暑假预习：判断根的情况、由根的情况求参数、二次方程根与系数的关系专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦一元二次方程根的判别与系数关系，以“概念应用-参数求解-关系综合”为逻辑主线，通过分层例题与变式题培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断根的情况|例1-5+变式1-5|选择/填空为主，直接应用判别式|从判别式概念到根的三种情况判断，基础应用| |由根的情况求参数|例1-5+变式1-5|含参数取值范围及证明，关注二次项系数|判别式逆向应用，结合分类讨论思想| |根与系数的关系|例1-5+变式1-5|代数式求值与参数计算，解答题为主|韦达定理应用，建立根与系数的数量关系，综合提升|

暑假预习：判断根的情况、由根的情况求参数、二次方程根与系数的关系专项训练 暑假预习：判断根的情况、由根的情况求参数、二次方程根与系数的关系专项训练 考点目录 判断一元二次方程根的情况 由一元二次方程根的情况求参数 二次方程根与系数的关系 考点一 判断一元二次方程根的情况 例1．（25-26八年级下·山西大同·期末）关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 例2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 例3．（2026·广东中山·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 变式1．（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 变式2．（25-26八年级下·河北衡水·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 变式3．（25-26九年级上·广东阳江·期末）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 考点二 由一元二次方程根的情况求参数 例1．（2026·河北邯郸·模拟预测）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 例3．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 例4．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 例5．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 变式1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若关于x的方程有实数根，则c的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 变式3．（25-26八年级下·吉林·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 变式4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 变式5．（25-26八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 考点三 二次方程根与系数的关系 例1．（25-26八年级下·山东日照·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，，且，则_____． 例4．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 例5．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 变式1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 变式2．（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 变式3．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 变式4．（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 变式5．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：判断根的情况、由根的情况求参数、二次方程根与系数的关系专项训练 暑假预习：判断根的情况、由根的情况求参数、二次方程根与系数的关系专项训练 考点目录 判断一元二次方程根的情况 由一元二次方程根的情况求参数 二次方程根与系数的关系 考点一 判断一元二次方程根的情况 例1．（25-26八年级下·山西大同·期末）关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 例2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】运用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可求解． 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 例3．（2026·广东中山·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】先根据正比例函数图象的性质可得，再根据判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴． 在一元二次方程中， 则， ∵， ∴， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 变式1．（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 变式2．（25-26八年级下·河北衡水·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】计算一元二次方程根的判别式的值，根据与的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 变式3．（25-26九年级上·广东阳江·期末）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】 有实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是正确计算判别式并判断其符号．先确定一元二次方程的系数a，b，c；再代入根的判别式公式进行计算；最后根据的符号判断根的情况． 【详解】解：对于方程， ，，， ， ． 故该一元二次方程有实数根． 故答案为：有实数根． 考点二 由一元二次方程根的情况求参数 例1．（2026·河北邯郸·模拟预测）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个实数根时，根的判别式，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 方程中，，， 代入得：， 化简得， 解得， 因此的取值范围是． 例2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于或等于0，求解两个条件后取交集即可得到结果． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得； ∵原方程有实数根 ∴， 展开化简得， 解得， 综上，的取值范围是且． 例3．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，结合方程有实根可得根的判别式，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数，解得， 方程有实根， ， 解得， 综上，的取值范围是且． 例4．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】(1) 证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的两个根，再根据方程有两个互不相等的负整数根，且为整数的条件，排除不符合的情况，得到的值； 【详解】（1）略 （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 例5．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接得到有实数根；时，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒非负，即可证明方程总有实数根． （2）先求出方程的两个根，再根据"两个不相等的正整数根"和为整数的条件，筛选得到符合要求的的值． 【详解】（1）证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程， ， 任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． （2）解： 方程有两个不相等的正整数根， ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 变式1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若关于x的方程有实数根，则c的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“方程有实数根时，根的判别式大于等于”列不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 变式3．（25-26八年级下·吉林·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，题目已明确方程为一元二次方程，二次项系数不为0，根据方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 变式4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值； （2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于，据此列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一元二次方程， ∴判别式 ， ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴或； 当时，，方程有解，符合题意； 当时，，方程有解，符合题意； （2）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得． 变式5．（25-26八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 【答案】(1) (2)当时，， 【分析】（1）根据条件得出，即，即可得出结论； （2）任取一个符合条件的m的值，并代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知 ∴当时，一元二次方程为， 解得， 考点三 二次方程根与系数的关系 例1．（25-26八年级下·山东日照·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 例2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入计算即可求解． 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 例3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据题意a，b是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 例4．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 例5．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据根与系数的关系用表示和，再代入已知等式得到关于的方程，结合（1）中的范围筛选出符合条件的值即可； 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 变式1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 【答案】C 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ． 变式2．（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 变式3．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于方程可得 ， ∴． 变式4．（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)另一个实数根为 (2)或 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 变式5．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $