，所以卫星对地球和月球的引力不影响地球和月球的运动。设地心、月心间距为L，月心到该拉格朗日点的距离为d，则(　　) A.该卫星的线速度比月球的线速度小 B.该卫星的向心加速度比月球的向心加速度小 C.该卫星的发射速度大于第二宇宙速度11.2 km/s D.题中物理量满足等式=+ 答案　D 解析　卫星和月球的角速度相同，根据v=ωr，该卫星的线速度比月球的线速度大，故A错误； 根据an=ω2r，该卫星的向心加速度比月球的向心加速度大，故B错误； 当物体(航天器)飞行速度达到11.2 km/s时，就可以摆脱地球引力的束缚，飞离地球进入环绕太阳运行的轨道，所以该卫星的发射速度小于第二宇宙速度11.2 km/s，故C错误； 对卫星有 F向卫=G+G=m0ω2(L+d) 对月球有 F向月=G=mω2L 联立解得 =+ 故D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $