解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题复习讲义-2027届高三数学一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形四大核心考点，即中线问题、角平分线问题、高线问题和多三角形问题，按“核心知识点+解题原理+例题分析+变式训练”的逻辑架构系统整合，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化应用能力，助力学生突破解三角形难点。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如中线问题中用向量平方推导公式，角平分线问题中结合面积拆分与定理应用，多三角形问题中利用公共边建立方程，培养学生逻辑推理与模型建构能力。设置分层练习适配不同学情，为教师提供精准复习路径，高效提升学生解三角形综合应用能力。

2027届高三数学一轮复习讲义 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题复习讲义 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 多三角形问题 【知识点解析】 考德心知识点中线问题 中线定义 三角形顶点到对边中点的线段，记△ABC中，BC=a,BC边上中线AD=ma,D为 BC中点。 阿波罗尼斯中线公式：AB2+AC2=2AD+2BD2 核心公式 代入BD=号：62+c2-2m+号 2 文搭求线：风，号2+2石 面积性质 中线平分三角形面积，SaAm=S6cD= 2 向量法辅助 办=（丽+A心，两边平方快速推中线公式。 二、解题原理 1.己知两边及第三边上中线：直接代入中线公式求第三边： 2.己知一边、中线、一角：中线公式结合余弦定理联立方程组： 3.面积条件：利用中线等分面积，分别对两个小三角形用面积公式： 2027届高三数学一轮复习讲义 4.向量思路：无具体角度时，向量平方转化边长关系简化计算。 2 2027届高三数学一轮复习讲义 【例题分析】 例1.(25-26高三上吉林四平阶段检测)在△ABC中，己知AB=1,AC=2,∠BAC=60°，BC,AC边上的 两条中线AM,BN相交于点P,则∠MPN的余弦值为() √7 万 5 √5 A. 7 B.14 C.3 D.10 例2.(2425高三上山东聊城阶段检测)在△1BC中，角4，B,C的对边分别为a,b,C,向量m=(么c), n=(cosB,si血C）,m/m,若c=5,a=N6,则4C边上的中线BD为() √6 √15 V10 A.2 B.3 C.2 D.2 例3.(25-26高一下广西桂林期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinC=2sinB, 3b2 cos(B+C)<0,△ABC的面积为2· (1)求A: ②若a=25,M为4C中点. (i)求△ABC的周长： (i)求AC边的中线BM的长. 2027届高三数学一轮复习讲义 例4.(2526高=上辽宁大连期中)在△1BC中，内角4，B,C的对边分别是a,b,c,且 sinC+3cosC=a b=V3 (I)若a+c=2,求边AC上的角平分线BD长； (2)若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围， 【变式训练】 变式1.(2026：河北张家口三模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=4,b=3,AD为 BC边上的中线，且AD=3,则c=() A.27 B.2V5 c.7 D.3 变式2.(25-26高三上山西晋中~阶段检测)在△ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°，BC、AC边上的两条 中线AM、BN相交于点P,则∠NPM的余弦值为() 4V91 2W91 6W91 391 A.91 B.91 C.91 D.91 2027届高三数学一轮复习讲义 2027届高三数学一轮复习讲义 变式3.《2526商三上广东惠州月考)已知在。MBC中，c=26c0sB,C= 3 (1)求B的大小： (2考c= 3v5 4,求BC边上的中线长度. 变式4.(25-26高三上广东佛山期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 (sinC+3cosC )sinB=bsinA,b=3 (1)求B (2)若a+C=2,求边AC上的角平分线BD长： (3)求边AC上的中线BE的取值范围. 6 2027届高三数学一轮复习讲义 考点二 角平分线问题 【知识点解析】 一、核心知识点 AD平分∠A,交BC于D: 角平分线定理 BD AB c DC AC b 结合BD+DC=a,可求出BD、DC长度。 角平分线长度公式 2bccos2 ta= b+c ,t。 2bepp-a,p=a+b+c,为∠A平分线长) b+c 2 55bcsinA 面积拆分 号+ts A 角度性质 ∠BAD=∠CAD=A 二、解题原理 1.求线段分点长度：先用角平分线定理按比例分割底边： 2.求角平分线长度：两种路径 ①面积法：拆分两个小三角形面积相等： ②专用长度公式，代入三边直接计算： 3.边角混合条件：利用半角公式cos 结合正弦余弦定理化简。 【例题分析】 例1.(2025湖南邵阳模拟预测)已知在A4BC中，4B=4'AC=6,cosB 8若△ABC的角平分线AD交边 2027届高三数学一轮复习讲义 BC于点D,则AD=() 12 8v5 9 A.5 B.5 c. D.32 2027届高三数学一轮复习讲义 例2.（2025：四川成都三模)在6ABC中，∠84C- 3,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,若CD=V6AB, 则tan∠ABC=() A.3 2 B.3 C.1 D.2 例3.(2425高二下浙江温州期末)已知a,b,C分别为△ABC角A,B,C的对边， cosAcosB+cosC=sin2C-sin2A-sin2B (1)求C: (②若0=2,6=5，点D在边B上，且CD是1C S△ACD 的角平分线， 例4.(2425高一下江苏南京期末)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 a-b sinC-sin B c sinA+sinB· (1)求A: (2)若b=4,c=2,D为BC中点，求线段AD长： 2V3 (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D,求线段AD长的最大值. 9 2027届高三数学一轮复习讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高三上江苏南京期中)在△ABC中，AB=1,∠BAC=120°，AC=4,D是BC边上一点，AD 是∠BAC的角平分线，则AD的长为() 4 3 A.4 B.5 C.3 D.4 2 1+cosA ,AD是 变式2.(2526高三上江苏苏州月考)在。BC中，角4BC的对边分别为6C若6咖o ∠A的角平分线，点D在BC上，4D=v5,6=3c,则a=() 4V7 7 4 A.3 B.3 C.3 D.4 变式3.(25-26高三上黑龙江绥化月考)如图，已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,C,且 b2+c2=a2+bc D (I)求∠BAC的大小； (2)若b=4,C=6,设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长. 10 2027届高三数学一轮复习讲义 变式4.(2526高一下-山东聊城期中)在△1BC中，角 A,B. 所对的边分别是a6b=5,且 3c tan4+tanB bcosA (1)求角B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，求2a-C的取值范围： (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值 11 2027届高三数学一轮复习讲义 考点三 高线问题 【知识点解析】 一、核心知识点 高线定义 BC边上高ha,AD⊥BC,两个直角三角形Rt△ABD、Rt△ACD。 面积核心关系 sA一25 设BD=X,DC=a-X: 边长勾股关系 c2-h2=x b2-h2=(a-x2 两式相减消去h,可求底边分段长度。 角度直角条件 ∠ADB=∠ADC=90°，存在互余角。 二、解题原理 1.己知面积、一边，直接求对应高： 2.已知高、两边，用勾股建立二元方程组求底边： 3. 出现直角优先用勾股定理，再搭配余弦定理； 4.高线分割出两个直角三角形，可单独对小三角形使用三角函数。 【例题分析】 例1.(（2526商三上云南普洱月考)在。BC中，4= =41C边上的高等于34C,则osB=() 10 V10 310 310 A.10 B.10 C.10 D.10 2027届高三数学一轮复习讲义 例2.(2026山东青岛二模)在BC中，角4B,C所对的边分别为ab,c,a=2.b=1,V36cos)2=csin 则AB边上的高为() V3 A.3 B.1 C.5 D.2 例3。（2526商三上江苏徐州阶段检测)在△0C中，角4，B,C的对边分别为a,b,G,已知0sC= 5, csin A=4 (1)求4： (2)若csin B=12 ,求AB边上的高h 例4.(25-26高三上四川成都月考)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 c sin A+2sin Bcos A 2sin A 一，且b=25: (1)求角B的大小： (2)D为AC边上的一点，BD是角B的平分线，且 D=V5,求aMBC 的面积： (3)若△ABC为锐角三角形，求AC边上的高的取值范围. 13 2027届高三数学一轮复习讲义 【变式训练】 变式1，(2526高=上山东滨州期中)在△1BC中，1=45,4C=4,B=35,则BC ,则边上的高为() 6W10 6V5 3V10 A.210 B.5 C.5 D.5 变式2.(25-26高三上：四川成都期中)在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且BC=1,BC边上 的高等于tanA,则b2+c2=() A.v6 B.v5 C.3 D.2 变式3.(2026北京大兴三模)在△ABC中，sinA=2 sin Bcos C. (I)证明：△ABC为等腰三角形： (2)若AC边上的高与BC边上的高之比为1：3，求cosA. 14 2027届高三数学一轮复习讲义 1 变式4，(25-26高三上广西桂林月考)在A4BC中，cos1= 3 asinc=42 (1)求c: (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边上的高. 条件①：a=6: asinB=10v2 条件②： 3 条件③： △ABC 0W2 的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答得分. 公 2027届高三数学一轮复习讲义 考点四 多三角形问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1.题型特征：图形由2个及以上三角形拼接、嵌套而成（共边、共角、互补角、邻补角)。 2.公共条件（桥梁） ①公共边：两个三角形共用一条边，边长相等： ②公共角/等角：同一角、平行线内错角： ③互补角：平角、三角形邻补角，sina=sin(π-a),cosa=-cos(π-a; ④相等线段：中线、角平分线、高线、全等传递边长。 3.常见模型：两个三角形共底边、高低错落测量、四边形分割为两三角形。 二、解题原理 1.寻找公共边/等角作为等量桥梁，建立两个三角形的边角等式： 2.分别对两个独立三角形列正弦/余弦定理； 3.遇互补内角：正弦相等、余弦互为相反数，代入化简： 4.设统一未知量（公共边长X)联立方程求解； 5.面积类多三角：总面积拆分若干小三角形面积相加。 【例题分析】 考向一 爪型三角形中的解三角形问题 例1.(2425高三上湖南长沙阶段检测)已知△MBC 的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 2b-3c=2acos C (1)求A: (2)若△ABC 的面积 4N5simB=1+cosC,点D为边 C上靠近B的四等分点，求AD的长 6 2027届高三数学一轮复习讲义 例2.(25-26高三上广东广州月考)如图，在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，∠ADC=60°， AD=2. B D (1)若∠ACD=45°，求三角形△ABC的面积： AC (2)当AB最小时，求BD的长. 考向二 四边形中的解三角形问题 例3. (2026江西新余模拟预测如图，在四边形4BCD中，D:4:pC=5,cos=0osC cosD= B D (1)求cosA: (2)求四边形ABCD的面积 4 2027届高三数学一轮复习讲义 例4.(2425高三上湖北：阶段检测)如图，在平面四边形ABCD中， AB=5,AD=4,cos∠BAD= '<BCD=90. 1 D (I)若AC与BD交于点O,且BD⊥AC,求BO的长： (2)求四边形ABCD周长的最大值. 【变式训练】 考向一 爪型三角形中的解三角形问题 变式1.(2425高三上福建厦门阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 2b+c-2acos C=0 (1)求A: (②)若D为BC边上-点，∠BMD=3∠C1D,AC=4AD=V5 求sinB 18 2027届高三数学一轮复习讲义 变式2.(25-26高三上湖南衡阳·月考)如图，在△ABC中，AB=2,3 acosB-bcosC=ccosB,点D在线段BC上 B D C ()若∠ADC=3 ,求D的长： 4v2 sin∠BAD (2)若BD=2DC,△ABC的面积为3，求sin∠CAD的值. 考向二四边形中的解三角形问题 变式3.(2425高三上江西萍乡期中)如图，在平面四边形MBCD中，∠D=2∠B,CD=3AD=3.BC=6 cosB=V3 3· B (1)求四边形ABCD的周长； (2)求四边形ABCD的面积. 19 2027届高三数学一轮复习讲义 变式4.(25-26高三上新疆乌鲁木齐月考)如图，在平面四边形ABCD中，AC-4,BC⊥CD. B D (1)若AB=3,BC-2,CD=5,求△ACD的面积； @贴-0-8成兽 31 AD-BC 的最大值 202027届高三数学一轮复习讲义 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题复习讲义 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 多三角形问题 考点一 中线问题 【知识点解析】 一、核心知识点 中线定义 三角形顶点到对边中点的线段，记中，，边上中线，为中点。 核心公式 阿波罗尼斯中线公式： 代入： 变形求中线长： 面积性质 中线平分三角形面积，。 向量法辅助 ，两边平方快速推中线公式。 二、解题原理 1. 已知两边及第三边上中线：直接代入中线公式求第三边； 1. 已知一边、中线、一角：中线公式结合余弦定理联立方程组； 1. 面积条件：利用中线等分面积，分别对两个小三角形用面积公式； 1. 向量思路：无具体角度时，向量平方转化边长关系简化计算。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，可得为直角三角形，建立平面直角坐标系，即为，的夹角，利用向量夹角的坐标表示即可求出答案. 【详解】在中，由余弦定理可得 ，即， 因此满足，可得是以的直角三角形， 以B为坐标原点，，分别为x轴，y轴，如下图所示， 则，，，，， 则，， 易知即为向量，的夹角， 所以． 例2．（24-25高三上·山东聊城·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据平行条件结合正弦定理得出，再根据即可求出. 【详解】由题意得，，结合正弦定理得， 因，则，则， 若，则，与上式矛盾，故，则， 因，则， 因为AC边上的中线，则， 则 ， 则. 故选：C 例3．（25-26高一下·广西桂林·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为． (1)求A； (2)若，M为中点． （ⅰ）求的周长； （ⅱ）求边的中线的长． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）借助正弦定理与面积公式计算可得，再利用三角形内角和及诱导公式可求出的范围，即可得解； （2）（ⅰ）借助余弦定理计算即可得；（ⅱ）借助向量线性运算及数量积公式计算即可得. 【详解】（1）由，故， ，则， 故，即， 由， 故，故，故； （2）（ⅰ）由余弦定理可得，即， 解得，则，则的周长为； （ⅱ），则， ， 故， 故. 例4．（25-26高三上·辽宁大连·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，． (1)若，求边上的角平分线长； (2)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理结合两角和的正弦求出，再根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （2）利用向量加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1） 由及正弦定理得， 即， 即， 所以，因为，所以. 因为，所以. 由余弦定理得，又，所以， 由得， 所以，所以，解得. （2） 因为为的中点，所以， 则， 由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以， 即边上的中线的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（2026·河北张家口·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的余弦，再利用余弦定理列式求解. 【详解】在中，，则， 在中，，， 由余弦定理得. 变式2．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求三角形内角的余弦值，可以建立平面直角坐标系求出点坐标，进而求出三角形对应边长，利用解三角形的余弦定理求出角的余弦值. 【详解】以点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， ，点的坐标为，过点作于点， 在中，，，， 点的坐标为，是中点，点的坐标为，是中点， 点的坐标为，设直线的解析式为，将点的坐标为代入，得，解得， 直线，设直线的解析式为，将点，的坐标代入，得，解得， 直线，联立直线与直线方程组得，解得，即点的坐标为， 根据两点间距离公式：，，， 根据余弦定理可得：，，解得. 变式3．（25-26高三上·广东惠州·月考）已知在中，，． (1)求的大小； (2)若，求边上的中线长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，结合角的取值范围运算求解； （2）利用面积公式可得，结合余弦定理运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即， 又因为，则， 且，则，可得，所以. （2）由（1）可知，则， 因为，解得， 如图，设边上的中线为， 由余弦定理可得， 所以． 变式4．（25-26高三上·广东佛山·期中）在中，内角所对的边分别是，且． (1)求． (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）先把已知条件中的用展开，约去后可直接求得再由正弦定理得到外接圆直径为，从而 （2）由结合正弦定理得到，，的值，由边上的角平分线为，利用三角形面积公式得到，得到由余弦定理结合得到从而得到的值. （3）由为边上的中线得到，将此式子两边平方得到，由和余弦定理得到，利用正弦定理求出和且结合两角差的正弦公式通过计算得到，又结合正弦函数的图像和性质得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）由已知 又所以 而 故 代入得 展开后可得 消去相同项，得 因为三角形内角满足所以 从而即 又因为所以 （2）由小问（1）知 由正弦定理得 故且 已知，边上的角平分线为， 则， 即，即，因此 由余弦定理即 又因为所以 代入上式得从而 所以 （3）由为边上的中线，得到， 则 因为，由余弦定理 即. 所以，即， 因为，所以， 可知且 所以 因为 所以，所以， 所以，因此 因为，于是故 考点二 角平分线问题 【知识点解析】 一、核心知识点 角平分线定理 平分，交于： 结合，可求出长度。 角平分线长度公式 （为平分线长） 面积拆分 角度性质 二、解题原理 1. 求线段分点长度：先用角平分线定理按比例分割底边； 1. 求角平分线长度：两种路径 ① 面积法：拆分两个小三角形面积相等； ② 专用长度公式，代入三边直接计算； 1. 边角混合条件：利用半角公式结合正弦余弦定理化简。 【例题分析】 例1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 例2．（2025·四川成都·三模）在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设，则，根据正弦定理得角平分线定理得，求得，再根据正弦定理化简得，求出，进而，即可得解. 【详解】，则，设，则， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 因，两式相比，可得， 所以，所以， 由正弦定理得，所以， 所以，化简得， 所以或（舍去），又，所以， 所以. 故选：C 例3．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，，分别为角，，的对边，. (1)求； (2)若，，点在边上，且是的角平分线，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和定理，结合和角公式，把条件转化成，在利用正弦定理、余弦定理可求角. （2）根据角平分线的概念可得：，再结合，可求. 【详解】（1）. 可化为. 所以 由正弦定理可得， 由余弦定理可得：，所以：. （2）三角形如图所示. 由是的角平分线得， 法一：， 又， 所以. 法二：因为， 所以. . 例4．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）利用向量数量积的运算律及定义求解. （3）利用三角形面积公式，结合基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以. （2）由（1）知，，由D为BC中点，得，而， 所以. （3）由的面积为，得，解得， 由为内角的角平分线，得， 由，得， 因此，，当且仅当时取等号， 所以线段AD长的最大值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江苏南京·期中）在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等面积法，结合三角形面积公式，整理计算，即可得答案. 【详解】因为，所以， 解得. 变式2．（25-26高三上·江苏苏州·月考）在中，角的对边分别为，若是的角平分线，点在上，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先利用半角公式求出，再根据等面积法进行求解 【详解】题中已知 由半角公式得 化简得 再化简得，即， 解得或，因为，所以， 是的角平分线，点在上，， ， ，，， ， 化简得，即， 将代入得：，那么， 由余弦定理： 得，即，所以. 变式3．（25-26高三上·黑龙江绥化·月考）如图，已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的大小； (2)若，，设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）应用余弦定理计算求解； （2）应用面积公式结合角平分线计算求解. 【详解】（1）由余弦定理可得， 又因为，故． （2）因为， 所以， 又因为，，， 所以， 所以． 变式4．（25-26高一下·山东聊城·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得； （2）利用正弦定理化简得出，根据锐角三角形求出，求三角函数的值域即可； （3）利用余弦定理和基本不等式得出，再利用等面积得出，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）， 则由和正弦定理可得，， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以. （2）由正弦定理，， 所以 . 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以， 所以的取值范围为. （3）由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 考点三 高线问题 【知识点解析】 一、核心知识点 高线定义 边上高，，两个直角三角形。 面积核心关系 。 边长勾股关系 设： 两式相减消去，可求底边分段长度。 角度直角条件 ，存在互余角。 二、解题原理 1. 已知面积、一边，直接求对应高； 1. 已知高、两边，用勾股建立二元方程组求底边； 1. 出现直角优先用勾股定理，再搭配余弦定理； 1. 高线分割出两个直角三角形，可单独对小三角形使用三角函数。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·云南普洱·月考）在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理先求，利用余弦定理即可求解. 【详解】由题意得：，又，所以，所以， 所以， 由余弦定理得：. 例2．（2026·山东青岛·二模）在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用正弦定理求，利用余弦定理求，然后结合面积公式可得解. 【详解】由正弦定理和可得， 又，， 所以， 因为，所以， 所以，得，即， 由余弦定理可得，即， 记边上的高为，则由面积公式得，得. 例3．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求a； (2)若，求AB边上的高h. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，再结合正弦定理求解； （2）利用正、余弦定理求得，,再利用等面积法求边上的高. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由正弦定理得，所以,所以； （2）由正弦定理得，所以，所以， 由余弦定理可得， 因为，即， 所以AB边上的高. 例4．（25-26高三上·四川成都·月考）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，且． (1)求角B的大小； (2)D为AC边上的一点，BD是角B的平分线，且，求的面积； (3)若为锐角三角形，求AC边上的高的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)由正弦定理将边转化为角求解； (2)利用三角形的面积公式和余弦定理综合求解； (3)由正弦定理将边转化为角，再由角的限制范围求解三角函数的值域. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 由得，∴， ∴，∴ ， ∴，∴ 又，∴，又，所以． （2）由面积，得， 即 ． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得 或（舍）， ∴． （3）由正弦定理得，故， 故 ， 由于为锐角三角形，，故， 因此，，，因此， 设AC边上的高为h，，所以． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山东滨州·期中）在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出BC，再利用等面积法求得BC边上高线 【详解】在中，， 由余弦定理，得， 则． 设边上的高为，由等面积法，得，则． 变式2．（25-26高三上·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边上的高等于，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【详解】由已知，，得. 又由余弦定理可知，则. 变式3．（2026·北京大兴·三模）在中，. (1)证明：为等腰三角形； (2)若AC边上的高与BC边上的高之比为1:3，求. 【答案】(1)因为，所以， 所以， 所以，即， 又因为，所以， 所以，即， 所以为等腰三角形. (2) 【分析】（1）将写成并展开，与已知等式相减得，推出； （2）由面积公式得高之比等于对应底边之比的倒数，从而得到边长关系，再利用余弦定理求 . 【详解】（1）略； （2）设AC边上的高为边上的高为，则， 因为，所以， 所以， 由余弦定理可知. 变式4．（25-26高三上·广西桂林·月考）在中，，． (1)求： (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答得分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，， 所以， 由正弦定理得，解得； （2）如图所示，若存在，设其边上的高为，    若选①，，因为，所以， 因为，这表明此时有两个钝角，而这是不可能的，所以此时不存在，故边上的高也不存在； 若选②，， 由，有，即，所以， ，又因为， 这表明此时是存在的， 由，得， 所以边上的高是； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得，又因为， 这表明此时是存在的，由，即， 所以边上的高是. 考点四 多三角形问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 题型特征：图形由2个及以上三角形拼接、嵌套而成（共边、共角、互补角、邻补角）。 1. 公共条件（桥梁） ① 公共边：两个三角形共用一条边，边长相等； ② 公共角/等角：同一角、平行线内错角； ③ 互补角：平角、三角形邻补角，； ④ 相等线段：中线、角平分线、高线、全等传递边长。 1. 常见模型：两个三角形共底边、高低错落测量、四边形分割为两三角形。 二、解题原理 1. 寻找公共边/等角作为等量桥梁，建立两个三角形的边角等式； 1. 分别对两个独立三角形列正弦/余弦定理； 1. 遇互补内角：正弦相等、余弦互为相反数，代入化简； 1. 设统一未知量（公共边长）联立方程求解； 1. 面积类多三角：总面积拆分若干小三角形面积相加。 【例题分析】 考向一 爪型三角形中的解三角形问题 例1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合余弦定理角化边得，接着由余弦定理即可得解. （2）先由和求出角，接着由正弦定理形式的面积公式求出，再由余弦定理 即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理可得，整理得.     所以由余弦定理可得， 又，所以. （2）因为，， 所以， 即，         又，故，则， 所以，所以.       所以，所以，   所以在中，，，由余弦定理可得 ，即. 例2．（25-26高三上·广东广州·月考）如图，在中，点为边上靠近点的三等分点，，．    (1)若，求三角形的面积； (2)当最小时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求得的长，即可得的长，由三角形面积公式即可求得答案. （2）设，利用余弦定理表示出，即可得的表达式，结合基本不等式确定其最小值，即可求得答案. 【详解】（1）在中，，，故，， 由正弦定理得，即， 而， 故， 故， 故的面积为 . （2）设，则， 则在中，， 在中，， 故 ， 由于，当且仅当，即时取等号， 故， 即取到最小值即取最小值时，， 即此时. 考向二 四边形中的解三角形问题 例3．（2026·江西新余·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，. (1)求； (2)求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，进而得到，再根据条件，利用平方关系和正弦的和角公式，即可求出结果； （2）延长交于，设，，在中，利用正弦定理和余弦定理得到，，进而求得，，再利用三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】（1）由，又，得到， 又， 又，，且， 所以，， 得到. （2）延长交于，设，， 在中，由正弦定理得到，由（1）知，， 所以①，由余弦定理得到②， 由①②解得或， 当时，，此时， 又，所以，不合题意，故，， 在中，由，，得到，， 所以，又， 故. 例4．（24-25高三上·湖北·阶段检测）如图，在平面四边形中，    (1)若 与交于点，且，求的长； (2)求四边形 周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理可得，即可利用等面积法求解,进而由勾股定理即可求解， （2）由基本不等式即可求解. 【详解】（1） 中,由余弦定理得, 所以 因为，，所以    由可知, , 所以   （2）因为,所以, ,故， 当且仅当时等号成立，故周长的最大值为 【变式训练】 考向一 爪型三角形中的解三角形问题 变式1．（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若为边上一点，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）法①：由题意可得，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理可得，从而得，最后利用求解即可； 法②：在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得从而得，利用求解即可； 法③：在中，由余弦定理可得，从而得，所以，再结合余弦定理求得，最后在直角中，由正弦的定义求解即可； 法④：利用面积公式可得，再由余弦定理可得，最后由正弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，且， 则， 即， 得， 则， 因为，所以. （2）由（1）得，，因为，所以， 所以， 法①：如图在中，由余弦定理可得：   ， 即， 在中由正弦定理，即，所以， 因为，故， 在中，. 法②：同解法①， 在中由正弦定理，即， 所以， 又因为，即，所以. 法③：同上， 在直角中，，所以， 由（1）问知，所以， 即，得即， 所以，. 法④：由（1）知，则， 因为， 所以， 即，解得， 所以，即， 在中，由正弦定理，即， 解得. 变式2．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 考向二 四边形中的解三角形问题 变式3．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二倍角公式得到，再根据余弦定理得到及的值，即可求得周长； （2）根据三角形面积公式得到的面积，即可求得结果 【详解】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 变式4．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在平面四边形ABCD中，AC=4，BC⊥CD.    (1)若AB=3，BC=2，CD=5，求的面积； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用余弦定理求出 ，再利用面积公式求解； （2）设，运用正弦定理分别表示出 ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 所以的面积； （2）设， ，则，． 在中，由正弦定理可得，则， 在 中，由正弦定理可得，则， 所以， 当时，取得最大值； 综上，的面积为 ，的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $