精品解析：江西省上高二中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

上高二中2025－2026学年度下学期高二期末考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 2. 已知，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，A错误； 对于B，因为，，所以，同乘以 ，所以，B正确； 对于C，因为，，所以，C错误； 对于D，因为，，所以，D错误. 3. 若随机变量，随机变量且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， 因为，所以，则，则 4. 在的展开式中，若的系数是280，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 5. 圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 6. 某学校组织名学生进行大型舞蹈节目排练，这些学生总共站成四排，四排的人数恰好依次成等比数列.排练中又来了7名同学参加，这7名同学有1名站在第一排，3名站在第二排，3名站在第三排，此时四排学生人数恰好依次成等差数列，则m=（ ） A. 56 B. 65 C. 72 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】分别假设等比数列为，公比为，等差数列为，公差为，根据题意列出，，，，求解. 【详解】设等比数列为，公比为，等差数列为，公差为， 由题意可得，，，， 从而　①， 　②， ③， 由①②③可解得，，所以. 7. 存在实数使得成立，则的范围为（ ） A. B. ， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，将问题转化为有解，联立方程组即可. 【详解】由可得， 设，则可得， 则点在以为焦点的双曲线的左支上，即点满足， 又点满足，则有解， 若，则方程组无解； 若，则联立，得， 则，得或， 故的范围为. 8. 若函数的最小值为，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解. 【详解】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足， 代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 B. 回归直线必过样本中心点 C. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的第75百分位数为 D. 若随机变量，则越大越小 【答案】BCD 【解析】 【详解】A：因为样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，故A不正确； B：因为回归直线必过样本中心点，故B正确； C：数据8，6，4，11，3，7，9，10从小到大排列为：3，4，6，7，8，9，10，11， 因为，所以这组数据的第75百分位数为，故C正确； D：根据正态分布的性质可知：越大，正态曲线越矮胖，所以越小，故D正确. 10. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列是等比数列 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】计算出结合等比数列的定义可判断A；分别令可判断B；根据等比数列的定义可判断C；根据C选项写出的通项，然后利用分组求和即可，或者直接根据递推公式结合等比数列求和公式可判断D. 【详解】 当时， ． 当时，， 数列一定不是等比数列，故A错误； 当时，； 当时，；当时，． ，故B正确； ． 数列是首项为，公比为的等比数列，故C正确； 方法一：由可知，， ， ，故D错误． 方法二：， ，故D错误． 11. 若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（ ） A. B. 当时，的值不唯一 C. 可能等于 D. 当时，的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对函数求导，设切点为，利用导数的几何意义，进而求出切线方程，令，问题转化为直线与图象的交点个数，求导，分析函数单调性及极值点，作函数的大致图象，结合图象分析切线条数与的取值范围，再逐一分析判断各选项． 【详解】函数求导得，设切点为， 则切线斜率，切线方程为， 又切线过点，代入切线方程得， 整理得，切线条数等价于方程的不同实根个数， 令，问题转化为直线与图象的交点个数， 求导得，令，解得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 则当时，取得极小值，极小值为， 当时，取得极大值，极大值为， 当时，； 当时，； 的大致图象如下图所示： 由图象可知，当时，直线与的图象有0个交点，即过点且与函数的图象相切的切线有0条； 同理，当时，过点且与函数的图象相切的切线有1条，； 当时，过点且与函数的图象相切的切线有3条，； 当时，过点且与函数的图象相切的切线有2条，； 当时，过点且与函数的图象相切的切线有1条，. 选项A：当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足；故A正确. 选项B：当时，，是唯一值，故B错误. 选项C：若时，，对应，此时，故存在这样的， 故C正确. 选项D：当时，的取值范围是，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可. 【详解】对求导， 可得， 所以，解得. 13. 在如图所示的多面体中，平面平面，，，，直线AE，BF与平面ABCD所成的角均为，，，，，则点F到平面ABCD的距离为_______；该多面体的体积为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对①，根据线面角定义求解；对②，将多面体分割为四棱锥和四棱锥两部分求解. 【详解】对于①：因为平面平面，且交线为，过点作平面垂足为， 则在直线上，因为与平面所成角为，所以 , 在中，， 即点到平面的距离为. 对于②：将多面体分割为四棱锥和四棱锥两部分. 对于四棱锥，因为， 所以底面为直角梯形，又, 所以，高为到平面的距离， 所以； 对于四棱锥，因为， 所以底面为梯形， 过点作垂直，垂足为，因为平面平面，平面平面， 所以平面，以为原点，分别以所在直线为轴，以过与平行的直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，由①， 又与平面所成角均为，所以， 则， 则，令， 则点到直线的距离， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量， 又，所以点到平面的距离为 又， 所以， 所以该多面体的体积 14. 已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到2个红球，则停止摸球．记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)=________． 【答案】 【解析】 【详解】若第一次没有摸到红球，则停止摸球时摸球的总次数为 ，此时的概率为； 若第一次摸到红球，第二次没有摸到红球，则停止摸球时摸球的总次数为 ，此时的概率为； 若第一次摸到红球，第二次也摸到红球，则停止摸球，摸球的总次数为2，此时的概率为 所以 解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出集合，再根据集合并集求解即可. （2）根据得到，再根据集合之间的包含关系求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 所以， 当时，， ， 【小问2详解】 ，， ①若，则，解得； ②若，要使，则应满足． ，即，解得， 综上所述，所求实数a的取值范围是． 16. 共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，有点类似于在租车行业里的短时间的租车．它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订车．某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体验者，让他们根据体验效果进行评分． （1）设消费者的年龄为x，对共享汽车的体验评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，且年龄x的方差为，评分y的方差为．求y与x的相关系数r，并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当时，认为相关性强，否则认为相关性弱）． （2）现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关． 好评 差评 合计 青年 16 中老年 12 合计 44 100 附：回归直线的斜率 相关系数 独立性检验中的，其中． 临界值表： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）；对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性很强. （2）有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关. 【解析】 【分析】（1）根据方差公式求出、，结合求出，再根据相关系数公式求出相关系数，可得结果； （2）求出，结合临界值表可得结果. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以相关系数， 因为，所以可以判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性很强. 【小问2详解】 根据题意可得列联表如下： 好评 差评 合计 青年 16 32 48 中老年 40 12 52 合计 56 44 100 因为， 所以有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关. 17. 已知数列和满足，，直线上有三点满足． （1）求与； （2）设．记数列的前项和为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先由三点共线的向量系数和为，推导出数列的递推关系，再通过累乘式相除结合求出，进而确定的通项；最后将的通项代入累乘式，通过指数运算得到； （2）先将的通项代入，拆分出等比数列项和可裂项的分式项，再将前项和拆分为等比数列求和与裂项相消求和两部分，分别计算后合并化简，最终得到． 【小问1详解】 由题意，，， 所以，， 因为三点共线，且满足， 所以，化简得， 因为，所以数列是等比数列，且公比， 所以， 所以数列的通项公式为， 所以， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 18. 已知函数（且，，）． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）讨论零点的个数． 【答案】（1） （2）若或，零点的个数为；若且，零点的个数为 【解析】 【分析】（1）恒成立等价于恒成立，求导后，分及讨论函数单调性，结合计算即可得解； （2）结合（1）中所得，分、与且讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理可判断零点的个数，即可得零点的个数. 【小问1详解】 由恒成立，即恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，恒成立，则恒成立， 故在上单调递减，又， 故当时，，不符合题意，故舍去； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 故要使得恒成立，则有，即； 【小问2详解】 函数零点的个数等价于函数零点的个数， 由（1）知，当时，在上单调递减， 且，故零点的个数为； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 若，有且仅有，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 综上所述：若或，零点的个数为； 若且，零点的个数为. 19. 在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位． （1）若质点只能在x轴上移动，记第n秒末质点回到原点的概率为，求，； （2）从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位． ①设质点在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； ②记第n秒末质点回到曲线上的概率为，求． 参考公式： 【答案】（1）， （2）① X的分布列为： X 0 2 4 P 期望为2；② 【解析】 【分析】（1）利用分步乘法计数原理和组合知识，结合古典概型概率公式求解即可； （2）①列出所有样本点，根据古典概型概率公式求概率，然后可得分布列； ②设第秒末质点回到原点的概率为，定义，，则或，根据求解即可. 【小问1详解】 若质点只能在x轴上移动，每秒有2种可能，4秒移动方式共有种， 第4秒末质点回到原点，则必定向左移动2步，向右移动2步，有种， 故； 第秒末质点回到原点，则必定向左移动n步，向右移动n步，故. 【小问2详解】 ①因在1秒末，质点会等可能地出现在，，，四点处， 故在第2秒末可能运动到点，，，各两种情形， ，，，各一种情形，有4种情形，共计16种情形， 随机变量X表示的取值，故X的可能取值为0，2，4， 对应的概率分别为：，，， 故X的分布列为： X 0 2 4 P 期望为. ②第秒末质点要回到原点，则必定向左移动k步，向右移动k步，向上移动步， 向下移动步． 设第秒末质点回到原点的概率为，则 . 记第n秒末质点的位置为，定义，， 则，， 易知与取的概率均为． 又因为，故或， 则， 又易知，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上高二中2025－2026学年度下学期高二期末考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若随机变量，随机变量且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 在的展开式中，若的系数是280，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 6. 某学校组织名学生进行大型舞蹈节目排练，这些学生总共站成四排，四排的人数恰好依次成等比数列.排练中又来了7名同学参加，这7名同学有1名站在第一排，3名站在第二排，3名站在第三排，此时四排学生人数恰好依次成等差数列，则m=（ ） A. 56 B. 65 C. 72 D. 84 7. 存在实数使得成立，则的范围为（ ） A. B. ， C. D. 8. 若函数的最小值为，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 B. 回归直线必过样本中心点 C. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的第75百分位数为 D. 若随机变量，则越大越小 10. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列是等比数列 D. 11. 若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（ ） A. B. 当时，的值不唯一 C. 可能等于 D. 当时，的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 在如图所示的多面体中，平面平面，，，，直线AE，BF与平面ABCD所成的角均为，，，，，则点F到平面ABCD的距离为_______；该多面体的体积为_______. 14. 已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到2个红球，则停止摸球．记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)=________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，有点类似于在租车行业里的短时间的租车．它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订车．某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体验者，让他们根据体验效果进行评分． （1）设消费者的年龄为x，对共享汽车的体验评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，且年龄x的方差为，评分y的方差为．求y与x的相关系数r，并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当时，认为相关性强，否则认为相关性弱）． （2）现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关． 好评 差评 合计 青年 16 中老年 12 合计 44 100 附：回归直线的斜率 相关系数 独立性检验中的，其中． 临界值表： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知数列和满足，，直线上有三点满足． （1）求与； （2）设．记数列的前项和为，求． 18. 已知函数（且，，）． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）讨论零点的个数． 19. 在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位． （1）若质点只能在x轴上移动，记第n秒末质点回到原点的概率为，求，； （2）从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位． ①设质点在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； ②记第n秒末质点回到曲线上的概率为，求． 参考公式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $