4.6.1线段垂直平分线的性质定理及其逆定理-课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“线段垂直平分线的性质定理及其逆定理”，通过人字形屋顶框架对称实例导入，从轴反射引出定义，衔接等腰三角形、全等三角形知识，以折叠、几何证明构建学习支架，帮助学生理解“线→边”与“边→线”的互逆逻辑。 其亮点在于以规范几何证明培养推理能力，结合中考题和足球情境题提升应用意识，课堂小结用表格对比定理文字与符号语言强化几何直观。学生能夯实基础并提升综合解题能力，教师可直接用于新课巩固与复习，提高教学效率。

湘教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 4.6.1线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 第4章 三角形 湘教版八年级数学4.6.1 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理同步练习题 本次练习题针对湘教版八年级数学4.6.1线段垂直平分线专项编写，承接等腰三角形、全等三角形知识，是几何轴对称模块核心考点。本节核心掌握两大定理：线段垂直平分线的性质定理和线段垂直平分线的逆定理（判定定理），重点区分“由线得边相等”和“由边相等得点在线上”的互逆逻辑，熟练解决线段求值、周长计算、几何证明等题型，规避性质与逆定理因果倒置、条件遗漏等高频易错点，题型由浅入深，适配新课巩固、几何推理规范训练与单元复习。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 线段垂直平分线的性质定理是（） A. 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 B. 线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等 C. 垂直于线段的直线是线段的垂直平分线 D. 平分线段的直线是线段的垂直平分线 2. 线段垂直平分线的逆定理（判定定理）的核心作用是（） A. 证明线段平行 B. 证明点在垂直平分线上 C. 证明角度相等 D. 证明线段垂直 3. 已知直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，若PA=7cm，则PB的长度为（） A. 3.5cm B. 7cm C. 14cm D. 无法确定 4. 若平面内一点P满足PA=PB，则直线AB的垂直平分线一定经过点P，依据是（） A. 性质定理 B. 逆定理 C. 全等性质 D. 等腰三角形性质 5. 下列说法正确的是（） A. 垂直于线段的直线必是垂直平分线 B. 平分线段的直线必是垂直平分线 C. 垂直平分线是线段，不是直线 D. 线段的垂直平分线有且只有一条 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 线段垂直平分线的定义：________且________一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。 7. 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段________的距离相等。 8. 逆定理（判定定理）：到线段两端点距离相等的点在这条线段的________上。 9. 线段的垂直平分线可以看作是所有到线段两端点距离相等的点的________。 10. 若点M在AB的垂直平分线上，则MA________MB（填“＞”“＜”或“=”）。 三、解答题（共60分） 11. 基础计算应用（每题6分，共24分） （1）已知MN垂直平分线段AB，点P在MN上，PA=10，求PB的长； （2）点P在AB垂直平分线上，PA=3x+2，PB=8，求x的值； （3）在△ABC中，DE垂直平分AC，若AD=6，求CD的长度； （4）已知AB=12cm，直线l垂直平分AB，求垂足到A点的距离。 12. 定理规范证明（每题8分，共16分） （1）证明线段垂直平分线的性质定理； （2）证明线段垂直平分线的逆定理。 13. 综合拔高证明与计算（每题10分，共20分） （1）已知：在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，求证：AD=BD； （2）已知：△ABC中，AB=AC，点P满足PB=PC，求证：直线AP垂直平分BC。 参考答案与解析 一、选择题 1.B 解析：性质定理：线上点→到两端距离相等；A选项为逆定理。 2.B 解析：逆定理核心：由线段相等，判定点在垂直平分线上。 3.B 解析：根据性质定理，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，PB=PA=7cm。 4.B 解析：PA=PB，依据逆定理可判定点P在AB垂直平分线上。 5.D 解析：垂直平分线需同时满足垂直、平分两个条件，且为直线，一条线段有且只有一条垂直平分线。 二、填空题 6. 垂直；平分 7. 两端点 8. 垂直平分线 9. 集合 10. = 三、解答题 11. 解： （1）∵点P在AB的垂直平分线MN上，∴PB=PA=10； （2）∵点P在AB垂直平分线上，∴PA=PB，即3x+2=8，解得x=2； （3）∵DE垂直平分AC，∴CD=AD=6； （4）∵直线l垂直平分AB，∴垂足平分AB，距离为12÷2=6cm。 12. （1）性质定理证明： 已知：直线l垂直平分AB，垂足为C，点P在直线l上。