立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质复习讲义-2027届高三高考数学一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何线面平行、面面平行的判定与性质核心考点，按判定到性质的逻辑层次梳理知识，通过知识点解析、例题分析、变式训练及高考真题演练，构建“原理理解-方法应用-真题实战”的复习体系，帮助学生系统突破空间平行关系证明难点。 讲义突出数学思维与表达能力培养，如线面平行判定中通过中位线、平行四边形找线线平行，训练逻辑推理；面面平行性质中强调作截平面得交线，规范符号表达。分层设计例题与变式题，配合高考真题演练，助力学生在有限时间内提升空间想象与论证能力，为教师精准把控复习节奏提供实用教学资源。

2027届高三数学一轮复习讲义 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质复习讲义 考点目录 线面平行的判定 面面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的性质 考点一 线面平行的判定 【知识点解析】 一、线线平行的判定 (1)平行四边形的对边 (2)三角形的中位线或等高线 (3)三线八角（同位角、内错角、同旁内角） (4)线面平行的性质 (5)面面平行的性质 (6)向量 二、线面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 线面平行的判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 三、解题原理 1. 核心思路：证线线平行推线面平行； 2. 找平面内平行线常用：中位线、平行四边形、比例线段； 必证条件：直线不在平面内，防止直线在平面内的特殊情况。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·河南郑州·月考·节选）如图，在四棱锥中，平面平面，底面四边形是直角梯形，，，且，，，为的三等分点（靠近点）． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）取靠近点的三等分点为，连接，先得到四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理直接证明即可； 【详解】（1）如图，取靠近点的三等分点为，连接， 因为为的三等分点（靠近点），所以且， 又，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. 例2．（25-26高三上·广西南宁·月考·节选）如图，直三棱柱的体积为6，是的中点. (1)求证：平面； 【答案】(1)连接，交于点，连接，则为的中点， 因为是的中点，所以，又因为面，面， 所以平面. 【分析】（1）应用中位线得出，再运用线面平行的判定定理证明； 【详解】（1）略 例3．（25-26高三上·广西玉林·月考·节选）如图，在直三棱柱中，，，点，分别为棱，的中点． (1)求证：直线平面； 【答案】(1)连接， 由已知条件，点，分别为棱，的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； 【分析】（1）应用中位线得出，再应用线面平行证明即可； 【详解】（1）略 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·四川眉山·月考·节选）如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； 【答案】(1)取中点，连接、， 由为的中点，底面为平行四边形， 则且， 由为的中点，则且， 由直四棱柱性质可知且， 故且，故四边形是平行四边形， 故，又平面，平面， 故平面； 【分析】（1）取中点，连接、，可得四边形是平行四边形，即可得，再利用线面平行判定定理即可得证； 【详解】（1）略 变式2．（25-26高二下·云南昭通·期末·节选）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点．    (1)证明：平面； 【答案】(1)如图1，连接， 图1 在中，分别为,中点， ∴．                ∵平面，平面， ∴平面． 【分析】（1）利用三角形的中位线证得线线平行，进而根据线面平行的判定定理得出线面平行 【详解】（1）略 变式3．（2026·四川资阳·模拟预测·节选）已知四边形为正方形，过点D作，且，平面平面，过点M作平面，且，连接NB，NC，ND，得到多面体如图所示.     (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质及线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）由正方形，得， 而平面平面，平面平面， 平面，则平面， 而平面，因此， 又平面， 所以平面. 考点二 面面平行的判定 【知识点解析】 一、面面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 面面平行的判定 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 二、解题原理 1. 先在一个平面找两条相交直线； 2. 分别证明两条相交直线都平行于目标平面； 3. 关键：两条直线必须相交，两条平行线平行另一平面不能证面面平行。 【例题分析】 例1．（2026·贵州安顺·模拟预测·节选）如图，是斜边的等腰直角三角形，正三角形所在平面与三角形所在平面垂直，梯形中，，且梯形所在平面与三角形所在平面垂直． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明平面，根据三角形的性质及面面垂直的性质判断平面，平面，进而．方法一，连接BE，构造平行四边形PEBN得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面；方法二取BC的中点，连接MF，构造平行四边形MPEF得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面； 【详解】（1）因为平面平面，所以平面. 因为是斜边的等腰直角三角形，所以． 如图1，取AC的中点，连接PE． 因为是正三角形，且，所以，且， 又平面平面ABC，平面平面， 所以平面. 因为，平面平面BCMN，平面平面，平面BCMN， 所以平面， 所以． 如图2，连接BE，因为， 所以四边形PEBN为平行四边形，因此． 因为平面平面， 所以平面， 又平面平面PMN， 所以平面平面. 方法二： 如图3，取BC的中点，连接MF． 因为，所以，又，所以， 又，所以四边形BFMN是平行四边形， 所以， 因为，所以， 连接EF，因为平面平面，平面平面，平面BCMN， 所以平面， 又平面，所以， 因此四边形MPEF是平行四边形，． 因为平面平面ABC，所以平面， 又平面平面平面， 所以平面平面. 例2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测·节选）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，. (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据中点以及三角形的中位线可得线线平行，进而根据面面平行的判定可证结论； 【详解】（1）因为，，的中点分别为， 所以，又平面，平面， 所以平面，平面， 又，且平面，所以平面平面， 例3．（2025高二下·浙江·学业考试·节选）如图所示，四边形是正方形在平面上的投影（），请回答下列问题： (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明过程见解析； 【详解】（1），平面，平面， 所以平面， 又为正方形，故，平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面； 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·四川眉山·期末·节选）如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接DE，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可证明； 【详解】（1）连接DE，由题意知，，， 即四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面． 同理，四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又，DC，平面， 所以平面平面． 变式2．（24-25高三上·湖北·期中·节选）已知圆柱如图所示，其中正方形为轴截面，点，为圆上异于，且同侧的点，且，点为线段的中点.    (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）结合题意，利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理即可证明； 【详解】（1）因为，故， 而平面，平面，故平面. 取线段的中点，连接，， 则，，故， 故四边形为平行四边形，则. 而平面，平面，故平面. 而，平面，平面， 故平面平面. 变式3．（25-26高三上·山东潍坊·月考·节选）如图，在直三棱柱中，，，，，D，E分别是，的中点. (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明即可得出结论； 【详解】（1）由直三棱柱性质，以及D，E分别是，的中点， 所以，即四边形为平行四边形， 可得， 又平面，平面，所以平面； 又易知，即四边形为平行四边形, 可得， 又平面，平面，所以平面； 显然平面， 所以平面平面； 考点三 线面平行的性质 【知识点解析】 一、线面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面平行的性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 二、解题原理 1. 已知线面平行，要证线线平行：过已知直线作辅助平面，得到交线； 2. 常用于求线段长度、证明平行四边形、比例线段。 【例题分析】 例1．（2026·安徽安庆·模拟预测·节选）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； 【答案】(1)取线段的中点，连接，，由于， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面，故. 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明面，再由线面平行的性质定理证得. 【详解】（1）略 例2．（2026·上海·模拟预测·节选）如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． (1)求证：； 【答案】(1)因为，平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以； 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证； 【详解】（1）略 【变式训练】 变式1．（2026·湖南湘潭·模拟预测·节选）如图，直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，以DE为折痕把折起，使点A到点P的位置，且．    (1)设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明：. 【答案】(1)证明过程见解析； 【分析】（1）作出辅助线，得到线面平行，进而得到线线平行； 【详解】（1）因为，E为AB的中点，所以， 因为，所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 又平面与平面的交线为l，平面，所以 变式2．