专题2.3 有理数的乘方（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版七年级数学上学期培优讲义

专题2.3 有理数的乘方 【本节预习目标】 1.知识与技能 理解有理数乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念及各部分名称 掌握有理数乘方的符号法则，能正确进行正数、负数、0及分数的乘方运算 理解科学记数法的标准形式（，为正整数），能将大数改写为科学记数法 掌握有理数混合运算的顺序，能熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算 2.过程与方法 通过"国际象棋麦粒"等实际情境，经历乘方概念的形成过程，体会乘方是特殊乘法的简便记法 通过观察、比较、归纳，自主探索乘方的符号规律，培养合情推理能力 在科学记数法的学习中，感受大数的意义，发展数感 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0 乘方本质是特殊的乘法运算，符号法则由乘法法则推导而来 多个有理数相乘的符号规律 几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负 直接推导负数乘方的符号法则：奇次幂负，偶次幂正 有理数的乘除混合运算 先将除法转化为乘法，再确定符号，最后计算绝对值 为有理数混合运算奠定基础，乘方运算优先级高于乘除 乘法运算律 乘法交换律、结合律、分配律 乘方运算中需注意运算律的适用范围，避免错误套用 知识点1：有理数乘方的意义 1.乘方的定义 求个相同因数的积的运算，叫做乘方。 一般地，个相同的数相乘，记作，即： 2.乘方的各部分名称 底数：相乘的相同因数叫做底数 指数：相同因数的个数叫做指数 幂：乘方的结果叫做幂 读法：读作"的次方"；当看作结果时，读作"的次幂"。 3.特殊规定 一个数可以看作它本身的1次方，即，指数1通常省略不写 一个数的二次方也叫平方（如读作的平方） 一个数的三次方也叫立方（如读作的立方） 4.易错辨析：底数的确定 形式 底数 含义 结果示例 2个相乘 的相反数 2个相乘 分子是，分母是3 口诀记忆：有括号，全包进去；无括号，只管数字本身，负号/分数线放外面。 知识点2：有理数乘方的符号法则 1.符号规律 底数类型 指数类型 幂的符号 举例 正数 任意正整数 正数 ， 负数 奇数 负数 负数 偶数 正数 0 任意正整数 0 1 任意正整数 1 奇数 偶数 2.口诀记忆 正数任何次幂，结果恒为正 负数奇次幂为负，偶次幂为正（简称：负奇负，负偶正） 0的任何正整数次幂都是0 3.拓展性质 任意有理数的偶次幂都是非负数，即对于任意有理数，都有（为正整数） 平方具有非负性：，当且仅当时， 知识点3：科学记数法 1.科学记数法的定义 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 2.确定和的方法 的确定：将原数的小数点向左移动，使整数位只有一位非零数字，得到的数就是 的确定：等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数 3.还原科学记数法 将还原成原数时，只需将的小数点向右移动位，不足的数位用0补足。 4.科学记数法的实际意义 简化大数的书写和运算，如光速、人口数、天体距离等 便于比较大数的大小（先比较指数，指数相同再比较） 知识点4：有理数的混合运算 1.运算顺序（三级运算） 优先级 运算类型 说明 第一级（最高） 括号运算 先算小括号，再算中括号，最后算大括号（从内到外） 第二级 乘方运算 乘方是比乘除更高一级的运算 第三级 乘除运算 同级运算从左到右 第四级（最低） 加减运算 同级运算从左到右 2.运算顺序口诀 先乘方，再乘除，最后加减； 有括号，先算括号内； 同级运算，从左到右。 3.混合运算的注意事项 注意符号：每一步运算都要先确定符号，再计算绝对值 灵活运用运算律：在保证运算顺序正确的前提下，可灵活运用运算律简化计算 分步标记法：复杂运算可用不同符号标注运算优先级，避免顺序错误 【基础巩固题型】 【题型1】乘方的概念识别与理解 1.核心知识点 乘方的定义；底数、指数、幂的概念与识别；乘方的读法与书写规范 2.解题方法技巧 ①定义对照法：根据"求n个相同因数的积的运算"对照乘方各部分名称 ②形式辨析法：区分有括号与无括号、整数与分数等不同形式的乘方表达式 ③转化验证法：将乘方形式转化为连乘形式，验证对概念的理解是否正确 【例题1】.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）计算：的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方和乘法的意义，解题的关键是区分个相乘与个相加的不同，以及个相加的表示方法． 个相乘表示为；个相加表示为；将两部分结果相加即可． 【详解】解：个相乘，根据乘方的意义，可表示为；个相加，根据乘法的意义，可表示为； 因此，原式的结果为． 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·河北承德·期末）可以写成（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的定义，8个相乘应表示为的8次方，即 ． 【详解】∵ 8个相乘即(-2)重复乘8次， ∴ 可写为． 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26六年级上·上海·期末）乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数幂，根据有理数幂的定义，进行判断即可． 【详解】解：乘法运算可以表示为； 故选C． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【答案】A 【分析】本题考查乘方运算中底数的概念和运算顺序．的底数是3，而 的底数是 -3，因此底数不同；计算结果分别为和9，不同，即可得到答案． 【详解】解：，底数为3； ，底数为． 则甲的说法正确，乙的说法错误， 故选：A． 【题型2】有理数乘方的基础运算 1.核心知识点 乘方的运算方法；乘方的符号法则；整数、分数、小数的乘方计算 2.解题方法技巧 ①符号优先法：先根据"负奇负、负偶正"确定幂的符号，再计算绝对值 ②转化计算法：将乘方转化为连乘形式，分步计算结果 ③特殊值法：熟记0、1、-1等特殊数的乘方规律快速判断 【例题2】.（2026·贵州遵义·一模）计算的结果是（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据乘方的定义，表示n个a相乘，解答即可． 【详解】解： ． 【变式题2-1】.（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：选项A：，， ，符合要求； 选项B：，， ，不符合要求； 选项C：，， ，不符合要求； 选项D：，， ，不符合要求． 【变式题2-2】.（2026·山东济南·一模）计算的结果是_______ ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义进行计算即可． 【详解】解：． 【变式题2-3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ； （5）解：； （6）解：； 【题型3】程序流程图中的乘方计算 1.核心知识点 乘方的基本运算；条件判断与分支计算；数学运算的程序化表达 2.解题方法技巧 ①流程图解读法：按箭头方向逐步分析，明确每一步的运算和判断条件 ②代入验证法：将输入值代入程序，一步步模拟计算过程 ③逆向推导法：已知输出结果，反推可能的输入值 【例题3】.（25-26七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【答案】A 【详解】解：输入n的值为3，， 输入n的值为8，，输出y． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先输入1，得到结果，再输入，得到结果，即可． 【详解】解：输入1，， 输入，， 所以输出的值为4． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先根据流程图求出运算结果，再把代入计算即可求解，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：由流程图得，， 当输入时，， ∵， ∴第二次输入， 当时，，输出， ∴输出的结果是． 【变式题3-3】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）“数值转换机”的示意图如图所示，当时，输出的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查流程图与有理数的混合运算，正确理解流程图是关键． 根据流程图写出计算公式，再按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，当时，输出的结果为： ． 故答案为：． 【题型4】乘方符号法则应用 1.核心知识点 有理数乘方的符号规律；正数、负数、0的乘方符号判断；易混乘方形式的符号区别 2.解题方法技巧 ①口诀应用法：运用"负奇负、负偶正"口诀快速判断符号 ②分类讨论法：按底数正负、指数奇偶分类讨论 ③对比辨析法：对比易混淆的乘方形式，明确符号差异的原因 【例题4】.（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 【变式题4-1】.（25-26七年级上·海南三亚·期末）计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：当时，∴，故A选项错误； 根据有理数乘方法则，互为相反数的两个数的偶次幂相等，，故B选项正确； 当时，，而，故C选项错误； 当时，，而，故D选项错误． 故选B． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·北京·课后作业）如果n是正整数，则_____ ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则． 直接利用有理数的乘方法则计算． 【详解】解： ． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）计算：＝（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，掌握负数的奇偶次幂的性质是解题的关键；利用负数的奇偶次幂性质：奇数次幂为负，偶数次幂为正，直接计算表达式. 【详解】解：∵ 故答案为：D. 【题型5】科学记数法的表示与还原 1.核心知识点 科学记数法的定义；中和的确定方法；科学记数法的还原与实际意义 2.解题方法技巧 ①数位法：数出原数的整数位数，减1得到指数，保证 ②移点法：将小数点左移至第一位有效数字后，移动的位数即为 ③还原法：将的小数点右移位，不足补0，得到原数 【例题5】.（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）某计算机的固态硬盘能写入1560000兆字节的数据，则写入的数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】． 【变式题5-1】.（2026·上海·中考真题）某市年进出口集装箱个，年进出口集装箱个，则年较年集装箱的进出口数量增加了________．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】用年进出口集装箱数量减去年的数量，将结果整理为符合要求的科学记数法的形式即可解答． 【详解】解：根据题意列算式计算得：． 【变式题5-2】.（2026·重庆大渡口·二模）某景区接待游客人数约为人，这个数的原数是（    ） A．42000 B．420000 C．4200000 D．42000000 【答案】B 【分析】将科学记数法转换为原数，需将小数点向右移动5位． 【详解】解：∵ ． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【答案】705000000 【分析】本题考查将科学记数法表示的数还原为原数，只需把科学记数法中的小数点向右移动位，即可得到原数． 【详解】解：根据题意，得 【培优提升题型】 【题型6】近似数与精确度 1.核心知识点 近似数的概念；精确度的判断；按要求取近似数；由近似数推断准确数范围 2.解题方法技巧 ①四舍五入法：按要求的精确度对下一位数字进行四舍五入 ②数位定位法：精确到哪一位，就看那一位的下一位数字 ③范围推断法：根据近似数的精确度反推准确数的取值范围 【例题6】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 【答案】 【分析】本题考查近似数的四舍五入法，解题思路为确定精确数位，观察下一位数字，根据四舍五入规则求解． 【详解】解：根据题意，精确到百分位，即保留小数点后两位，需要观察小数点后第三位，即千分位的数字．，千分位数字为，因为，根据四舍五入规则，向百分位进．因此得到的结果为． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． 【答案】百 【分析】将以“万”为单位的近似数还原为原数，根据近似数精确位数的判定规则，看末位有效数字在原数中对应的数位即可． 【详解】解：因为万， 所以近似数“万”精确到百位． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·海南海口·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查近似数，掌握相关知识是解决问题的关键．近似数精确到百分位，由四舍五入法则，数a的取值范围需满足四舍五入后为 【详解】解：∵近似数是由a四舍五入到百分位得到的， ∴a的最小值为（千分位为5，进一后得）， a的最大值小于（若，四舍五入后为）， ∴ 故选：B． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）某运动员的体重约为，这个数是由四舍五入法得到的近似数，那么该运动员的体重的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度． 根据近似数精确到十分位，是从百分位上的数字四舍五入得到的即可得出答案． 【详解】解：∵近似数是由数x四舍五入得到的， ∴数x的取值范围是， 故选：C． 【题型7】实际情景中的乘方运算 1.核心知识点 有理数乘方的符号法则；正数、负数、0的乘方运算；乘方运算的实际应用 2.解题方法技巧 ①两步计算法：第一步确定符号，第二步计算绝对值的乘方 ②情境建模法：将细菌分裂、细胞繁殖等实际问题转化为乘方数学模型 ③特殊值检验法：用0、1、-1等特殊值验证运算结果的合理性 【例题7】.（24-25七年级上·江苏·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【答案】 【分析】据题意，每天截取后剩余长度是前一天剩余长度的一半，逐天计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意， 第1天截取后剩余长度为：， 第2天截取后剩余长度为：， 第3天截取后剩余长度为：， 第4天截取后剩余长度为：， 第5天截取后剩余长度为：， 故第5天截取后木棍剩余长度为． 【变式题7-1】.（25-26六年级上·山东威海·期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】初始木棍长1米，每天截去一半，即剩余长度为前一天的，由此可推出第天剩余长度为米，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵初始木棍长1米，第一天截去一半后，剩余长度为米； 第二天截去一半后，剩余长度为米； 第三天截去一半后，剩余长度为米； 以此类推，第天剩余长度为米． 当时，剩余长度为米． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，经过3小时，这种细胞由一个分裂成(　　) A．6个 B．8个 C．64个 D．12个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘方的应用．根据题意可得分裂次数为6次，即可求解． 【详解】解：∵3小时分钟，分裂间隔30分钟， ∴分裂次数次， ∵每过30分钟便由1个分裂成2个， ∴经过6次分裂，细胞数量个． 故选：C 【变式题7-3】.（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分裂成16个，那么这个过程要经过（　　）    A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 【答案】B 【分析】根据题意30分钟由一个分裂成2个，依次计算即可． 【详解】解：第一次：30分钟变成2个； 第二次：1小时变成个； 第三次：1.5小时变成个； 第四次：2小时变成个； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方的相关知识点． 【题型8】幂的个位数字周期规律探究 1.核心知识点 乘方的运算；数字规律的探究方法；周期问题的解题思路 2.解题方法技巧 ①枚举发现法：计算前若干次幂的个位数字，观察是否出现循环 ②周期确定法：找到循环周期后，用指数除以周期，根据余数确定结果 ③分类记忆法：不同底数的个位数字周期不同，分类记忆常见规律 【例题8】.（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了根据乘方运算求解．观察3的正整数次幂的个位数字，发现其以3、9、7、1四个数字为一个循环周期．2025除以4的余数为1，故的个位数字与的个位数字相同，据此即可求解． 【详解】解：由题意得的个位数字按3、9、7、1顺序循环， ， 因此个位数字为3． 故答案为：3． 【变式题8-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（ ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，乘方运算． 根据尾数的循环性得出结论即可. 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查数字规律探索，找到循环周期并计算余数是解题关键．观察3的幂次方的末位数字，发现每4次循环一次，循环顺序为，计算2025除以4的余数，根据余数即可确定末位数字． 【详解】解：因为，，，，，，，……， 所以发现规律为的末位数字按照的顺序进行循环， 因为 ， 所以的末位数字是3． 故选：B 【变式题8-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)6 (2)480 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 【压轴素养题型】 【题型9】乘方新定义运算 1.核心知识点 乘方的概念与运算；新定义运算的理解与转化；类比迁移能力 2.解题方法技巧 ①定义转化法：严格按照新定义的规则，将陌生运算转化为熟悉的乘方运算 ②从简试算法：从简单情况入手，逐步理解新运算的含义和规律 ③性质探究法：探究新运算是否满足交换律、结合律等，深化对运算的理解 【例题9】.（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 【答案】(1)的个位数字为3，的个位数为2. (2)7. 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． 【详解】（1），，，，，， 7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为3． ，，，，，， 8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2． （2）与（1）同理可得，2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为7， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为8， ， 的个位数字是. 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及尾数特征，能通过计算发现，，，的正整数幂的个位数字变化规律是解题的关键． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 【答案】(1)， (2)①；②不满足交换律，不一定成立 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及绝对值的非负性和偶次方的非负性，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）根据绝对值的非负性和偶次方的非负性即可求解． （2）①根据题中的新定义结合（1）中数字进行计算即可． ②求出和比较即可． 【详解】（1）解：由条件可知，， ，． 故答案为：，； （2）解：①； ②， ， 所以不一定成立． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）对于任意有理数a和b，定义一种新运算“”：，例如：，． (1)求的值： (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)220 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘法运算，乘法运算律．理解运算规则是解题的关键． （1）根据新定义进行运算，即可求解； （2）根据新定义进行运算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·四川乐山·期末）学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，用“”定义了一种新运算，对任意有理数和有规则如下：， 如：． (1)求的值； (2)这种运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【答案】(1)64 (2)这种新运算“⊕”满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，列出算式进行计算即可； （2）根据新定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意， ； （2）解：成立，理由如下： ∵； 故． 【题型10】递推数列中的乘方规律探究 1.核心知识点 乘方的运算与性质；数列规律的探究方法；从特殊到一般的归纳推理 2.解题方法技巧 ①逐项计算法：计算数列的前几项，观察各项与乘方的关联 ②差分分析法：计算相邻两项的差或比，发现隐藏的乘方规律 ③猜想验证法：归纳出通项公式后，用递推关系验证猜想的正确性 【例题10】.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，利用错位相消法解题． 仿照题干中的方法，设和为S，乘以5后相减，消去中间项，即可得到结果． 【详解】解：设， 则， 两式相减得：， 即， 所以， 故答案为：． 【变式题10-1】.（24-25九年级上·浙江宁波·自主招生）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照上面推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，代数式的恒等变形，掌握错位相减法是解题关键． 令为所求的和，乘以后得到新式，用新式减去原式，消去中间项，即可化简求出． 【详解】解：令， 则， ∵， ∴， ∴． 故选：． 【变式题10-2】.（24-25七年级上·全国·课后作业）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； （2）根据规律可得第个数是；仿照（1）中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）解：设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 【变式题10-3】.（24-25七年级上·四川成都·期末）【观察思考】欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘2，得②； 由①得，代入②中得：， 解得． 所以． 【尝试解答】根据以上解题过程，并解决问题： （1）计算：①． ②． 【拓展应用】（2）用上面学到的方法，将无限循环小数写成分数形式（写出解答过程）． 【答案】（1）①，②；（2） 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，理解题中所给计算方法是解题的关键． （1）①令，则有，根据题中所给方法，对所给算式进行计算即可． ②令①，则②，根据题中所给方法，对所给算式进行计算即可． （2）令所给无限循环小数为x，据此建立方程即可解决问题． 【详解】解：（1）①令①， 则②， 由①得：，并代入中，得，， 解得：， 所以． ②令①， 则②， 由①得：， 代入②得：， 解得， 所以． （2）令， 则， 所以， 解得x， 所以． 易错点 1、与混淆，负号是否参与乘方判断不清 2、带分数乘方未先化为假分数，导致计算错误 3、混合运算顺序混乱，忽略乘方优先级高于乘除 4、0和1的特殊幂运算性质记忆不完整 5、负数乘方的符号规律应用错误，奇偶指数判断不准 重点 1、有理数乘方的概念与符号法则，是全章运算的基础 2、含乘方的有理数混合运算，掌握三级运算顺序 3、乘方的实际应用，能建立数学模型解决实际问题 难点 1、与的深度辨析及拓展应用 2、乘方运算中的规律探究与归纳推理 3、乘方非负性的综合应用 4、乘方的实际应用与数学建模 一、单选题 1．若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 【详解】解：∵任意数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴，， 解得 ，， 将， 代入 得：. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是乘方的定义和乘法的意义，解题关键是熟练掌握相关计算． 分别将个的乘积、个的和转化为乘方和乘法形式，再相加即可． 【详解】解：个相乘，根据乘方的定义，可表示为， 又个相加，根据乘法是加法的简便运算，可表示为， 原式． 故选：． 3．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3取余法转换为三进制数，即可得到结果 【详解】解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为 ∴将转换为十进制数得： 即对应的十进制数为14， 接下来将十进制数14转换为三进制，使用除3取余法： ，余数为2； ，余数为1； ，余数为1； 将所得余数倒序排列，得到三进制数为 二、填空题 4．规定一种运算：，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据新定义代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 5．下列各数：，，，，中，负数的个数是_____． 【答案】3 【分析】先利用有理数的乘方运算、绝对值的性质化简各数，再根据负数的定义判断其中负数的个数． 【详解】解：，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ，是负数． 综上，负数共有3个． 6．已知互为相反数，互为倒数、则___________． 【答案】 【分析】本题考查相反数，倒数，含乘方的有理数的混合运算，利用相反数和倒数的性质，得出 和，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，，， ∴； 故答案为： 三、解答题 7．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．计算： 【答案】2 【分析】可以设，将等式的两边同时乘2，则使S这个式子里面的每个2的次数增加了一个，再将两个式子相减，将式子化简得出算式的值是2． 【详解】解：设, 等号的两边同时乘2得：, 得： ， 即， ∴． 9．