第四章第37课时三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课)课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角形中的高线、中线、角平分线”核心考点，依据高考评价体系明确正弦定理、余弦定理及面积公式的综合应用要求，通过近五年高考真题分析，梳理出高线问题（占比约35%）、中线问题（占比约30%）、角平分线问题（占比约35%）的常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题引领+通性通法+素养提升”的备考设计，如以2023新高考Ⅱ卷中线问题为典型，通过向量法与中线长定理双路径求解，培养学生的推理能力与模型观念。总结高线用等面积法、角平分线用定理+面积法等突破技巧，配套“易错点警示”和“变式训练”，助力学生高效掌握解题策略，教师可据此精准开展专题复习，提升备考针对性。

第四章　三角函数与解三角形 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) [总体概览]　在解三角形的高考试题中，往往涉及三角形的高线、中线与角平分线，解决此类问题除了应用正弦定理、余弦定理外，还要恰当地使用其几何性质． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 类型一　高线问题 [典例1]　(2025·北京卷)在△ABC中，cos A＝－，asin C＝4． (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边上的高． 条件①：a＝6；条件②：asin B＝；条件③：△ABC的面积为10． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) [解]　(1)因为cos A＝－，A∈(0，π)， 所以sin A＝， 由正弦定理，得asin C＝csin A＝4，所以c＝＝6． (2)若△ABC存在，设BC边上的高为AD． 若选①：a＝6，因为c＝6，所以C＝A，因为cos A＝－<0，这表明此时△ABC有两个钝角，而这是不可能的，所以此时△ABC不存在，故BC边上的高也不存在． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 若选②：asin B＝，由asin C＝4，由(1)知c＝6， 所以b＝5， 所以由余弦定理得a＝＝＝9， 此时△ABC是存在的，且唯一确定， 所以S△ABC＝bcsin A＝BC·AD， 即×5×6××9AD，解得AD＝． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 所以BC边上的高为． 若选③：△ABC的面积是10， 由(1)知c＝6，sin A＝， 则S△ABC＝bcsin A＝b×6×＝10， 解得b＝5， 由余弦定理可得a＝＝9， 此时△ABC是存在的，且唯一确定，则BC边上的高满足S△ABC＝a·AD＝AD＝10，即AD＝． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 通性通法：(1)设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶∶∶． (2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和相应底边的长度． 高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 【教用·备选题】 1．(2026·郴州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝4，BC边上的高AD＝，则b＋c＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．4 √ 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) A　[已知BC边上的高AD＝，a＝4，A＝，则S△ABC＝a·AD＝bcsin A＝bc·×4×bc，解得bc＝8， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 即42＝b2＋c2－2bccos，即16＝b2＋c2－bc， 可得16＝(b＋c)2－2bc－bc，即16＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－24，解得b＋c＝＝2．故选A．] 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 2．(2026·蚌埠模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos A＋bcos C＝ccos(A＋C)． (1)求角A的大小； (2)若a＝，BC边上的高为，求△ABC的周长． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) [解]　(1)因为2acos A＋bcos C＝ccos(A＋C)， 所以2acos A＋bcos C＝－ccos B， 由正弦定理得2sin Acos A＋sin Bcos C＝－sin Ccos B， 所以2sin Acos A＝－sin Ccos B－sin Bcos C＝－sin(B＋C)＝－sin A， 又sin A≠0，所以cos A＝－， 又A∈(0，π)，所以A＝． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) (2)因为a＝，BC边上的高为h＝， 所以△ABC的面积S＝×a×h＝， 又由△ABC的面积S＝bcsin A＝bc×，解得bc＝4， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc，而a＝， 所以21＝(b＋c)2－4，解得b＋c＝5(舍负)， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 3．(2026·武汉模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若a－b＝2，△ABC的面积为2，求AB边上的高． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) [解]　(1)由正弦定理及， 即sin C＝1＋cos C， 整理得，2sin＝1，即sin， 因为C∈(0，π)，所以C－， 所以C－，即C＝． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) (2)因为△ABC的面积为2， 所以absin C＝ab＝2，即ab＝8， 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋ab＝22＋8＝12， 解得c＝2(舍负)， 设AB边上的高为h， 由ch＝2，解得h＝＝2． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 类型二　中线问题 [典例2]　(2023·新高考Ⅱ卷节选)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1．若b2＋c2＝8，求b，c． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) [解]　法一：因为D为BC的中点，所以BD＝DC． 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC， 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理的推论，得＝ －， 即1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)， 所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos∠BAC＝＝－，所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝bcbc ， 解得bc＝4(舍负)． 则由解得b＝c＝2． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点， 则)， 所以(c2＋b2＋2bccos∠BAC)， 又AD＝1，b2＋c2＝8， 则1＝(8＋2bccos∠BAC)， ∴bccos∠BAC＝－2，① 由S△ABC＝bcsin∠BAC＝， 得bcsin∠BAC＝2，② 由①②解得tan∠BAC＝－，∵∠BAC∈(0，π)，∴∠BAC＝， ∴bc＝4，又b2＋c2＝8，∴b＝c＝2． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 法三：在△ABC中，由中线长公式可得 2(BD2＋AD2)＝AB2＋AC2， 又BD＝BC，AD＝1，b2＋c2＝8， 则(2AD)2＋BC2＝2(AB2＋AC2)， 即22＋a2＝2(b2＋c2)＝16，所以a2＝12． 又S△ABC＝bcsin∠BAC＝， 因而bcsin∠BAC＝2， 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得12＝8－2bccos∠BAC，所以bccos∠BAC＝－2， 故tan∠BAC＝－，cos∠BAC＝－，所以bc＝4， 又b2＋c2＋2bc＝8＋8＝16＝(b＋c)2， b2＋c2－2bc＝8－8＝0＝(b－c)2， 故b＝c＝2． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 通性通法：解答三角形的中线问题的两种思路 (1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)． (2)向量法：如图，(b2＋c2＋2bc·cos ∠BAC)． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 推导过程：由)2＝|·||·cos ∠BAC， 所以(b2＋c2＋2bccos∠BAC)． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 【教用·备选题】 1．(2026·天水模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝8，b＝9，c＝7，则BC边上的中线AM的长为 _________．  7　[由题意可得2， 两边平方可得4＋2＝c2＋b2＋2cbcos ∠BAC＝c2＋b2＋c2＋b2－a2＝2×(49＋81)－64＝196， 解得||＝7．] 7　 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 2．(2025·沧州一模)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝∶2∶1． (1)求角A的值； (2)若D为BC的中点，求AD∶BC的值． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) [解]　(1)设c＝k，则a＝k，b＝2k，k>0， 利用余弦定理的推论可得 cos A＝＝－， 因为A∈(0，π)， 所以A＝． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) (2)设c＝k，则a＝k，b＝2k，k>0， 因为D为BC的中点，所以)， 两边平方可得)2， 所以4＋2||||·cos∠BAC＝k2＋4k2＋2×k×2k×＝3k2， 即AD＝k， 所以AD∶BC＝k∶k＝． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 3．(2025·徐州二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos A＋asin A＝bcos B＋bsin B，且a≠b． (1)求C； (2)若D为AB边的中点，且AB＝1，CD＝，求△ABC的面积． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) [解]　(1)根据acos A＋asin A＝bcos B＋bsin B，由正弦定理得sin Acos A＋sin2A＝sin Bcos B＋sin2B， 即sin 2A＋cos 2A＝sin 2B＋cos 2B， 可得sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B， 即sinsin． 由a≠b，可知A≠B，所以2A－＋2B－＝π＋2kπ(k∈Z)， 取k＝0，解得A＋B＝，所以C＝π－(A＋B)＝． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) (2)在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即1＝b2＋a2－ab，① 由题意知，CD是△ABC的中线，可得2， 所以4＋2， 整理得5＝b2＋a2＋ab，② 由 ②－①，解得ab＝， 所以△ABC的面积S＝absin C＝． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 类型三　角平分线问题 [典例3]　(2026·乌鲁木齐模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＋ccos B＝2acos A，∠CAB的平分线交BC于点E． (1)求A的大小； (2)若b＝6，S△ABC＝3，求AE的长． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) [解]　(1)由bcos C＋ccos B＝2acos A及正弦定理， 可得sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin Acos A， 即sin(B＋C)＝sin A＝2sin Acos A， 因为A∈(0，π)，sin A≠0，所以cos A＝， 即A＝． (2)由S△ABC＝bcsin A＝×6×c＝3， 可得c＝2，由S△ABC＝S△ABE＋S△ACE， 可得AB·AE·sinAC·AE·sin＝3， 即×AE×(2＋6)＝3，解得AE＝． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 思维建模：角平分线模型(解三角形中的角平分线问题) 第1步　等面积法列式：大三角形面积等于小三角形面积和． 第2步　解方程：代入公式求出角平分线长． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 【教用·通性通法】 角平分线问题的处理策略 在△ABC中，AD平分∠BAC． (1)角平分线定理：； (2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理，即S△ABD＋S△ACD＝S△ABC． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 【教用·备选题】 1．