数列：数列求和问题5种高频考点复习讲义-2027届高三数学一轮复习讲义人教A版

该高中数学高考复习讲义聚焦数列求和5大高频考点，涵盖等差数列与等比数列基础求和、裂项相消、错位相减、分组并项及倒序相加，按“知识点解析-例题分析-变式训练”逻辑架构串联，通过核心公式梳理、解题原理提炼、真题案例精讲，帮助学生构建从基础到技巧的完整求和方法体系。 讲义突出方法模型化与分层训练设计，如裂项相消法归纳等差、无理、指数型三类模型培养数学思维，错位相减法明确四步操作规范强化数学语言表达。例题精选近年期末及模拟真题，变式训练梯度递进，助力学生在有限时间内掌握解题关键，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支撑。

2027届高三数学一轮复习讲义 数列：数列求和问题5种高频考点复习讲义 考点目录 等差数列与等比数列的前n项和 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 倒序相加法 考点一 等差数列与等比数列的前n项和 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 等差数列，首项，公差 通项： 求和公式： · 性质：；片段和仍等差。 1. 等比数列，首项，公比 通项： · ： · ： 性质：片段和仍等比（）。 二、解题原理 1. 已知首项、公差/公比，直接套基础公式求和； 1. 给出、混合条件，联立通项与和式列方程求参数； 1. 利用片段和性质简化计算，无需逐项展开； 1. 等比数列先讨论与两种情况，避免分母为0。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项把方程转化为公比的一元二次方程，结合正项数列舍去负根，再整理成指数幂统一形式； （2）对数化简后得到等差数列通项，验证首项、公差后，套用等差数列求和公式快速算出前项和. 【详解】（1）设数列的公比为， ，， ． 解得（舍去）或． 因此数列的通项公式为． （2）由（1）得． 当时，，又，故是首项，公差为-2的等差数列， 则． 例2．（25-26高二上·安徽宿州·期末）在数列中，，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和的最大值． 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）根据递推关系，判定数列是等差数列，然后求得首项和公差，进而得到通项公式； （2）令，求得，进而根据数列的前n项和的意义求得当或5时，有最大值，进而求得和的最大值． 【详解】（1）数列满足，，是等差数列， 设的公差为d，则，即，解得， ，． （2）令，得，解得， 所以当或5时，有最大值， 且最大值为． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·北京平谷·期末）已知数列的前项和，等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列前项和为，求的最大值. 【答案】(1)；. (2)544 【分析】（1）通过求首项，再利用推导递推关系，确定等比数列后得，结合等差数列通项公式基本量运算可得，即可得； （2）由（1）可知：，结合等差数列求和公式可得，进而利用二次函数性质分析最值. 【详解】（1）因为，所以当时，， 两式作差得，，即， 当时，，得， 则由以上递推关系可知，故， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； 设等差数列的公差为，因为，， 所以，所以. （2）由（1）可知：， 则， 当或时，取到最大值为． 变式2．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知数列的前n项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系式得到，得到结论； （2）分组求和，结合等差和等比数列的求和公式，得到答案 【详解】（1）由得，当时，. 两式作差得，即（，）. 当时，，故. 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，. （2）由得，所以. 其中，， 故数列的前n项和. 考点二 裂项相消法 【知识点解析】 1. 裂项相消法的基本原理 对于数列，若能将其通项公式拆分为（或）的性质， 则前项和. 2. 裂项的基本模型 （1）等差型：，其中. （2）无理型：，其中. （3）指数型：. 3. 常见的裂项形式 类型 求解思路 等差型 ，其中. 无理型 ，其中. 指数型 常见裂项 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江西九江·期末）已知数列满足，且对任意，有. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据累乘法得到时，，结合时，符合上式，得到答案； （2）裂项相消法求和即可 【详解】（1）由，得， 所以时，. 当时，，符合上式.， 所以的通项公式为. （2）由（1）得. 所以. 例2．（25-26高二下·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式得数列是等差数列，进而求出通项公式； （2）利用错位相减求和法求解； （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，得， 又，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以. （2）， 两边同乘以2，得， 两式相减，得， 所以. （3）由（2）知，所以， 所以 例3．（25-26高二下·广东河源·期末）已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用公式可求的通项公式； （2）裂项相消法可求数列的前项和. 【详解】（1）因为，当时，， 当时，， 检验，当时，，也满足．所以． （2）因为，， ， ． 例4．（25-26高二下·四川南充·期末）已知数列为等差数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公差为，利用已知条件建立方程组求解和，即可求出通项公式； （2）将裂项为，再求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以. （2）由（1）得：， 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）应用等差数列的前n项和公式求基本量，即可得通项公式，根据递推式得，从而有，作差即可得； （2）根据（1）得，应用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得， ； ， ， 当且时，， 两式相减得，则； 当时，，满足； 综上所述：； （2）， 则； 变式2．（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知公比不为1的等比数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质和题目已知条件，列出方程，求出公比，进而写出通项公式； （2）由（1）求出，进而求得，得的通项，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等比数列的公比为，且， ，，由等比性质可知， 因为，所以，， . （2）因为，则， 所以， 所以 . 变式3．（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【分析】（1）利用前项和与通项的递推关系，通过累乘法求数列的通项公式，验证的情况即可； （2）将裂项为两项差的形式，用裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 变式4．（25-26高二下·安徽·期中）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由累加法，结合等差数列的前n项和公式，可求得数列的通项公式； （2）结合（1）的结论，求得数列的通项公式，利用裂项相消求和法求得，即可证得． 【详解】（1）因为，所以，                        当时， ，                           当时，也满足上式，                             故数列的通项公式为．              （2）由（1）知，，              ． 即 考点三 错位相减法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 适用模型：等差×等比型数列 。 1. 操作步骤： ① 写出； ② 两边同乘公比，得； ③ 两式错位相减，右侧形成等比数列求和； ④ 整理化简求出。 二、解题原理 1. 区分等差部分、等比部分，确定公比； 1. 对齐同次幂项，相减时注意符号； 1. 中间等比段用等比求和公式计算； 1. 移项整理，两边除以系数得到最简式。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用与的关系式得到，故为等比数列，求出通项公式； （2）错位相减法求和即可； （3）作差法得到单调递增，从而得到取值范围 【详解】（1），当时，； 当时，，两式作差得， 是首项为1、公比2的等比数列，故. （2）， ， 两式相减得， ， （3），故单调递增，； 时，，，综上：. 例2．（25-26高三上·湖南邵阳·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列前项和公式结合已知条件求出，进而求出通项公式； （2）求出，进而列出，再利用错位相减法结合等比数列前项和公式计算求解． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意可得，结合，解得， 所以数列的通项公式． （2）由（1）知：， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 例3．（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的性质即可求解； （2）通过错位相减法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 即， 解得，， 所以． 因此数列的通项公式为. （2） ， ． 所以 ， 即 所以 例4．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知数列满足 (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求. 【答案】(1)由 ，两边同除以 ， 得，即 . 令，则 ， 所以是首项为1，公差为1的等差数列，即是等差数列. (2) 【分析】（1）对 ，两边同除以 ，利用等差数列的定义证明是等差数列. （2）先对两边求导，由第（1）问得出代入，得到，再利用错项相消求的值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知， ，即 ，时，也满足. 由， 得，又， 所以. 所以， 令， 则， 两式相减，得 ， 所以 ，即. 【变式训练】 变式1．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，对任意的，都有. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数. 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）先求出，再得出，再利用条件得出数列的首项和公差即可； （2）利用错位相减法求出，再结合解不等式求出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，两项相除得， 当时，，所以，满足式， 综上所述，， 所以，， 设数列的公差为， 则，解得或， 因为，所以， 所以； （2）由（1）知，所以单调递增， 因为①， ②， ①－②得， 所以， 因为，，所以， 故满足的最大正整数为8. 变式2．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）设数列是首项为的等比数列，已知，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公比为，根据等比数列的通项公式求解； （2）利用错位相减法求解. 【详解】（1）设数列的公比为， 因为是首项为1的等比数列且成等差数列， 所以，所以，即， 解得，所以 （2）由（1）． ，① 则，② ①－②得， 所以 变式3．（25-26高二下·辽宁铁岭·期中）记为数列的前n项和，已知． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据，求出，得到结论； （2）求出，利用错位相减法和分组求和法进行求解 【详解】（1）因为， 所以，两式相减得， 即，化简得， 则， 当时，，，则，所以， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． （2）由（1）得，则， 因为，所以， 则，所以， 则． 设①，则②， 式子①-②得， 故， 故． 变式4．（25-26高三上·四川巴中·月考）已知数列中，，满足. (1)证明数列是等比数列； (2)设，求的通项公式； (3)设，的前项和记为，试证明. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对已知递推公式变形构造目标数列，通过等比数列定义验证公比为常数、首项非零，完成证明；（2）利用第一问的结论求出的通项，代入的对数式化简，直接得到的通项公式；（3）写出通项后用错位相减法求出前项和，通过放缩证明不等式成立. 【详解】（1）由已知递推式得，变形得， 首项，因此（常数）， 故数列是首项为、公比为的等比数列； （2）由（1）的结论得：， 整理得， 所以 故的通项为； （3）由题意得， 前项和①，②， ①②得：， 即 整理得：因为，所以， 因此，得证. 考点四 分组与并项求和 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 分组求和：通项可拆成等差、等比、可裂项等简单数列之和 ，。 例：，一组等差、一组等比分别求和再相加。 1. 并项求和（奇偶分组）：通项含、周期交替，两两合并简化。 例：，相邻两项合并为定值。 二、解题原理 1. 分组：拆分通项，分别套用对应基础求和公式，结果相加； 1. 并项：按奇偶分类，两个相邻项合并，先求一组和再算组数； 1. 分奇、偶两种情况写最终表达式。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·四川广安·期末）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)∵， ∴， ，，∴， ∴， ∴， ∴数列是以12为首项，4为公比的等比数列 (2) (3) 【详解】（1）略 （2）由(1)得， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴是以2为首项，为公比的等比数列． ∴ ， 即. （3）, , , , , . 例2．（25-26高二下·广东广州·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． (1)求和； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 由等差数列求和公式得， 化简得， 因为且,所以是常数， 因此是等比数列，设其公比为，则， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列通项公式得， 所以，. （2）因为， 设数列的前项和为，则         所以数列的前项和为. 例3．（25-26高三上·上海徐汇·月考）已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程，结合且解出、的值，即可得出数列、的通项公式； （2）利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）由于等比数列的通项公式：且，所以， 故，因为且，所以，所以， 因为数列是等差数列，公差为， 所以，故，所以， 所以， 因此等比数列通项公式为，等差数列的通项公式为. （2）因为，根据题意得：， 由（1）得，. 故. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·北京顺义·期中）在等差数列中，,. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比2的等比数列，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式； （2）根据等比数列的定义得到，求出，结合等差数列求和公式、等比数列求和公式及分组求和法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 因此，. 故. （2）由题意知，，所以. 所以 . 故. 变式2．（25-26高二下·广东茂名·期中）若数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先结合已知递推式变形得到与的关系式，再构造相邻两项比值为常数，结合首项情况依等比数列定义证明. （2）由（1）得到的通项公式，将其变形即可解出的表达式. （3）将的通项拆分为两个可求和的数列，分别用等比数列前项和公式计算两部分的和，再相加得到. 【详解】（1）已知，则， 整理得：， 即，又因为首项， 因此 是首项为、公比为的等比数列，得证. （2）由（1）的结论可知，等比数列通项为：， 整理得：. （3）由（2）可知，， 所以，， 相加整理得：. 变式3．（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)63 (3) 【分析】（1）根据题设结合等差数列基本量计算可求得，进而求解即可； （2）先求得，再利用分组求和法求解即可； （3）分n为偶数和n为奇数两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得， 故. （2）由 ， . （3）依题意，， 当n为偶数时，， 此时 ； 当n为奇数时，； 故. 考点五 倒序相加法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 适用特征：距首尾等距两项之和为定值。 典型：等差数列求和推导、函数型常数。 1. 操作： · 两式相加：，。 二、解题原理 1. 写出正序、倒序两个和式； 1. 上下对应项相加，每一组和相等； 1. 计算总组数，求出，再除以2得到。 【例题分析】 例1．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 例2．（25-26高三上·浙江宁波·期中）已知，则（    ） A． B． C．1012 D．1013 【答案】A 【分析】运用倒序相加法，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】 ， 则有 因此 . 例3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 变式2．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数的定义域为，其导函数满足，且，，则______. 【答案】/ 【分析】由题意，则有，所以函数为常函数，则，设，结合，解得，即，倒序相加的关系式，即可求得的通项公式. 【详解】因为，即， 令，则， 所以函数为常函数，则，即（为常数）， 因为，令，得，所以， 即， 所以①， ②， 得： ， 即，所以， 故答案为：. 变式3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数，且，则实数的值为__________；若，且，则的取值范围为__________ 【答案】 1 【分析】求出，即可计算求解c；由c得到以及，进而消元得到，接着构造，由b的范围和以及的单调性即可分析求解. 【详解】由题可知， ∴， 令， 又， ∴， ∴，∴； ∵，∴， 且， ∵，且由，及，可知， ∴令函数， 则，且易知为单调递减函数， ∴，即， 易知，∴的取值范围为． 故答案为：1；. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 数列：数列求和问题5种高频考点复习讲义 考点目录 等差数列与等比数列的前n项和 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 倒序相加法 【知识点解析】 一、核心知识点 考点一 等差数列与等比数列的前n项和 1. 等差数列an,首项a1,公差d 通项：an=a1+(n-1)d 求和公式： s.=n,=na,+nn-山d 2 2 性质：S2k-1=(2k-1)ak;片段和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k仍等差。 2.等比数列{an},首项a1,公比q 通项：a,=a1q ·q≠1S,=41-q2-01-a9 1-q 1-q 。q=1,Sn=na1 性质：片段和Sk,S2kSk,S3k-S2k仍等比(Sk≠0)。 2027届高三数学一轮复习讲义 二、解题原理 1.已知首项、公差/公比，直接套基础公式求和： 2.给出an、Sn混合条件，联立通项与和式列方程求参数： 3.利用片段和性质简化计算，无需逐项展开： 4. 等比数列先讨论q=1与q≠1两种情况，避免分母为0。 【例题分析】 例1.(2526高二下四川乐山期末)已知a,}是各项均为正数的等比数列，4=3.9a+24,=1 (1)求数列 的通项公式： @设么=ga,求数列么的前”项和5 例2.(2s26商=上安徽宿州期未)在数列a,}中，20，=0+0u≥2)，且4=12,4，=-12」 ,}的通项公式： (1)求 (2求a的前n项和S,的最大值. 2027届高三数学一轮复习讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高二上北京平谷期末)已知数列 ,的前”项和8=2a,-1,等差数列么满足4=4,6=a (1)求数 {a}也的通项公式： (2)设数列" 前”项和为求的最大值 变式2.(2526高二下安徽芜湖期末)已知数列a,的前n项和为5，若5，=2a,-2 (1)求数 a,}的通项公式： ②求数列a,+log:S+2儿的前n项和 2027届高三数学一轮复习讲义 考点二 裂项相消法 【知识点解析】 1.裂项相消法的基本原理 对于数列{a},若能将其通项公式a,拆分为4，=b1-b。（或a,=b-b1)的性质， 则前n项和S,=a+a+a+.…+an=(6,-6)+(么，-b)+(b,-b)+…+(b1-b)=b1-h 2.裂项的基本模型 m m1 1 an= （1)等差型： (m+2(m+四-n+4km+元，其中元>“. m =m_(m+元-√+4 (2)无理型： a,=Jm+元+Va+a元-u ,其中九>4 m·a" m 1 1 (3)指数型： a.(an+ar+万a-ia+2a+元 3.常见的裂项形式 类型 求解思路 等差型 m m 1 an= m+2m+四元-hkm+业m+元'，其中元>4 无理型 m an= V√kn+2+Vkm+4元-u m_(N+元-Vkn+川） 其中元>4 指数型 m·a m 1 1 an= (a1+)(a”+)a-1a”+元a1+元】 4 2027届高三数学一轮复习讲义 1 11 171 1 n(n+1)nn+1 (2n+1)(2n-1)22n-1 2n+1 常见裂项 1 =vn+l-√n 1 n+1+/n V2n+1+√2n-1 2+1-可 3 1 1 3” 111 (2”+10(2*+1)2”+12*1+1 (3”+10(3+1）23”+13*+1 【例题分析】 例1.(25-26高二下江西九江期末)己知数列{a}满足a=2,且对任意n∈N,有1=n+2. (四求数列a, 的通项公式： ②求数列a的前”项和S, 例2.(2526高商二下江西期未)在数列a中，4=1,0=2a,+2 ①求a}的通项公式： 2027届高三数学一轮复习讲义 ②求a的前”顶和5 Sn4-1 )在（②）的条件下，令a++2,求数列}的前n项和. 6 2027届高三数学一轮复习讲义 例3.(25-26高二下广东河源期末)已知数 a的前”项和为5，且5=2”-2(neN). (1)求数列 的通项公式： 1 (2)求数列log2 a,log2a+1的前n项和Tm· 例4.(25-26高二下·四川南充期末)已知数 a}为等差数列，且4+a=4,4+a,=12 (1)求数列a 的通项公式： 11 (2)求数列a,a1J的前n项和Sn > 2027届高三数学一轮复习讲义 【变式训练】 变式1。(2s26高二下照龙江哈尔滨阶段检测)已知等差数列a,的前”项和为，且5，=4，=16：数列 {b}满足 2"b+2"-b2+…+2bn=3”-1(neN) 0求数列a和》的通项公式， @e-s-2a-2 a,a1，求数列{c}的前n项和Tn. 变式2.(2526高二下四川宜宾期末)己知公比不为1的等比数列a的前”项和为5，且41， a4=3a3-2a2 ①求a}的通项公式： 「1 (2)若bn=log2(Sn+1),求数列bb+2J的前n项和Tn. 2027届高三数学一轮复习讲义 1 变式3.(2026河北秦皇岛一模)在正项数列{an}中，设anJ的前n项和为Tn,己知a,=2,Tnan=n2. ④求a,的通项公式 1 ②令(a+2)a,求仙}的前n现和S. 变式4。(2526高二下安徽期中)已知数列a,满足4=1,2a-2a。=n+2n∈N) (1)求数列 ans 的通项公式： 1 ②)记数列a的前ル项和为S,证明：< 2027届高三数学一轮复习讲义 考点三 错位相减法 【知识点解析】 一、核心知识点 1.适用模型：等差×等比型数列a,=(An+Bq(q≠0,1)° 2.操作步骤： ①写出Sn: ②两边同乘公比q,得qSn: ③两式错位相减，右侧形成等比数列求和： ④整理化简求出Sn。 二、解题原理 1.区分等差部分、等比部分，确定公比q; 2.对齐同次幂项，相减时注意符号； 3.中间等比段用等比求和公式计算： 4.移项整理，两边除以系数得到Sn最简式。 【例题分析】 例1。（25-26高二下四川攀枝花期末)已知数列0的前”项和为，且5=24- tan (1)求”的通项公式： b.= log2 an (2)记”a。,求数列的前n项和T: 入 (3)求”的取值范围 10 2027届高三数学一轮复习讲义 例2.(25-26高三上·湖南邵阳阶段检测)已知等差数列 ,的前m项和为5，且4=3,8=78 )求a的通项公式 2)设=(0，+1)-2 列私}的前项和 ,求数 例3。(2526高=下湖北武汉期末)已知等差数列a的前”项和为，且5=3识，4=7. a.} (1)求数列 的通项公式： ②若，=2”，令=a6,求数c的前”项和 11 2027届高三数学一轮复习讲义 例4.(2425高二下湖南长沙期末)已知数 a,满足8，=na+nm≥2列，a=1 an (1)证明：数列n!是等差数列； (2) f会r+费r+…+ar 3! (n+加，求f'(2), 【变式训练】 变式1。(2026山西晋中模拟预测)已知数列a,} 等差数列， ,}是正项等比数列，且4>0，=a, 么=a6,对任意的neN,都有log,+log么++1og,b.=m,- 2 (1)求数列 an}{bn} 和 的通项公式： 2记数列a,6的前”项和为5，求满是S<202 的最大正整数” 12 2027届高三数学一轮复习讲义 变式2.(2026内蒙古赤峰模拟预测)设数列 ,是首项为的等比数列，已知“，3a,9a成等差数列 ()求a,}的通项公式： ②芳数列私，}满足么=号，记工为数列亿.}的前n现和，求 变式3。(2526高二下辽宁铁龄期中)记S为数列a的前”项和，已知S=2a,+2m 0①证明：数列a,-2列是等比数列， ②没f()=m,求a,f0}的前n项和 的 2027届高三数学一轮复习讲义 变式4，(2526高三上四川巴中月考)已知数列a,}中，4=，满足”-3a,-1=0(neN） 0 ①证明数列口，+ 是等比数列： ②设，=10g,2a,+,求，的通项公式： ,求 3 (③倒设2a+1,}的前n项和记为5，试证明3，<4. 以 2027届高三数学一轮复习讲义 考点四 分组与并项求和 【知识点解析】 一、核心知识点 1.分组求和：通项可拆成等差、等比、可裂项等简单数列之和an=bn+Cn,Sn=∑bn+∑cn。 例：a,=2n+3,一组等差、一组等比分别求和再相加。 2并项求和（奇偶分组）：通项含-1”、周期交替，两两合并简化。 例：a,=(-1”n相邻两项合并为定值。 二、解题原理 1.分组：拆分通项，分别套用对应基础求和公式，结果相加： 2.并项：按奇偶分类，两个相邻项合并，先求一组和再算组数； 3.分n奇、n偶两种情况写最终表达式。 【例题分析】 例1.(25-26高二下·四川广安期末)已知数列 a,}满足4=4,4=4a=2a,+8a,≥2） (1)求证： {a+2a,}是等比数列： 2求数列o, 的通项公式： )求数列o 的前n项和. 15 2027届高三数学一轮复习讲义 例2.(2526高二下广东广州期末)已知等差数列a,的前”项和为5，且满足4=2。，-8，数列，清足 b=1bn+1=3b S b. ()求和； 1 四活三+，求数列c,}的前”项和。 Cn= +bn 例3.(2526商三上上海徐汇月考)已知等比数列0，的公比为g(4>0且91)，等差数列么}的公差为d, 满足条件：4=6=14，=6，=4 求数列a'和么}的通项公式， ②设9，=0，-，求数列C,的前1项和了. 16 2027届高三数学一轮复习讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高二下北京顺义期中)在等差数 a,}中，a+a=-235。=-145. (1)求数列 的通项公式： (2若数列a,+6 是首项为1，公比2的等比数列，求数列么的前项和3 变式2.(2s26高二下广东浅名期中)若数列a的首项4=1，且清足“+a=4×3」 (1)求证： {a.-3是等比数列： 2求a,的通项公式 ③)求a的前”项和5 4 2027届高三数学一轮复习讲义 变式3.(2026·安徽模拟预测)已知等差数列 的前n项和为，其中4，+a,=26,S,=78 求数列{a,} 的通项公式： 0)考94-20 1 2 4.2%+3 Sb ，求间的值： -2an+35,n为奇数 3)若9 an-19,n为偶数，求数列{cn}的前n项和Tn· 烟 2027届高三数学一轮复习讲义 考点五 倒序相加法 【知识点解析】 一、核心知识点 1.适用特征：距首尾等距两项之和为定值M。 典型：等差数列求和推导、函数型f(x)+f(1-x)=常数。 2.操作： Sn=a1+a2+...+an Sn=an+an-1+...+a 两式相加：2S,=n~M,S,-nM 2 二、解题原理 1.写出正序、倒序两个和式： 2.上下对应项相加，每一组和相等： 3.计算总组数，求出2Sn,再除以2得到Sn。 【例题分析】 例1.（226河南模银赛测)若高徽)+e个-2x+-+.则6产/品6 +…+f 4051 2026 2026 () 12253 12153 A.6322 B 2 C.6321 D 2 21014 2,2526高三上浙江宁波期中)已知)2+20， 2025 2027 2 B.2 C.1012 D.1013 19 2027届高三数学一轮复习讲义 例3.(25-26高三上黑龙江哈尔滨期中)德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子.他年幼时，在 +O0的求和运算中，提出了倒序相加法的原理.现有函数三2+万二 =fo+日)+/"r0aeN）,若在在AeN使不等式+n-2a,+15s0成立，则的 取值范围是 【变式训练】 变式1，w5广西肤林一模海数内-(-片.则 2024 2025 + (2026) (2026() 2025 A.2026 B.2025 C.1013 D.2 变式2。(2s26高=上山西晋城期未)已知函数（的定义域为R,其导函数(）清足代)=f1-,且 }-2.a=@++r0ae).则a- 变式3.(2526高=上广本深圳期未)已知面数f儿)=Q0+2,且 20 2027届高三数学一轮复习讲义 1 2024 506 f(a)+b 2025 C, 则实数c的值为 :若a+b=c,且a≥b≥0，则f(b)+a的 取值范围为 21