求证：PA=PB。 证明：∵直线l垂直平分AB，∴AC=BC，∠PCA=∠PCB=90°， 在△PCA和△PCB中，$$\begin{cases} AC=BC（垂直平分线定义）\\ \angle PCA=\angle PCB（垂直定义）\\ PC=PC（公共边） \end{cases}$$ ∴△PCA≌△PCB（SAS），∴PA=PB。 （2）逆定理证明： 已知：点P满足PA=PB，求证：点P在AB的垂直平分线上。 证明：过点P作PC⊥AB于点C， ∴∠PCA=∠PCB=90°，在Rt△PCA和Rt△PCB中， $$\begin{cases} PA=PB（已知）\\ PC=PC（公共边） \end{cases}$$ ∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL），∴AC=BC， 又∵PC⊥AB，∴直线PC是AB的垂直平分线，即点P在AB的垂直平分线上。 13. （1）证明： ∵DE垂直平分AB，点D在DE上， 根据线段垂直平分线的性质定理，垂直平分线上的点到线段两端距离相等， ∴AD=BD。 （2）证明： ∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上（逆定理）， ∵PB=PC，∴点P在BC的垂直平分线上（逆定理）， ∵两点确定一条直线，∴直线AP是BC的垂直平分线，即直线AP垂直平分BC。 知识点总结与易错提醒： 1. 两大核心定理（必考辨析） 性质定理（线→边）：点在垂直平分线上 ⇒ 到线段两端距离相等； 逆定理（边→线）：点到线段两端距离相等 ⇒ 点在垂直平分线上。 2. 核心解题模型 垂直平分线+三角形 = 等腰三角形，可直接转化线段相等、角度相等。 3. 高频易错点 ① 因果倒置：证明时严禁混用性质与逆定理，看清已知条件； ② 判定垂直平分线必须两点共线，单个点只能证明在直线上，不能证明直线是垂直平分线； ③ 垂直平分线是直线，不是线段、射线。 如图，人字形屋顶的框架中点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称. 线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？ 新课导入 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 2 A A′ D l 如图，人字形屋顶的框架中点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称. 如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合， AD=A′D， 1 2 ∠1=∠2=90°， 即直线l既平分线段AA′，又垂直AA′. 推进新课 我们把垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）. A A′ D l 1 2 直线l是线段AA′的垂直平分线 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P（点P不在线段AB上），连接PA，PB，则线段PA与 PB的长度相等吗？为什么？ 作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折）. 点A与点B重合 线段PA与线段PB重合. PA=PB 设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且PD⊥AB， 于是∠ADP = ∠BDP = 90° 在△PAD 和△PBD 中， 所以△PAD ≌△PBD （边角边）， 因此PA = PB. AD = BD ， ∠ADP = ∠BDP ， PD = PD ， 当点 P 在线段 AB 上时，结论还成立吗？ 由此得出线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 符号语言： 如图，若点P在线段AB的垂直平分线上（AC=BC，PC⊥AB）， 则PA=PB. C 如图， ∠ACB=90°，DE垂直平分AB，∠CAE=∠EAB，求∠B的度数. DE垂直平分AB AE=BE ∠EAB=∠B =∠B ∠CAE=∠EAB ∠CAE +∠EAB+∠B = 90° ∠B的度数 试一试 如图， ∠ACB=90°，DE垂直平分AB，∠CAE=∠EAB，求∠B的度数. 解：∵DE垂直平分AB， ∴ AE=BE，∴∠EAB=∠B. ∵∠CAE=∠EAB，∴∠CAB=2∠B. ∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°. ∴∠B=30°. 试一试 线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么？ 条件 结论 性质定理 逆命题 一个点在一条线段的垂直平分线上 这个点到这条线段两端的距离相等 一个点到一条线段两端的距离相等 这个点在这条线段的垂直平分线上 逆命题是否是一个真命题？ 需要考虑点P是否在线段AB上. 情况一 当点M在不在线段AB上时， 由于MA=MB，则△MAB是等腰三角形. 取AB的中点D，连接MD， 则MD是△MAB的底边AB上的中线，也是AB上的高线. D 因此直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在AB的垂直平分线上. M 连接MA，MB， A 情况二 当点M在线段AB上时， 因为MA=MB， 所以点M是线段AB的中点， B M 因此点M在线段AB的垂直平分线上. 由此得出线段垂直平分线的性质的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 符号语言： 如图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上. 已知：如图，在△ABC 中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC. ∠1=∠2 EB=EC 点E在BC的垂直平分线上 ∠3=∠4 ∠1=∠2 ∠1+∠3=∠2+∠4 AB=AC 点A在BC的垂直平分线上 试一试 已知：如图，在△ABC 中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC. 证明：∵∠1=∠2，∴ EB= EC. ∴ 点E在线段BC的垂直平分线上. 又∵∠3=∠4，所以∠ABC=∠ACB， ∴ AB=AC. ∴ 点A也在线段BC的垂直平分线上. ∴ AD垂直平分BC. 试一试 如图，在△ABC 中，AB， BC 的垂直平分线相交于点O，连接 OA，OB， OC. 求证：点O 在 AC 的垂直平分线上. 证明：因为点O在线段 AB 的垂直平分线上， 所以OA = OB（线段垂直平分线的性质定理）. 同理可得 OB=OC. 于是 OA = OC. 所以点O在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的性质的逆定理）. 例题 1 知识点1 线段垂直平分线的性质定理 1.如图，已知是线段的垂直平分线，是 上的一点，若 ，则 的长为______. （第1题） 返回 中考考法 17 （第2题） 2.［2024镇江中考］如图，的边 的垂 直平分线交于点，连接.若 ， ，则 ___. 3 返回 中考考法 18 （第3题） 3.如图，垂直平分线段于点， 垂直平分 线段于点，若，则 ___. 8 返回 中考考法 19 （第4题） 4.［2025淮北期末］如图，线段与线段 互相 垂直平分，相交于点，若 ， _____. 返回 中考考法 20 5.［2025洛阳期末］如图，在中， 的垂 直平分线交于点，垂足为点，平分 ， 若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 21 6.如图，在中，边的垂直平分线 交于点，边的垂直平分线交 于点 ，已知的周长为，求 的长. 解：因为是的垂直平分线，是 的垂直平分线，所以 ， . 因为的周长为 ， 所以 ， 所以，即 . 返回 中考考法 22 知识点2 线段垂直平分线性质定理的逆定理 7.［教材P练习T变式］如图，四边形 中， ， ，我们把这种两组邻边分别相等的 四边形叫作“筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的 一项是( ) C A.与互相垂直平分 B.垂直平分 C.垂直平分 D. 平分一组对角 返回 中考考法 23 8.［教材例1变式］如图，在中， ， 的垂直平分线，相交于点.求证：点在 的垂直平分线上. 证明：连接，， . 因为是的垂直平分线，所以 . 因为是 的垂直平分线， 所以，所以 . 所以点在 的垂直平分线上. 返回 中考考法 24 9. 如图，在足球场内，，， 表示三个足球运动员， 为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员 的距离相等，则足球应放置在( ) C A.， 两边高线的交点处 B.， 两边中线的交点处 C.， 两边垂直平分线的交点处 D.， 两内角平分线的交点处 返回 中考考法 25 （第10题） 10.［2025武汉江汉区期末］如图，为 内一点，过点的线段分别交， 于点 ，，且，分别在， 的中垂线上. 若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 26 11.如图，在中，边，的垂直平分线交于点 ，若 ，则 _____. （第11题） 返回 中考考法 27 12.如图，已知， ，垂足分别为 ，，与交于点，， 是 的中点，连接 .求证： （1） ； 证明：因为，,所以 . 在与中， 所以.所以 . 中考考法 28 （2）线段所在的直线是线段 的垂直平分线. [答案] 在与中， 所以.所以 . 所以点在线段的垂直平分线上，因为是的中点，所以点 在线 段的垂直平分线上.所以线段所在的直线是线段 的垂直平分线. 返回 中考考法 29 13. 如图，已知锐角三角形 中， 边，的垂直平分线和交于点，点 ， 分别在,上， . （1）求证：点在 的垂直平分线上. 证明：连接，因为是 的垂直平分线， 所以.同理可得 . 所以.所以点在 的垂直平分线上. 中考考法 30 （2）求 的度数. 解：由（1）得 ， 所以， . 所以 ，所以 . 中考考法 31 （3）若 ，求 的度数. 解：由（1）得，所以 . 由（2）知 , 所以 . 所以 . （4）试判断 是否为定值？若是，请直接写出该定值；若 不是，请说明理由. 解：是定值，定值为 . 返回 中考考法 32 课堂小结 文字语言 符号语言 性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 性质的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 若点P在线段AB的垂直平分线上（AC=BC，PC⊥AB），则PA=PB. 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线 $