(2026·邵阳模拟)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，cos B＝．若△ABC的角平分线AD交边BC于点D，则AD＝(　　) A． B． C． D．3 √ 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) D　[在△ABC中，AB＝4，AC＝6，cos B＝， 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，即62＝42＋BC2－2×4×BC×， 解得BC＝5或BC＝－4(舍去)， 所以BC＝5， 因为AD是角平分线，根据角平分线定理，可得， 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 又因为BD＋DC＝BC＝5，所以BD＝×5＝2， 在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝16＋4－2×4×2×＝18，解得AD＝3(舍负)， 即AD的长度为3． 故选D．] 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 2．(2026·昌黎县模拟)已知△ABC的面积为6，A＝60°，AB＝3，B的内角平分线交边AC于点D，则AD的长为(　　) A． B． C． D．7 √ 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) A　[因为△ABC的面积为6，A＝60°，AB＝3， S△ABC＝AB×ACsin A＝×3×AC×＝6，解得AC＝8， 由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos A＝9＋64－2×3×8cos 60°＝49，解得BC＝7(舍负)， 因为BD平分∠ABC，所以由角平分线的性质可得， 即，解得AD＝． 故选A．] 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 3．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝______________．  2　[由余弦定理的推论得cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，解得AC＝1＋(舍负)． 因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2ACsin 60°＝×2ADsin 30°＋AC×ADsin 30°，所以AD＝＝2．] 2 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 1．(2025·哈尔滨月考)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b＝3，c＝6，sin 2C＝sin B，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线． (1)求cos C及线段BC的长； (2)求△ADE的面积． 课时作业(三十七)　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 41 [解]　(1)根据题意，sin 2C＝sin B⇒2sin Ccos C＝sin B， 由正弦定理得2ccos C＝b， 又b＝3，c＝6， 所以cos C＝， 由cos C＝，且a>0，解得a＝6，即BC＝6． 42 (2)因为AD为BC边上的中线， 所以CD＝BC＝3， 因为AE平分∠BAC， 故＝2， 可得CE＝BC＝2，由(1)知cos C＝，则sin C＝， 所以S△ADE＝S△ACD－S△ACE＝×3×3××3×2×． 43 2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 44 [解]　法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝． 因为2sin(A－C)＝sin B， 所以2sin＝sin， 展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)， 得sin A＝3cos A， 又sin2A＋cos2A＝1，且sin A>0， 所以sin A＝． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 45 (2)由正弦定理得， 即BC＝·sin A＝＝3， 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C， 即52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ， 整理得AC2－3AC＋20＝0， 解得AC＝或AC＝2． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 46 由(1)得，tan A＝3><A<， 又A＋B＝，所以B>， 即C<B，所以AB<AC，所以AC＝2． 设AB边上的高为h，则×AB×h＝×AC×BCsin C， 即5h＝2×3， 解得h＝6， 所以AB边上的高为6． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 47 法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝． 因为2sin(A－C)＝sin B， 所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， 所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Acos C＝3cos Asin C， 易得cos Acos C≠0， 所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3， 又sin A>0，所以sin A＝． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 48 (2)由(1)知sin A＝，tan A＝3>0，所以A为锐角， 所以cos A＝， 所以sin B＝sin(cos A＋sin A)＝， 由正弦定理得， 即AC＝＝2， 故AB边上的高为AC·sin A＝2＝6． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 49 3．(2025·福建质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asin C＝csin B，C＝． (1)求B的大小； (2)若△ABC的面积为，求BC边上中线的长． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 50 [解]　(1)∵asin C＝csin B， ∴由正弦定理，得sin Asin C＝sin Csin B， ∵0<C<π，∴sin C>0，∴sin A＝sin B， ∵0<A<π，0<B<π， ∴A＝B或A＋B＝π(舍去)， ∵A＋B＋C＝π，且C＝，∴B＝． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 51 (2)依题意得absin C， ∵A＝B，∴a＝b， ∴a2×，得a＝b＝， 由正弦定理，得c＝＝3， 设BC的中点为D，连接AD(图略)， ∵＋2||||·cos∠CAB)，解得||＝． ∴AD＝． 课时作业 *第37课时　三角形中的高线、中线、角平分线(进阶课) 52 谢谢！ $