方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）方方第一步在计算时出错了，结果应为；圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算； （2）先计算乘方，再从左到右进行乘除运算的顺序计算，最后算加减即可求解． 【详解】（1）解：∵方方第一步在计算时出错了，结果应为， ∴方方开始出错的是第①步， ∵圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算， ∴圆圆开始出错的是第②步． （2）解： 10．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 【答案】(1)，； (2)②③； (3)； (4)． 【分析】（1）根据新定义直接计算即可求解； （2）理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式，即可求解； （3）根据法则计算即可求解； （4）根据法则结合有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①任何非零数的2次商都等于1，故①正确； ②对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，故②不正确； ③， ∴故③不正确； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确； （3）解：， ； （4）解： ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 有理数的乘方 【本节预习目标】 1.知识与技能 理解有理数乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念及各部分名称 掌握有理数乘方的符号法则，能正确进行正数、负数、0及分数的乘方运算 理解科学记数法的标准形式（，为正整数），能将大数改写为科学记数法 掌握有理数混合运算的顺序，能熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算 2.过程与方法 通过"国际象棋麦粒"等实际情境，经历乘方概念的形成过程，体会乘方是特殊乘法的简便记法 通过观察、比较、归纳，自主探索乘方的符号规律，培养合情推理能力 在科学记数法的学习中，感受大数的意义，发展数感 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0 乘方本质是特殊的乘法运算，符号法则由乘法法则推导而来 多个有理数相乘的符号规律 几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负 直接推导负数乘方的符号法则：奇次幂负，偶次幂正 有理数的乘除混合运算 先将除法转化为乘法，再确定符号，最后计算绝对值 为有理数混合运算奠定基础，乘方运算优先级高于乘除 乘法运算律 乘法交换律、结合律、分配律 乘方运算中需注意运算律的适用范围，避免错误套用 知识点1：有理数乘方的意义 1.乘方的定义 求个相同因数的积的运算，叫做乘方。 一般地，个相同的数相乘，记作，即： 2.乘方的各部分名称 底数：相乘的相同因数叫做底数 指数：相同因数的个数叫做指数 幂：乘方的结果叫做幂 读法：读作"的次方"；当看作结果时，读作"的次幂"。 3.特殊规定 一个数可以看作它本身的1次方，即，指数1通常省略不写 一个数的二次方也叫平方（如读作的平方） 一个数的三次方也叫立方（如读作的立方） 4.易错辨析：底数的确定 形式 底数 含义 结果示例 2个相乘 的相反数 2个相乘 分子是，分母是3 口诀记忆：有括号，全包进去；无括号，只管数字本身，负号/分数线放外面。 知识点2：有理数乘方的符号法则 1.符号规律 底数类型 指数类型 幂的符号 举例 正数 任意正整数 正数 ， 负数 奇数 负数 负数 偶数 正数 0 任意正整数 0 1 任意正整数 1 奇数 偶数 2.口诀记忆 正数任何次幂，结果恒为正 负数奇次幂为负，偶次幂为正（简称：负奇负，负偶正） 0的任何正整数次幂都是0 3.拓展性质 任意有理数的偶次幂都是非负数，即对于任意有理数，都有（为正整数） 平方具有非负性：，当且仅当时， 知识点3：科学记数法 1.科学记数法的定义 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 2.确定和的方法 的确定：将原数的小数点向左移动，使整数位只有一位非零数字，得到的数就是 的确定：等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数 3.还原科学记数法 将还原成原数时，只需将的小数点向右移动位，不足的数位用0补足。 4.科学记数法的实际意义 简化大数的书写和运算，如光速、人口数、天体距离等 便于比较大数的大小（先比较指数，指数相同再比较） 知识点4：有理数的混合运算 1.运算顺序（三级运算） 优先级 运算类型 说明 第一级（最高） 括号运算 先算小括号，再算中括号，最后算大括号（从内到外） 第二级 乘方运算 乘方是比乘除更高一级的运算 第三级 乘除运算 同级运算从左到右 第四级（最低） 加减运算 同级运算从左到右 2.运算顺序口诀 先乘方，再乘除，最后加减； 有括号，先算括号内； 同级运算，从左到右。 3.混合运算的注意事项 注意符号：每一步运算都要先确定符号，再计算绝对值 灵活运用运算律：在保证运算顺序正确的前提下，可灵活运用运算律简化计算 分步标记法：复杂运算可用不同符号标注运算优先级，避免顺序错误 【基础巩固题型】 【题型1】乘方的概念识别与理解 1.核心知识点 乘方的定义；底数、指数、幂的概念与识别；乘方的读法与书写规范 2.解题方法技巧 ①定义对照法：根据"求n个相同因数的积的运算"对照乘方各部分名称 ②形式辨析法：区分有括号与无括号、整数与分数等不同形式的乘方表达式 ③转化验证法：将乘方形式转化为连乘形式，验证对概念的理解是否正确 【例题1】.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）计算：的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·河北承德·期末）可以写成（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26六年级上·上海·期末）乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【题型2】有理数乘方的基础运算 1.核心知识点 乘方的运算方法；乘方的符号法则；整数、分数、小数的乘方计算 2.解题方法技巧 ①符号优先法：先根据"负奇负、负偶正"确定幂的符号，再计算绝对值 ②转化计算法：将乘方转化为连乘形式，分步计算结果 ③特殊值法：熟记0、1、-1等特殊数的乘方规律快速判断 【例题2】.（2026·贵州遵义·一模）计算的结果是（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式题2-1】.（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式题2-2】.（2026·山东济南·一模）计算的结果是_______ ． 【变式题2-3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型3】程序流程图中的乘方计算 1.核心知识点 乘方的基本运算；条件判断与分支计算；数学运算的程序化表达 2.解题方法技巧 ①流程图解读法：按箭头方向逐步分析，明确每一步的运算和判断条件 ②代入验证法：将输入值代入程序，一步步模拟计算过程 ③逆向推导法：已知输出结果，反推可能的输入值 【例题3】.（25-26七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【变式题3-1】.（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【变式题3-2】.（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 【变式题3-3】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）“数值转换机”的示意图如图所示，当时，输出的结果是________． 【题型4】乘方符号法则应用 1.核心知识点 有理数乘方的符号规律；正数、负数、0的乘方符号判断；易混乘方形式的符号区别 2.解题方法技巧 ①口诀应用法：运用"负奇负、负偶正"口诀快速判断符号 ②分类讨论法：按底数正负、指数奇偶分类讨论 ③对比辨析法：对比易混淆的乘方形式，明确符号差异的原因 【例题4】.（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【变式题4-1】.（25-26七年级上·海南三亚·期末）计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·北京·课后作业）如果n是正整数，则_____ ． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）计算：＝（    ） A．0 B．1 C． D． 【题型5】科学记数法的表示与还原 1.核心知识点 科学记数法的定义；中和的确定方法；科学记数法的还原与实际意义 2.解题方法技巧 ①数位法：数出原数的整数位数，减1得到指数，保证 ②移点法：将小数点左移至第一位有效数字后，移动的位数即为 ③还原法：将的小数点右移位，不足补0，得到原数 【例题5】.（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）某计算机的固态硬盘能写入1560000兆字节的数据，则写入的数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2026·上海·中考真题）某市年进出口集装箱个，年进出口集装箱个，则年较年集装箱的进出口数量增加了________．（用科学记数法表示） 【变式题5-2】.（2026·重庆大渡口·二模）某景区接待游客人数约为人，这个数的原数是（    ） A．42000 B．420000 C．4200000 D．42000000 【变式题5-3】.（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【培优提升题型】 【题型6】近似数与精确度 1.核心知识点 近似数的概念；精确度的判断；按要求取近似数；由近似数推断准确数范围 2.解题方法技巧 ①四舍五入法：按要求的精确度对下一位数字进行四舍五入 ②数位定位法：精确到哪一位，就看那一位的下一位数字 ③范围推断法：根据近似数的精确度反推准确数的取值范围 【例题6】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·海南海口·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）某运动员的体重约为，这个数是由四舍五入法得到的近似数，那么该运动员的体重的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7】实际情景中的乘方运算 1.核心知识点 有理数乘方的符号法则；正数、负数、0的乘方运算；乘方运算的实际应用 2.解题方法技巧 ①两步计算法：第一步确定符号，第二步计算绝对值的乘方 ②情境建模法：将细菌分裂、细胞繁殖等实际问题转化为乘方数学模型 ③特殊值检验法：用0、1、-1等特殊值验证运算结果的合理性 【例题7】.