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测·节选）如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，满足，M为棱 的中点，平面，且. (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的性质定理得到，再证明即可； 【详解】（1）取棱的中点，连接 ， 因为为的中点，所以，， 因为，所以，所以M，N，D，A四点共面. 因为平面，平面平面， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以. 考点四 面面平行的性质 【知识点解析】 一、面面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面平行的性质 （1）两个平面平行，一个平面内的任意一条直线与另外一个平面平行. （2）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 二、解题原理 1. 已知面面平行，作截平面得到平行线，实现线线平行转化； 2. 可快速得到线面平行，无需再证线线平行。 【例题分析】 考向一 由面面平行的性质证明线线平行 例1．（2026·上海·模拟预测·节选）如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4和6，，分别为圆台的上、下底面圆的圆心，，为圆台的两条不同的母线． (1)求证：； 【答案】(1)∵圆台可以看作是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到， 所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分． ∴母线与母线的延长线必交于一点， ，，，四点共面， ∵圆面圆面，且平面圆面，平面圆面． ． 【分析】（1）根据圆台母线延长线交于一点，得到四点共面，再借助圆台上、下底面平行，根据面面平行性质得出线线平行. 【详解】（1）略 例2．（2026·北京丰台·二模·节选）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，直线交平面于点 . (1)求证： 为的中点； 【答案】(1)证明：因为平面平面，且平面平面，平面平面， 则，且，可得， 又因为为的中点，所以 为的中点. 【分析】（1）根据面面平行的性质可得，进而可得，即可得结果； 【详解】（1）略 考向二 由面面平行的性质证明线面平行 例3．（25-26高三上·陕西渭南·期中·节选）如图，在四棱锥中，平面平面是等边三角形，四边形ABCD是梯形，分别是棱BC，PA的中点.    (1)证明：平面PCD； 【答案】(1) 在四棱锥中，取AD的中点，连接EH，FH， 由F，H分别是棱PA，AD的中点，得，而平面平面PCD， 则平面PCD，由E，H分别是棱BC，AD的中点，得， 而平面平面PCD，则平面PCD， 由平面HEF，且，得平面平面PCD，又平面HEF， 所以平面PCD.    【分析】（1）取AD的中点，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证. 【详解】（1）略 例4．（25-26高三上·广西·开学考试·节选）如图，在四边形中，，，是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为，，分别是，的中点. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）取的中点为，连接，，根据已知得，，再由线面、面面平行的判定定理得平面平面，最后根据面面平行的性质定理证结论； 【详解】（1）取的中点为，连接，， 因为是的中点，，所以，又， 所以为平行四边形，又、分别是、的中点， 所以，，又平面，平面， 所以平面， 同理得平面， 又，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 【变式训练】 考向一 由面面平行的性质证明线线平行 变式1．（2026·江苏扬州·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，底面 是等腰梯形，，点 在上，点 在 上，平面平面．    (1)求证： 是 的中点； 【答案】(1)证明：因为平面平面，平面平面， 平面平面．所以 ， 又由梯形 可得，所以四边形为平行四边形， 所以，所以 是 的中点． 【分析】（1）由面面平行得到线线平行，从而得到四边形为平行四边形，，得到结论； 【详解】（1）略 变式2．（2026·北京丰台·模拟预测·节选）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，． (1)求证：； 【答案】(1) 因为平面平面，，，，四点共面， 且平面平面，平面平面， 所以. 【分析】（1）由面面平行的性质证明即可； 【详解】（1）略 考向二 由面面平行的性质证明线面平行 变式3．（2026·贵州贵阳·模拟预测·节选）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.    (1)求证：平面； 【答案】(1) 连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面， 故平面平面，又平面，故平面；    【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，即可得线面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平行，再由面面平行的性质定理即可得证； 【详解】（1）略 变式4．（2026·四川达州·模拟预测·节选）如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点． (1)证明：平面； 【答案】(1) 证明：设中点为，连接， 为中位线，， 又平面，平面， 平面， 为梯形中位线，， 又平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面平面， 平面， 平面． 【分析】（1）由面面平行的判定及性质即可证明； 【详解】（1）略 高考真题演练 1．（2026·北京·高考真题）已知直三棱柱，，，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)点在平面内，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求平面与平面的夹角的余弦值． ①； ②； ③平面． 注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)解法一：取的中点，连接，， 因为分别为，的中点，则，且， 又因为为矩形，且为的中点，则，且， 可得，且，可知为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面； 解法二：设，的中点分别为，，连接，，，， 因为分别为，的中点，则，， 且平面，平面，所以平面， 又因为分别为，的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又因为分别为，的中点，则， 可得，可知四点共面， 因为，平面，则平面平面， 且平面，所以平面； 解法三：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 且，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为，即， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）解法一：作辅助线，可证，根据线面平行的判定定理分析证明；解法二：作辅助线，可证平面平面，根据面面平行证明线面平行；解法三：建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）若选①：解法一：作辅助线，根据线段长相等可知为的中点，且平面与平面的夹角为，即可得结果；解法二：设，根据题意可得，利用空间向量求面面夹角；若选②：解法一：作辅助线，根据垂直关系分析可知为的中点，且平面与平面的夹角为，即可得结果；解法二：设，根据题意可得，利用空间向量求面面夹角；若选③：根据平面平面分析可知点不唯一，不合题意. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，则， 若选①：解法一：设，，的中点分别为， 可知为线段的中垂线，则， 因为，由题意可知：平面，即平面， 则，，可得，符合题意， 取的中点，连接，设， 因为，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面，即平面， 且平面平面，可得平面， 且平面，可得， 过点作， 且，平面， 则平面，可得， 可知平面与平面的夹角为， 由题意可知：，， 则，， 则，， 所以平面与平面的夹角余弦值为； 解法二：设， 因为，则，解得，即， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为平面平面，可知平面的法向量为， 则， 所以平面与平面的夹角余弦值为； 若选②：解法一： 取的中点，连接，设， 因为，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面，即平面， 且平面平面，可得平面， 取的中点，连接，，可知， 设，可知点为的中点， 因为，，可得平面，则， 因为平面且平面，可得， 过点作， 且，平面， 则平面，可得， 可知平面与平面的夹角为， 由题意可知：，， 则，， 则，， 所以平面与平面的夹角余弦值为； 解法二：设，则， 因为，则，解得，即， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为平面平面，可知平面的法向量为， 则， 所以平面与平面的夹角余弦值为； 若选③：由（1）可知：平面平面， 因为，平面即为平面，即平面平面， 可得平面，此时点不唯一，不合题意. 2．（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】(1)由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. (2)距离为1. 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【详解】（1）略 （2）法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 3．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 4．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【答案】(1) (2) 由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面    【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解. （2）证明平面平面，然后根据面面平行的性质可得. 【详解】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; （2）略 5．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1) 设，所以，因为为中点，所以， 因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． (2) 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面， 再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【详解】（1）略 （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质复习讲义 考点一 线面平行的判定 考点目录 线面平行的判定 面面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的性质 【知识点解析】 一、线线平行的判定 (1)平行四边形的对边 (2)三角形的中位线或等高线 (3)三线八角（同位角、内错角、同旁内角） (4)线面平行的性质 (⑤)面面平行的性质 (6)向量 二、线面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 如果平面外一条直线 1‖m 1ta→lla 线面平行的判定 与此平面内的一条直线平 mca 机 行，那么该直线与此平面 平行. 三、解题原理 2027届高三数学一轮复习讲义 1.核心思路：证线线平行推线面平行： 2.找平面内平行线常用：中位线、平行四边形、比例线段： 必证条件：直线不在平面内，防止直线在平面内的特殊情况。 【例题分析】 例1.(25-26高三上：河南郑州·月考节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,底面四边形 ABCD 是直角梯形， DBC,∠ABC=90,且PH=AD=3,MB=BC=1,PB=i而，E为PD的=等分点（张 近点P). B (1)证明：CE/平面PAB; ABC-A BC 例2.(25-26高三上广西南宁·月考节选)如图，直三棱柱 的体积为6，D是4B的中点 B 2027届高三数学一轮复习讲义 BC//ACD (1)求证： 平面 2027届高三数学一轮复习讲义 例3.(25-26高三上广西玉林·月考节选)如图，在直三棱柱 8C-ABG中，BL4C,B=1C=4,点E, 分别为楼BCAB F 中点。 A C B F E ()求证：直线EF AACC 平面 【变式训练】 变式1.(25-26高三上四川眉山月考·节选)如图，在直四棱 ABCD-ABCD中，底面 ABCD为平行四边形， M为4B的中点，N为DD的中点 D C B A (1)求证： MNII平面 BDC 2027届高三数学一轮复习讲义 变式2.(25-26高二下·云南昭通期末·节选)如图，在直三棱柱 BC-4BG中，∠ACB=90°，AC=BC,D, E分别为AB, AC的中点， A B E B DE// BCC B (1)证明： 平面 变式3.(2026·四川资阳模拟预测节选)已知四边形ABCD为正方形，过点D作DM⊥AD,且DM=AD=2, 平面ADM⊥平面ABCD,过点M作MN⊥平面ADM,且MN=1,连接NB,NC,ND,得到多面体如图所示. M (I)求证：MN/1平面ABCD: 2027届高三数学一轮复习讲义 考点二 面面平行的判定 【知识点解析】 一、面面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 如果一个平面内的两 mla nla 面面平行的判定 条相交直线与另一个平面 →a‖B m∩n=O 平行，那么这两个平面平 ms ncB 行. 二、解题原理 1.先在一个平面找两条相交直线： 2.分别证明两条相交直线都平行于目标平面： 3.关键：两条直线必须相交，两条平行线平行另一平面不能证面面平行。 【例题分析】 例1.(2026：贵州安顺模拟预测节选)如图，△1BC 是斜边 B=25的等暖直角三角形，正三角形P1C所在平 面与三角形AB 所在平面垂直，梯形BCN中，M1/BC,BN LBC,.BN=V5,AMW=1,且梯形BCMW 所在平面 与三角形ABC所在平面垂直. (I)求证：平面PMNII平面ABC: 6 2027届高三数学一轮复习讲义 > 2027届高三数学一轮复习讲义 例2.(25-26高二下江苏泰州阶段检测节选)如图，四边形ABCD是正方形，四边形AEPD是直角梯形且 PD∥EA,PD⊥CD,PD⊥AD,AD=PD=2EA=2,BP,BE,PC的中点分别为F,G,H. H E D G A B (I)求证：平面FGHI1平面ADPE: 例3.(2025高二下浙江学业考试·节选)如图所示，四边形 4BCP是正方形BCD在平面“上的投影( AA //BB /ICC //DD ),请回答下列问题： D A ABB//DDCC (1)证明：平面 平面 2027届高三数学一轮复习讲义 【变式训练】 变式1.(24-25高一下四川眉山期末节选)如图，在三棱柱 BC-ABC中，D,层，P分别是AB,A8,M 的中点. A E B B ADC∥ BEC (1)求证：平面 平面 变式2.(2425高三上湖北期中节选)己知圆柱O0如图所示，其中正方形4BCD为轴截面，点E,G为圆 02 上异于A,B且同侧的点，且 G0,B+∠EB0,=180°，点F为线段DE的中点 D G A E B 02 FGO,11 (1)求证：平面 平面CBE 0 2027届高三数学一轮复习讲义 变式3.(25-26高三上山东潍坊月考·节选)如图，在直三棱柱 BC-4BG中，4B=25,4=3 AC1BC,4C=BC,D,B分别是B,A8的中点 A C E B ADC//BEC (1)证明：平面 平面 10 2027届高三数学一轮复习讲义 考点三 线面平行的性质 【知识点解析】 一、线面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 一条直线与一个平面 Illa 1cB →l川m 线面平行的性质 平行，如果过该直线的平 au∩B=m 面与此平面相交，那么该 直线与交线平行 二、解题原理 1.已知线面平行，要证线线平行：过已知直线作辅助平面，得到交线： 2.常用于求线段长度、证明平行四边形、比例线段。 【例题分析】 例1.(2026安徽安庆模拟预测节选)如图所示，四棱锥P-ABCD底面为菱形，点E,F为棱PD的三等分点， 点G是棱BC中点. D (I)过A,E,G三点的平面a与线段PC交于点H,求证：CF∥EH: 11 2027届高三数学一轮复习讲义 例2.(2026·上海模拟预测节选)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD △ADE是正三角形，EF=2,AB=4,AD=2. 4 D (1)求证：EF/1AB: 【变式训练】 变式1，(2026湖南湘潭模拟预测节选)如图，直角梯形ABCD中，AB/1CD,MB1BC,BC=CD=AB=2 2 B为AB的中点，以DB为折痕把△MDE折起，使点A到点P的位置，且PC=2W5 B (I)设平面PBC与平面PDE的交线为l,证明：BC/1 12 2027届高三数学一轮复习讲义 变式2.(25-26高三下陕西商洛·阶段检测节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD 是等腰梯形，满足AD/BC,M为棱BP的中点，AMI∥平面CDP,且AB=AP=AD=1. M A B D C (1)求证：BC=2AD; 13 2027届高三数学一轮复习讲义 考点四 面面平行的性质 【知识点解析】 面面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 (1)两个平面平行，一 allB →ml mCB 个平面内的任意一条直线 面面平行的性质 与另外一个平面平行. (2)两个平面平行，如 allB a∩y=m→mlln 果另一个平面与这两个平 B∩y=n 面相交，那么两条交线平 行 二、解题原理 1.己知面面平行，作截平面得到平行线，实现线线平行转化； 2.可快速得到线面平行，无需再证线线平行。 【例题分析】 考向一 由面面平行的性质证明线线平行 例1.(2026上海模拟预测节选)如图所示，网台的上、下底面圆半径分别为4和6,0,0分别为圆台的上、 AA BB 下底面圆的圆心， 为圆台的两条不同的母线. 14 2027届高三数学一轮复习讲义 A B A5-- A,B,∥AB (1)求证： 15 2027届高三数学一轮复习讲义 例2.(2026北京丰台二模节选)如图，在直三棱柱 8C-A8C中，B1AC,MB=AC=M=2.E为48 的中点，直线4G交平面BCE于点F， A A C的中点： )求证：F为 考向二。由面面平行的性质证明线面平行 例3.(25-26高三上~陕西渭南期中·节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,aPAD是等边 三角形，四边形ABCD是梯形，ABI/CD,AB L AD,E,F分别是棱BC,PA的中点 F E (I)证明：EF/1平面PCD: 16 2027届高三数学一轮复习讲义 例4.(25-26高三上：广西开学考试节选)如图，在四边形ABCD中，AD/BC,AD=2AB=2BC=2CD,E 是AD的中点，将△ABE沿BE折起至△ABE的位置，使得二面角A'-BE-C的大小为120°，M,N分别是AD, BC的中点， A M ----------D 6 (1)证明：MNII平面ABE: 【变式训练】 考向一 由面面平行的性质证明线线平行 变式1.(2026：江苏扬州模拟预测节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形， AB=AD=CD=)BC=L,点M在PB上，点N在BC上，平面AMNI平面PCD 2 M B (I)求证：N是BC的中点： 17 2027届高三数学一轮复习讲义 变式2.(2026北京丰台模拟预测节选)如图，在多面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD, 平面ABF∥平面CDE,A,D,E,F四点共面，AB=DE=2,AF=1, D B (I)求证：AFIDE, 考向二 由面面平行的性质证明线面平行 变式3.(2026·贵州贵阳模拟预测：节选)由正棱锥截得的棱台称为正棱台如图，正四棱 ABCD-ABCD中， E,F AD,AB AB=2AB=4 BBCC ABCD 分别为 的中点， ，侧面 与底面“ 所成角为459 D B 米面尔 BD 11 (1)求证： 18 2027届高三数学一轮复习讲义 变式4.(2026四川达州模拟预测节选)如图，在直角梯形ABCD中，AD/IBC,AB⊥BC,AB=BC=2AD, 把梯形4BCD绕旋转至4BCD,E,F分别为B,CC 中点 D BI C EF CDA (1)证明： 平面 9 2027届高三数学一轮复习讲义 高考真题演练 1.(2026北京·高考真题)已知直三棱 ABC-ABG∠B4C=90°，AB=AC=2,BB=V5,E、D分别为 AB AC 的中点。 A B C (1)证明： DE//BB CC 平面 (2)点P在平面 BC内，且 内，且BP/8G,再从条件O、条件@、条件@这三个条件中选择一个作为已知，使得P唯 确定，求平面PAD与平面PDE的夹角的余弦值. ①PA=PD; ②PA1BC: ③ 平面PDE BB / 注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分. 2.(2026·全国一卷高考真题)如图，在直三棱 ABC-ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC,D,E分别为MB 的中点 20 2027届高三数学一轮复习讲义 C A B E以 C A D B DEI BCCB (1)证明： 平面 G,=2,直线DE与平面 (2)设 ACC A所成的角为45°，求直线DE到平面 BCCB 的距离。 21 2027届高三数学一轮复习讲义 3.(2025·北京高考真题)如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形， ∠ADC=90°，∠BAC=90° E为BC的中点. (I)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG1I平面AB; (2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值. 4.(2025·上海高考真题)如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB=2. 40B (1)若直线A与圆锥底面的所成角为3，求圆锥的侧面积： (②)已知是母线A的中点，点C、D在底面圆周上，且弧1C的长为3，CD∥AB:设点M在线段OC上，证明： 直线QM∥平面PBD. 22 2027届高三数学一轮复习讲义 5.(2025·全国二卷高考真题)如图，在四边形ABCD中，AB/CD,∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB 上， EFIIAD,AB=3AD,CD=2AD将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成 的二面角为60°. D D E B (1)证明：A'B/I平面CD'F: (2)求面BCD'与面EFD'A所成的二面角的正弦值. 1 23