（24-25七年级上·江苏·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【变式题7-1】.（25-26六年级上·山东威海·期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式题7-2】.（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，经过3小时，这种细胞由一个分裂成(　　) A．6个 B．8个 C．64个 D．12个 【变式题7-3】.（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分裂成16个，那么这个过程要经过（　　）    A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 【题型8】幂的个位数字周期规律探究 1.核心知识点 乘方的运算；数字规律的探究方法；周期问题的解题思路 2.解题方法技巧 ①枚举发现法：计算前若干次幂的个位数字，观察是否出现循环 ②周期确定法：找到循环周期后，用指数除以周期，根据余数确定结果 ③分类记忆法：不同底数的个位数字周期不同，分类记忆常见规律 【例题8】.（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【变式题8-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（ ） A．6 B．4 C．2 D．8 【变式题8-2】.（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式题8-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 【压轴素养题型】 【题型9】乘方新定义运算 1.核心知识点 乘方的概念与运算；新定义运算的理解与转化；类比迁移能力 2.解题方法技巧 ①定义转化法：严格按照新定义的规则，将陌生运算转化为熟悉的乘方运算 ②从简试算法：从简单情况入手，逐步理解新运算的含义和规律 ③性质探究法：探究新运算是否满足交换律、结合律等，深化对运算的理解 【例题9】.（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 【变式题9-2】.（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）对于任意有理数a和b，定义一种新运算“”：，例如：，． (1)求的值： (2)求的值； 【变式题9-3】.（25-26七年级上·四川乐山·期末）学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，用“”定义了一种新运算，对任意有理数和有规则如下：， 如：． (1)求的值； (2)这种运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【题型10】递推数列中的乘方规律探究 1.核心知识点 乘方的运算与性质；数列规律的探究方法；从特殊到一般的归纳推理 2.解题方法技巧 ①逐项计算法：计算数列的前几项，观察各项与乘方的关联 ②差分分析法：计算相邻两项的差或比，发现隐藏的乘方规律 ③猜想验证法：归纳出通项公式后，用递推关系验证猜想的正确性 【例题10】.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算______________． 【变式题10-1】.（24-25九年级上·浙江宁波·自主招生）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照上面推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 【变式题10-2】.（24-25七年级上·全国·课后作业）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【变式题10-3】.（24-25七年级上·四川成都·期末）【观察思考】欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘2，得②； 由①得，代入②中得：， 解得． 所以． 【尝试解答】根据以上解题过程，并解决问题： （1）计算：①． ②． 【拓展应用】（2）用上面学到的方法，将无限循环小数写成分数形式（写出解答过程）． 易错点 1、与混淆，负号是否参与乘方判断不清 2、带分数乘方未先化为假分数，导致计算错误 3、混合运算顺序混乱，忽略乘方优先级高于乘除 4、0和1的特殊幂运算性质记忆不完整 5、负数乘方的符号规律应用错误，奇偶指数判断不准 重点 1、有理数乘方的概念与符号法则，是全章运算的基础 2、含乘方的有理数混合运算，掌握三级运算顺序 3、乘方的实际应用，能建立数学模型解决实际问题 难点 1、与的深度辨析及拓展应用 2、乘方运算中的规律探究与归纳推理 3、乘方非负性的综合应用 4、乘方的实际应用与数学建模 一、单选题 1．若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 2．（    ） A． B． C． D． 3．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．规定一种运算：，则的值为__________． 5．下列各数：，，，，中，负数的个数是_____． 6．已知互为相反数，互为倒数、则___________． 三、解答题 7．计算： (1)． (2) 8．计算： 9．方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 10．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $