3.1.2.2 直线与椭圆的位置关系--- 2026-2027学年高二上学期数学选修一例题精讲及课时精练

该高中数学讲义通过表格梳理与分点解析构建直线与椭圆位置关系的知识体系，涵盖点与椭圆位置判断、直线与椭圆位置关系判定、弦长计算、中点弦问题等核心知识点，以“基础回顾-题型专练-综合提升”的逻辑递进呈现知识脉络，突出位置关系判定、点差法等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，从基础的点与椭圆位置判断题到综合应用的轨迹方程证明题，融入根与系数关系法、点差法等解题技巧，培养学生数学思维与运算能力。课时精练包含选择、填空、解答题，基础学生可夯实方法，优秀学生能深化探究，助力教师实施精准化复习教学。

3.1.2.2 直线与椭圆的位置关系 题型一 点与椭圆的位置关系 2 题型二 直线与椭圆的位置关系 7 题型三 直线与椭圆相切的应用 11 题型四 直线与椭圆相交的弦长问题 20 题型五 椭圆的中点弦与点差法 26 题型六 椭圆的综合问题 33 课时精练 44 【基础回顾】 ( 1 / 57 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 点 与椭圆的位置关系 焦点在 轴上 焦点在 轴上 点 在椭圆内 点 在椭圆上 点 在椭圆外 知识点 2: 直线与椭圆的位置关系 （1）判断直线 与椭圆 的位置关系： 联立 消去 得一个关于 的一元二次方程。 ① 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点 （或两个公共点）； ② 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个切点 （或一个公共点）； ③ 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点。 （2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： ①得出直线方程，设交点为 ， ； ②联立直线与曲线方程，得到关于 （或 ） 的一元二次方程； ③写出根与系数的关系； ④将所求问题或题中关系转化为关于 的形式； ⑤代入求解。 知识点 3: 直线与椭圆相交的弦长 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦。 （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求。 ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为 ，被椭圆截得弦 两端点坐标分别为 ，则弦长公式为： 知识点 4: 解决椭圆中点弦问题的两种方法 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下： 直线 （不平行于 轴） 过椭圆 上两点 ，其中 中点为 ，则有 。 证明： 设 ，则有 ，上式减下式得 , , . 特殊地: 直线 (存在斜率) 过椭圆 上两点 、 ，线段 中点为 ,则有 . 题型一 点与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 2．已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于的点即为答案. 【详解】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误. 故选：C. 3．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题中条件，得到，求解，即可得出结果. 【详解】因为点在椭圆的外部， 所以，即，解得或. 故选：B. 4．若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在椭圆内求解可得. 【详解】由题意可知，点在椭圆内， 所以，解得或. 故选：D 5．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 6．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系. 【详解】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 7．已知为椭圆的右焦点，点为C内一点，若在C上存在一点P，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，结合点A在椭圆内的条件，列出不等式组求解作答. 【详解】依题意，，设C的左焦点为，则， 因为，且，则，即， 于是，解得，而，点为椭圆C内一点， 即有，，整理得，又，解得， 所以a的取值范围是 . 故选：D 8．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 【答案】BC 【分析】根据题意先求，进而得即可判断ABC，对于D设，则，利用的范围即可判断. 【详解】由题意有，所以椭圆方程为，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误； 离心率为，故B正确； 又因为，故C正确； 设，， 所以， 又，所以，又，故D错误， 故选：BC. 9．（多选）已知椭圆C：的右焦点为F，点为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得，则m的值可以为（    ） A． B． C．24 D．25 【答案】BCD 【分析】根据题意，由点在椭圆内部，再结合椭圆的定义，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设椭圆的左焦点为，则， 由点A在椭圆内部得，结合，解得， 根据椭圆的定义及得， 又当P，，A三点共线时最大，从而，解得， 综上，， 故选:BCD． 10．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．当点不在轴上时，从点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】根据直线方程、两点间距离公式可求得AB正确；利用相关点法可求得点轨迹，知C正确；根据椭圆定义将问题转化为求解的最大值，根据三角形三边关系可求得结果，知D错误. 【详解】对于A，由椭圆方程得：，，所在直线为， ，A正确； 对于B，，， ，B正确； 对于C，设，，则， ，即，，又在椭圆上， ，即点轨迹为，C正确； 对于D，由椭圆定义知：，， （当且仅当三点共线时取等号，即位于图中点的位置时取等号）， ，D错误. 故选：ABC. 题型二 直线与椭圆的位置关系 1．若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线方程和椭圆方程后利用判别式可求的取值范围. 【详解】由可得， 故，故或， 故选：D. 2．已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可. 【详解】当时，直线：，直线与椭圆相切，当“与相切”时， 联立有，令有， 所以是直线与椭圆相切的充要条件. 故选:C. 3．直线与椭圆有两个公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立直线和椭圆方程得得或，又因为，综合即得解. 【详解】联立直线和椭圆方程得， 所以 所以， 所以或， 因为 所以且. 故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式求出AB中点坐标M，将其代入直线方程即可求解. 【详解】设，线段AB的中点为， 若此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，则可设， 联立， 则即， 且，即， 中点在直线上， 所以. 5．已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用点差法得到关于的方程，解出后验证即可. 【详解】设，两点的坐标分别为，，则， 又两式作差得， 故，所以，解得． 此时椭圆方程为，联立直线方程有， ，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故选：B． 6．已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用判别式等于0来判断直线与椭圆相切，从而可得到齐次等式来求离心率. 【详解】联立方程消去y后整理为， 有， 整理可得，由，有， 可得． 故选:B． 7．已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间. 【详解】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分， 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率 和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 所以k的取值范围为. 故选：B 8．（多选）已知直线与椭圆有公共点，则可取（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】BCD 【详解】联立可得. 依题意得，，解得. 所以可取、、. 9．（多选）如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（   ） A．当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B．当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C．当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D．当时，直线l与椭圆C有公共点 【答案】ABCD 【分析】将直线与椭圆的公共点的个数问题，转化为联立方程组成方程组的解的个数问题，消元后得到一元二次方程，结合，，分别判断即可. 【详解】对于A，由方程组消去y，得①， ． 由，得． 此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点．故A正确； 对于B，由，得，．此时方程①有两个相等的实数根， 直线与椭圆有且只有一个公共点．故B正确； 对于C，由，得，或．此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点．故C正确； 对于D，由选项A与选项B可知，D正确. 故选：ABCD 10．（多选）已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是4 B．的最大值是2 C．的面积的最大值为，其中为坐标原点 D．直线与椭圆相切时， 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的几何性质可得、、、，结合长轴的概念判断A，利用两点求距离公式和二次函数的性质判断B，结合三角形面积公式计算判断C，利用代数法判断直线与椭圆的位置关系判断D. 【详解】A：由，得，所以椭圆的长轴为，故A正确； B：由，得，则，，由，得， 所以， 又二次函数的对称轴为， 所以该函数在上单调递减，则当时，函数取到最大值9， 即的最大值为3，故B错误； C：由题意得，， 所以，即的面积的最大值为，故C正确； D：，消去y，得， 因为直线与椭圆相切，只有一个交点， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 题型三 直线与椭圆相切的应用 1．已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据椭圆上一点的切线方程求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理将表示出来，然后列出三角形面积表达式，最后根据不等式的性质求出三角形面积的最大值. 【详解】因为椭圆方程为，设切点， 则切线的方程为，. 因为切线过点，所以，切线的方程变为： ，因为点都在直线上， 所以直线的方程为.该直线必过点刚好是椭圆的右焦点. 联立直线方程和椭圆方程为： ，化简得. 根据韦达定理.而 所以. 因为， 要使得面积取得最大值，则应取最小值，根据不等式， 所以当时，三角形的面积最大，最大值为. 故选：A. 2．在平面直角坐标系中，已知点，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，根据平方关系得到，即可得到点在椭圆上，则当过点且与椭圆相切（切点为）时取得最大值，设切线方程为，联立直线与椭圆方程，消元，根据求出的值，即可得解. 【详解】因为，即，所以， 又，所以，即点在椭圆上， 又点在椭圆外，所以当过点且与椭圆相切（切点为）时取得最大值， 设切线方程为，由，消去整理得， 由，解得， 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出点在椭圆上，从而将问题转化为过点且与椭圆相切（切点为）时取得最大值. 3．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程为3时，的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由特殊切线求得蒙日圆的方程，根据切线长和圆的半径解得（为关于轴的对称点）两点间的距离，进而解得的值. 【详解】    由椭圆方程得：直线和是椭圆的两条互相垂直的切线， 所以点在蒙日圆上，则蒙日圆的半径，故蒙日圆的方程为； 如图所示，设点出发的光线与轴交于点，反射光线与圆交于点， 当直线为圆的切线时，路程取最大值， 设点关于轴的对称点为，由对称性知点在直线上，且， 则， 由题意，当直线为圆的切线时，路程最大，且最大值为3，即， 则，即， 解得，， 故选：A. 4．已知椭圆的上顶点，左顶点，下顶点，右顶点分别是，直线均与椭圆相切，则菱形周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆对称性，讨论与相切在第一象限情况.设与相切于，得到切线方程，求出，结合和基本不等式得到，进而得到菱形周长的取值范围. 【详解】椭圆具有对称性，不妨讨论与相切在第一象限情况. 设与相切于，切线方程：. ，又， ， ，当，即，时取等号， 菱形周长的取值范围是. 故选：D. 5．已知直线与椭圆，点分别为椭圆的左右焦点，直线，，垂足分别为点（不重合），那么“直线与椭圆相切”是“”的（    ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式和点到直线的距离公式求出与的关系，再根据充分性和必要性的概念求解即可. 【详解】根据题意可知直线斜率存在，设直线方程为， 联立得 当直线与椭圆相切时，，化简得， 由题意， 因为，，所以， 所以当时，， 解得或（舍去）， 所以“直线与椭圆相切”是“”的充要条件. 故选：C 6．法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设为椭圆的一个外切长方形（的四条边所在直线均与椭圆相切），若在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则的面积为（    ） A． B．26 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出椭圆C的蒙日圆方程，求出M在第一象限的顶点P的坐标，设出过P且与椭圆C相切的直线方程，与椭圆联立，再利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】依题意，直线，都与椭圆，且它们围成四边形是矩形， 于是该矩形是椭圆的蒙日圆内接矩形，因此该蒙日圆的圆心为，半径， 因此该椭圆的蒙日圆方程为， M为椭圆的一个外切长方形，设其四个顶点分别为P、Q、、， 其中P在第一象限，显然P与关于原点对称，Q与关于原点对称， 而 P点纵坐标为2，则其横坐标为3，即，显然M的四条边所在直线斜率存在且不为0， 设过P且与椭圆C相切的直线为，由消去y并整理， 得，由， 化简得，解得或，不妨取直线PQ方程为，即， 直线的方程为，即， O点到直线PQ的距离为，O点到直线的距离为， 所以M的面积为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据蒙日圆的定义求出蒙日圆的方程，并求出第一象限内的点是解决问题的关键. 7．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出与l：平行的直线，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立与椭圆方程，由根的判别式等于0求出的方程，从而求出答案. 【详解】设与l：平行的直线为：， 当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值， 联立与可得，， 由，可得， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为. 故选：A 8．（多选）已知椭圆的两个焦点为是椭圆上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是（    ） A．椭圆的离心率是 B．若是左，右端点，则的最大值为 C．若点坐标是，则过的的切线方程是 D．若过原点的直线交于两点，则 【答案】BD 【分析】利用已知解出得到椭圆方程，由离心率的公式计算结果验证选项A；利用椭圆定义计算验证选项B；通过联立方程组求切线方程验证选项C；运用点差法验证选项D. 【详解】的面积最大值是，则，椭圆方程. ，椭圆离心率，A选项错误； 若是椭圆的左，右端点，则，以为焦点作新椭圆， P为两个椭圆的交点，当新椭圆短轴最长时最大，所以当P为椭圆的上顶点或下顶点时，有最大值为，B选项正确； 点在椭圆上，过点的的切线斜率显然存在，设切线方程为， 代入椭圆方程消去y得， 由，解得， 则切线方程为，即，故C选项错误； 设，都在椭圆上，有和， 两式相减得，，， ，D选项正确. 故选:BD. 9．（多选）已知椭圆，直线.则（    ） A．当时，直线与椭圆有两个公共点 B．当时，椭圆上到直线的距离为3的点恰有4个 C．当时，椭圆上的点到直线的最短距离小于1 D．当直线与椭圆相交时，直线被椭圆截得的线段的中点可能为 【答案】AD 【分析】联立，利用判别式大于0可求出，即可判断A；求出和直线平行且与椭圆相切的直线方程，结合计算两平行线间的距离，可判断BC；结合A的分析，利用根与系数的关系求解参数c的值，可判断D. 【详解】对于A，联立，得， 令，得， 此时直线与椭圆有两个公共点， 由于当时，必有， 故当时，直线与椭圆有两个公共点，A正确； 对于B，当时，直线, 设和直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立，得， 令，解得， 不妨取，求其和之间的距离： ，而， 故此时椭圆上不存在到直线的距离为3的点，B错误； 对于C，当时，直线， 结合A的分析可知此时直线和椭圆没有公共点； 结合B的分析可知和直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 显然和之间的距离较小； 计算和之间的距离为， 故此时椭圆上的点到直线的最短距离大于1，C错误； 对于D，当直线与椭圆相交时，设两交点为， 结合A的分析可知， 令，则，满足，此时的中点为， 故直线被椭圆截得的线段的中点可能为，D正确， 故选：AD 10．（多选）已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与椭圆切于点的切线方程为 D．若直线的斜率存在，则 【答案】ACD 【分析】利用椭圆定义及正弦定理推理判断A；利用椭圆定义、余弦定理、三角形面积公式及二倍角公式求解判断B；设出切线方程并与椭圆方程联立，借助判别式求出切线斜率判断C；设出直线方程并与椭圆方程联立推理判断D. 【详解】令椭圆的半焦距为，则， 对于A，在中，由正弦定理，得， 因此，A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得 ，则， ，B错误； 对于C，与椭圆切于点的切线斜率存在，设方程为， 由消去得：， ， 整理得，而， 则，即，解得， 因此切线方程为，整理得，C正确； 对于D，设直线的方程为，点，由 消去得，，， ，D正确. 故选：ACD 题型四 直线与椭圆相交的弦长问题 1．已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. 2．过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由椭圆的性质，结合直线的参数方程求解即可．法二：由直线与椭圆相交，利用纵坐标与倾斜角来计算长度，也可得到线段之积与纵坐标关系，然后利用韦达定理求解. 【详解】 法一：设直线的参数方程为，其中t为参数， 代入椭圆方程可得：， 则， 则 故选：A. 法二：设直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得： ，整理得：， 设交点则有 则 故选：A. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，若，则的面积为(    ) A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和勾股定理计算求得，再由三角形面积公式计算即可. 【详解】由椭圆的定义可知，，且，因为， 所以，又， 故，所以. 故选：A. 4．椭圆，其右焦点为，若直线过点与交于，则最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由题意当为通径时，即垂直轴时，其长度最小，由此即可得解． 【详解】要使最小，即为和焦点在的轴垂直的直线截得的线段长． 右焦点为，直线为，联立此直线和椭圆解得交点的纵坐标为， 故最小值为1． 故选：B． 5．已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由焦点求出椭圆标准方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式求解弦长. 【详解】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得， 因此，椭圆的方程为. 斜率为且过点的直线方程为. 联立方程， 整理得，， 设，，由韦达定理，得，. 由弦长公式， 代入参数计算：. 6．设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质，利用已知面积关系推出，从而得出即为通径，结合已知条件求出的关系，进而利用求出的关系，从而求解离心率． 【详解】 椭圆的左、右焦点分别为， ， ， ，， ， ，故轴，是椭圆的通径，即， ， ，故， ，解得，即， ． 7．已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点（不在轴上），则面积的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】设，根据条件，可得圆C的圆心坐标和半径r，进而可得面积S的表达式，分析可得只需求的最大值即可，求出的表达式，利用导数求出其单调性与最大值，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意得，所以， 设，则圆心，半径， 又点P在椭圆E上，所以，即， 则， 又面积， 要使面积最大，只需最大， 因为点M在圆C上，且圆心C的纵坐标为， 所以的最大值为， 令， 则，令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以最大值为，即的最大值为2， 所以面积的最大值为. 8．（多选）过椭圆焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则弦长可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据椭圆方程，求出焦点坐标，可得A、B点坐标，即可得的最小值（通径）和最大值（长轴），分析即可得答案. 【详解】由椭圆的对称性可知，当过焦点的直线垂直于长轴时，弦长最短， 由题意，则， 不妨设焦点为，代入椭圆方程可得， 不妨令，则， 当过焦点的直线与长轴重合时，弦长最长，且等于长轴长，此时， 所以. 故选：ABC 9．（多选）已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（    ） A． B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】代入点A坐标，可得m值，根据椭圆的定义，即可判断A的正误；设点，可得点B坐标，代入椭圆方程，可得点P的轨迹，根据点与圆的位置关系，结合两点间距离公式，可判断B的正误；分析可得当时，的面积最大，代入数据，可判断C的正误；设点，可得面积的表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】对于A，点在椭圆上，，解得， ，故A正确. 对于B，设点，则.将点的坐标代入椭圆的方程， 得，即，点的轨迹方程为， 则的最小值为点到圆心的距离减去半径， 即，故B错误. 对于C，由B可知，，则当时，的面积最大， 为，故C正确. 对于D，由椭圆对称性，设点在第一象限，， . ，当且仅当时，等号成立， 面积的最大值为，故D正确. 10．（多选）已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一动点，则（   ） A．椭圆的离心率 B．面积的最大值为2 C．存在4个点，使得 D．的最小值为1 【答案】ABD 【分析】根据椭圆方程以及性质以及平面向量数量积，结合基本不等式逐项分析即可. 【详解】对于A，由椭圆方程知：， 所以，所以，故A正确； 对于B，如图所示： 由图可知当点在上顶点或下顶点时，的面积最大， 最大值为，故B正确； 对于C，由知，所以在以为直径的圆上， 该圆的圆心为，半径为， 所以该圆的方程为：，联立， 解得：或，所以满足条件的点只有2个，故C不正确； 对于D，令， 由椭圆的定义知：，且， 所以， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为1，故D正确. 题型五 椭圆的中点弦与点差法 1．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点， 设，则有，， 两式相减得，则有， 由，，， 所以，得，即， 所以，则椭圆的离心率. 2．已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的方程，再根据同解可求的值. 【详解】设，，直线的斜率为， 由已知，则，， ，， 两式相减整理得：，故可得：， 故直线， 由可得， 由可得， 由题设，两个方程均有解， 故，故． 3．已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，为椭圆的右焦点，则，再根据代入数据即可求得答案． 【详解】设，，为椭圆的右焦点， 由题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， ∴ ， 同理可得，， 而 ， 即，解得，则的最大值为1. 4．已知椭圆： ，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，的坐标，利用点差法及直线斜率、中点，得到与的关系，结合得到与的关系，代入离心率公式求解即可. 【详解】设，，则，，. 因为点，在椭圆上，所以，. 所以， 所以，即. 又，所以. 又椭圆的离心率，所以. 5．若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则C的短轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用点差法，求出的值，即可求得椭圆C的短轴长. 【详解】设，，则，， 两式相减得，即， 因为线段AB的中点为，所以，，又， 代入，解得，则有，所以椭圆C的短轴长为． 故选：C. 6．椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用点差法求得直线的斜率，再利用点斜式即可求得所求直线方程. 【详解】因为，所以点在椭圆内， 又不在坐标轴上，故以为中点的弦所在的直线斜率存在， 设以点为中点的弦的两端的坐标分别为， 则，由，两式相减， 得，则， 设以点为中点的弦所在直线斜率为，则， 所以所求直线方程为：，即. 故选：C 7．已知椭圆内有点，，过点的直线交椭圆于点，若为的中点．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，进而根据点差法求得，再结合即可求得的轨迹方程为，并检验直线的斜率不存在时点满足，再根据方程即可求得，最后根据距离公式求解得. 【详解】设， 因为为的中点，所以，， 因为，，两式作差得， 所以，当直线的斜率存在时，， 因为四点共线， 所以，即（），整理得（）， 当直线的斜率不存在时，点的坐标为，满足方程， 所以，点的轨迹方程为，即 所以， 所以 ， 由方程得，即，解得， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 8．（多选）已知椭圆，斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与垂直 B．若点的坐标为，则直线的方程为 C．若直线的方程为，则点的坐标为 D．若直线过椭圆焦点，则 【答案】BD 【分析】对AB选项可用点差法判断可得；对于C由弦的中点必在直线上可判断；对于D由弦长公式判断可得. 【详解】由题意，，．如图： 对于A，设，，，则，， 两式作差可得， ∴，则，所以直线与不垂直，故A错误； 对于B，若点M的坐标为，由，且，得， 则直线l的方程为，即，故B正确； 对于C，若直线的方程为，而点不在直线上，所以点的坐标不可能为，故C错误； 对于D，椭圆的焦点为，所以直线的方程为，与椭圆的方程联立， 得，， ， 由弦长公式得： 由直线的斜率存在且不过原点，所以， 所以，即，故D正确． 9．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，H是C上异于左、右顶点的点，则（   ） A．的周长为12 B．存在点H，使得 C．当内切圆的半径为时， D．当直线l被C所截得线段AB的中点是时，直线l的方程为 【答案】ACD 【分析】由椭圆的定义可判断A，由，得到在以 为直径的圆上，联立椭圆方程求解即可判断B，由三角形面积公式（三角形周长），确定坐标，进而由向量数量积的坐标表示可判断C，由点差法可判断D. 【详解】 由已知椭圆 ，得 ， 左右焦点 ， 由椭圆的定义得 ，， A，的周长为 ，故A正确 B，若 ，则 在以 为直径的圆上， 联立圆与椭圆方程： ，消去 得： ，无解， 不存在这样的点 ，故B错误； C，设内切圆半径为，又的周长为12， 又三角形的面积（三角形周长），所以 ， 又 ，得 ， 则， 代入 ，得 ，C正确 D，设 ，则​， 两式相减得 ， 又点 ，故 ， 斜率 ， 直线方程：整理得 ， 经验证符合题意，D正确. 10．（多选）已知椭圆，左、右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．不存在最大值 B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义判断线段和的最值，即可判断AC选项；利用直接法可得椭圆离心率，利用点差法可确定弦的斜率. 【详解】 如图所示，由已知椭圆， 即，，则， 所以椭圆离心率为，B选项正确； 且，，，， 则， 又， 即当点在延长线上时取得最大值为， ， 即当点在延长线上时取得最小值为， 即A选项错误；C选项正确； 设被点平分的弦与椭圆交于点，， 即，两式相减可得， 即， 又为中点，即， 所以， 所以，D选项正确. 题型六 椭圆的综合问题 1．设椭圆的左顶点为A． (1)求的离心率； (2)设的左焦点为F，上顶点为B，若点P在上且位于y轴右侧．，求点P的横坐标； (3)设直线，l与交于不同的两点C和D，若点A在以CD为直径的圆外，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由椭圆方程可得，，所以. （2）由条件可知， 设直线的斜率为，直线的斜率为， ，因为，所以， 所以直线的方程为， 联立椭圆：， 所以或， 又因为点P位于y轴右侧，所以P的横坐标为. （3）设 ，，联立椭圆 ， 先确定有两个交点，即， 即， 所以. 因为圆上任意一点与直径两端点连线所成的角为直角， 而点在以为直径的圆外，所以，等价于， 由，， 所以， 即. 将，代入可得， ， ， 解得 或，结合， 所以. 2．已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于不同的两点，设直线，分别与轴交于点，若的面积为1，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出关于的方程组即可求解； （2）设所求，，，联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理有，，而的坐标可以用的坐标表示，而的面积为1，从而得关于的方程即可求解. 【详解】（1）由题，联立，解得，所以椭圆的方程为； （2） 设直线的方程为，即，，， 联立，化简得， ，，，， ，， 直线的方程为，令，，故， 直线的方程为，令，，故， 由，可得， ，化简为，解得. 3．已知椭圆经过点为椭圆的左、右两个焦点，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过右焦点作直线与椭圆C交于两点（点A位于x轴上方），是否存在直线，使得？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据已知的焦距、椭圆上一点的坐标以及的基本关系式列出方程组，利用待定系数法求解出椭圆的标准方程; （2）设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理将给定的向量关系转化为两交点纵坐标之间的代数关系，代入计算即可求出直线参数. 【详解】（1）由题意，可得，解得 故椭圆的标准方程为． （2）由题意，若存在这样的直线，则直线的斜率存在且不为0， 易知，设直线的方程为， 因为，所以有，其中， 联立可得， ， 故，， 因为，即， 代入到得，整理得， 代入到得，整理得， 因此有，整理得，解得． 又，故，所以， 所以存在直线满足条件且其方程为，即． 4．已知椭圆的左右焦点分别为，，点满足直线，的斜率之积为，点是上任意一点，． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的概念，以及两点之间的斜率公式，求出椭圆的参数，写出标准方程即可； （2）根据直线和椭圆的位置关系，联立方程组，根据韦达定理和向量数量积的坐标表示，求出参数值，进而求出直线方程即可. 【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，则， 所以， 因为直线，的斜率之积为，所以，解得． 因为，利用椭圆定义可得椭圆长轴，解得， 则． 所以C的方程为． （2）由已知得过点且满足题意的直线l的斜率存在，不妨设， 联立消去y得， 令，解得． 设，，则，， 因为以DE为直径的圆经过点O，所以，即， 所以，即， 所以， 整理可得即，满足，解得， 所以直线l的方程为． 5．已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为分别是的左右顶点，过点的直线与椭圆交于两点，坐标原点为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程； (3)若直线的斜率为与直线相交于点，求证：三点共线． 【答案】(1) (2)或． (3)证明见解析 【分析】（1）由题设可得，据此可得椭圆方程； （2）当l斜率存在时，设 ，将直线的方程与椭圆的方程联立，设，由结合韦达定理可得直线方程； （3）设，验证是否为0可完成证明. 【详解】（1）由已知得，所以． 因为，所以． 所以，即． 所以椭圆的标准方程为． （2）由题意可知，所以； 因为直线过， 当斜率不存在时，直线的方程为，设与交于两点． 此时，不满足题意． 当斜率存在时，设，即． 联立直线的方程与椭圆的方程得方程组 消去，整理得，由已知可知， 设， 由韦达定理可知， 因为， 将代入上式可得 ， 即， 解得，即． 方程为或者． （3）不妨设， 令，则，即， 因为，， 所以， 其中分子为，故，即， 所以三点共线． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的图像经过点，且椭圆C的右焦点F的坐标为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作倾斜角为的直线和椭圆C交于两点，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)已知焦点坐标，根据椭圆的定义得到的的值，再根据计算的值，得到椭圆C的标准方程． (2)根据点斜式写出直线方程，联立椭圆方程得到一元二次方程，根据韦达定理得到两点坐标之间的关系，代入两点间距离公式化简即可． 【详解】（1）依题意，椭圆的右焦点为，则左焦点为，设， 由椭圆的定义可知， 所以，可得， 所以椭圆的方程为． （2）依题可设过点的直线方程为， 将其与椭圆方程联立，消元得， 设，则得，（*）， 于是 将（*）代入，得． 7．已知椭圆：过点，其左右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆交于另外一个点N. (1)求椭圆的方程； (2)当直线l的斜率为2时，求四边形的面积； (3)当直线l平分时，判断四边形是否为平行四边形，说明理由. 【答案】(1). (2). (3)不是，理由见解析. 【分析】（1）直接代入点坐标即可求解； （2）联立方程，计算交点坐标，然后利用三角形同底得到三角形的面积比，然后即可求得四边形面积； （3）方法一：利用角平分线定理求得直线和轴交点坐标，发现交点不是对角线的中点，即可得到结论； 方法二：利用角度关系，求得角平分线方程，进而求得角平分线和轴交点坐标，发现交点不是对角线的中点，即可得到结论； 方法三：反证法，利用对角线平分对角的平行四边形是菱形，得到两条边长度相等，和原题矛盾，即可得到结论. 【详解】（1）代入得：，得，则椭圆C的方程为. （2） 如图所示，设点，直线的方程为， ，解得：，， 又因为，，，所以，所以为直角三角形，则， 所以，得，所以. （3） 如图所示，，. 方法一：设l与x轴交于点，由角平分线定理，由，得，解得， 所以点P不是对角线的中点，故四边形不是平行四边形. 方法二：在直角中，设，所在直线倾斜角为，则. 已知，则，解得，所以， 则l所在直线方程为，令，解得，所以l与x轴交于点， 所以点P不是对角线的中点，故四边形不是平行四边形. 方法三（反证法）：若四边形为平行四边形，且为的角平分线，则平行四边形为菱形， 得与题意不符合，故假设不成立，即：当直线平分时，四边形不是平行四边形； 8．设椭圆的离心率，过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，求的面积（为坐标原点）； (3)直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过坐标原点，求值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点在椭圆上结合离心率列方程组即可求解； （2）将直线方程与椭圆方程联立，由韦达定理结合面积公式即可求解； （3）设，，和中点为，将直线方程与椭圆方程联立，可得弦长，根据即可求解. 【详解】（1）由题意可知：， 解得：，所以椭圆方程为：； （2）直线与轴交点为，与椭圆交于，， 联立方程：，化简得：， ， 由韦达定理得：， ， 所以， ， 所以 . （3） 联立方程：， 化简得：， ， 解得：， 设，，和中点为， 则由韦达定理得：，， 且，， 若以为直径的圆过坐标原点，则, 由弦长公式可得：， 而， 所以，解得：， 验证，符合题意， 所以. 9．设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 【答案】(1)方程为，离心率为 (2) 【分析】（1）先写出椭圆右顶点、上顶点、左焦点坐标，求出两条直线斜率并利用斜率乘积条件化简得 ，再结合椭圆 的关系求出 的值，进而写出椭圆标准方程并算出离心率. （2）分直线斜率不存在、存在两种情况讨论，斜率不存在时直接求出点坐标并算出向量数量积；斜率存在时设直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理得根与系数关系，把向量数量积坐标展开并代入直线方程化简，再分离常数变形为分式型函数，由 求出值域范围，结合两种情况综合得到数量积的取值范围. 【详解】（1）由题意可得右顶点，上顶点，设左焦点. 因为 ，所以，即. 因为，所以. 椭圆的方程为，离心率为. （2）由题可知.                                    当直线斜率不存在时，， 所以 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为. 由可得. . 设. 则 因为， 所以 因为，所以. 所以 综上所述，的取值范围为 课时精练 ( 2 / 57 ) 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，为坐标原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设得到、进而得，求解即可. 【详解】由题意可得为等腰直角三角形，所以，为等腰直角三角形， 所以，由题意可得，所以， 解得，所以，所以，所以， 所以， 解得（舍去）. 故选：A. 3．直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案. 【详解】由可得，解得或 当时，，当时， 所以直线与椭圆的交点坐标为 故选：D 4．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式，即可解出m的取值范围． 【详解】直线代入椭圆方程消去y得：； ∵直线与椭圆有公共点，方程有解， ∴； 解得，即m的取值范围为. 故选：A 5．已知椭圆上任意一点处的切线方程为.过点作椭圆：的两条切线与分别相切于，两点，设为坐标原点，则外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设，，根据题意求出直线的方程为，进而再求，，再用待定系数法求出三角形的外接圆方程. 【详解】设，，则在点处的切线方程为，点处的切线方程为 ，由于切线，均过点，则，，故直线的方程为. 将直线与联立，消去得，解得，， 代入直线的方程为，，，所以得，. 设的外接圆方程为，将点代入可得， 故，将，代入得， 解得，，故的外接圆方程为. 故选：A. 6．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合“蒙日圆”定义，设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点，分两切线斜率都存在与两条切线中有一条斜率不存在，另一条斜率为进行讨论即可得. 【详解】设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点， 若两条切线斜率都存在，设为、，则， 过的切线方程可设为， 联立，则， ，化简得， 由切线过点，则，故， 即有，整理得， 则关于的方程有两根、，满足， 即有，即点的轨迹为； 若两条切线中有一条斜率不存在，则另一条斜率为， 则，，此时满足； 综上可得：椭圆的蒙日圆的方程为. 7．在平面直角坐标系中，F，A分别为椭圆 的右焦点和下顶点，B是x轴上一点，且，过点B且与AF平行的直线l与C有唯一公共点，则l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程并与椭圆方程联立，消元，令求解. 【详解】由题意知，，， 直线的斜率，所以直线的方程为， 得， 因为直线与C有唯一公共点，所以， 整理得，又因为，所以， 所以l的斜率为 故选：A. 8．已知点为椭圆：的上顶点，点，均在椭圆上，且，两点关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为是椭圆上顶点，所以先确定点的坐标，又因为、关于轴对称，所以可设出、的坐标，再代入椭圆方程.因为直线、的斜率之积为，所以利用斜率公式列出斜率乘积的等式，结合椭圆方程，将等式转化为关于的关系，进而求出离心率. 【详解】设，则．由题意知， 由得，． 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以，即，所以椭圆的离心率. 故选：A. 二、多选题 9．（多选）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点（在轴左侧），则（   ） A．为定值 B．的周长的取值范围是 C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 【答案】ABD 【分析】设椭圆的左焦点为，则，结合椭圆的定义可判断A；由得的范围，而的周长为，即可判断B；联立方程组，解得的坐标，得，则为钝角，即可判断C；联立方程组，解得坐标，求得，则，计算三角形面积可判断D． 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，    根据椭圆的对称性知， 所以，故A正确； 由椭圆，可得，，，， 因为，所以，即的取值范围是， 所以的周长为，其取值范围是，故B正确； 联立方程组，解得， 又由，所以， 所以为钝角，则为钝角三角形，故C错误； 联立方程组，解得， ，可得， 所以，又由， 可得，故D正确． 故选：ABD． 10．（多选）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为3 C．的取值范围是 D．当倾斜角为时，的周长为8 【答案】ACD 【分析】根据题意，，可求其离心率判断A，并可得椭圆；根据椭圆定义和基本不等式判断B；设，利用向量数量积的坐标运算得，再根据椭圆上点的范围可判断C；当倾斜角为时，直线垂直平分，结合椭圆定义求的周长，判断D. 【详解】对于A，根据题意，，所以椭圆的离心率， 又，， 所以椭圆，故A正确； 根据椭圆定义，可知， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故B错误； 设，又， 所以， 则， 因为，所以的取值范围是，C正确； 当倾斜角为时，直线垂直平分， 所以的周长为： ， 故D正确. 故选：ACD 11．（多选）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上运动，点在轴上运动，且，动点满足，记动点的轨迹为，则（   ） A．的方程为 B． C．的最大值为9 D．曲线上有且仅有两点到直线的距离为1 【答案】BCD 【分析】先求出轨迹方程，结合椭圆定义和性质可判断A,B,C，求出椭圆的切线，结合切线和直线间的距离可判断D. 【详解】设，由可得， 因为， ，所以， 解得，所以，整理得，A不正确； ，因为，所以，，B正确； 因为的方程为，所以，为其焦点， 由可得，，当且仅当时，取到最大值，C正确； 设直线与相切，联立，， 由可得，即. 当时，与的距离为； 当时，与的距离为； 曲线上有且仅有两点到直线的距离为1，D正确. 三、填空题 12．若过点的任意直线均与椭圆相交，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可得到在椭圆内部，所以，解该不等式即可得到答案． 【详解】若过点的任意直线都与椭圆相交（非相切）， 说明点P必须在椭圆内部，得到，解得． 故答案为： 13．已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】设与直线l平行的直线为，与椭圆联立，根据判别式，可得t值，结合两平行线间距离公式，分析计算，即可得答案. 【详解】求椭圆上的点到直线的最小距离，即求直线与平行于的椭圆切线之间的距离的最小值， 设与直线l平行且与椭圆C相切的直线为， 联立，得， 判别式，解得， 当时，切线为，与直线l的距离， 当时，切线为，与直线l的距离. 所以的最小值为. 故答案为： 14．过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 【答案】 【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的坐标，进而可求出的值，即可得答案. 【详解】由题意可得，所以直线的方程为， 由，得或， 不妨设，则， 所以. 四、解答题 15．椭圆（）的离心率为，其左焦点到点的距离是. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求面积S的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设可得，，进而求出即可求解； （2）由题设结合圆的几何性质可得到直线的距离为，进而结合点到直线的距离公式可得，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式求出，进而表示出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得，， 解得，，则， 所以椭圆的方程为. （2）由圆，圆心为，半径为， 则到直线的距离为， 则，即． 联立，得， 则， 设，，则，， ∴ ， 则， 当且仅当，即时，． 16．已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率及短轴长得到方程组，求出、，即可得到椭圆方程； （2）设（，），表示出直线、的方程，即可得到、，最后根据计算可得. 【详解】（1）因为离心率为，椭圆的短轴长为， 所以，解得，所以椭圆的方程为． （2）由（1）可知点，，设（，）， 则，即①， 则直线的方程为，令，得，所以， 直线的方程为，令，得，所以， 所以， ， 所以四边形的面积为：又因为，所以 ， 所以四边形ABCD的面积为定值． 17．已知椭圆： 的离心率为，右焦点的坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)直线： 与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据离心率及右焦点坐标求解即可. （2）直线方程与椭圆方程联立求出，，根据弦长公式及点到直线的距离公式求出及原点到直线的距离，代入三角形面积公式，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，，得，． 故椭圆的方程为． （2）联立，整理得． ，则. 设，，则，， 则． 原点到直线的距离． ． 当且仅当，即（满足）时取等号，最大值为1． 18．已知椭圆的离心率，且过点， (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）9 【分析】（1）由题意可得，进而代入点的坐标，可求得椭圆的方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程，设，利用根与系数的关系可得，利用向量的坐标运算可得，进而可证结论；（ii）根据，结合换元法与函数的单调性可求得面积的最大值． 【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为，又椭圆过点， 所以，解得，所以椭圆的方程为； （2）（i）由（1）知椭圆的上顶点为点，设直线与椭圆交于， 由，得，整理得， 所以，， 又， 所以 ， 所以，所以以线段为直径的圆过点； （ii）因为直线过定点， 所以 ， 令， 则 所以，可得， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即，所以. 所以当时，面积的最大值为9． 19．已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． (1)求椭圆C和圆M的标准方程； (2)设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 【答案】(1)椭圆C的标准方程为，圆M的标准方程为； (2) 【分析】（1）根据给定的离心率及点的坐标求出即可得椭圆C标准方程，再写出圆M的标准方程. （2）利用点差法及向量垂直的坐标表示求出. 【详解】（1）由椭圆的离心率，得，则， 由点在椭圆C上，得，联立解得，， 所以椭圆C的标准方程为；圆M的标准方程为. （2）设，中点， 由在椭圆上，得， 则， 又，于是， 而，由，得， 由在圆M上，得，联立解得，， 由，得点在椭圆内，即存在满足条件的点N， 当点时，，不符合题意，当点时，，符合题意， 所以. $ 3.1.2.2 直线与椭圆的位置关系 题型一 点与椭圆的位置关系 2 题型二 直线与椭圆的位置关系 4 题型三 直线与椭圆相切的应用 5 题型四 直线与椭圆相交的弦长问题 6 题型五 椭圆的中点弦与点差法 8 题型六 椭圆的综合问题 9 课时精练 11 【基础回顾】 ( 1 / 13 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 点 与椭圆的位置关系 焦点在 轴上 焦点在 轴上 点 在椭圆内 点 在椭圆上 点 在椭圆外 知识点 2: 直线与椭圆的位置关系 （1）判断直线 与椭圆 的位置关系： 联立 消去 得一个关于 的一元二次方程。 ① 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点 （或两个公共点）； ② 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个切点 （或一个公共点）； ③ 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点。 （2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： ①得出直线方程，设交点为 ， ； ②联立直线与曲线方程，得到关于 （或 ） 的一元二次方程； ③写出根与系数的关系； ④将所求问题或题中关系转化为关于 的形式； ⑤代入求解。 知识点 3: 直线与椭圆相交的弦长 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦。 （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求。 ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为 ，被椭圆截得弦 两端点坐标分别为 ，则弦长公式为： 知识点 4: 解决椭圆中点弦问题的两种方法 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下： 直线 （不平行于 轴） 过椭圆 上两点 ，其中 中点为 ，则有 。 证明： 设 ，则有 ，上式减下式得 , , . 特殊地: 直线 (存在斜率) 过椭圆 上两点 、 ，线段 中点为 ,则有 . 题型一 点与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 2．已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 3．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 5．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 7．已知为椭圆的右焦点，点为C内一点，若在C上存在一点P，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 9．（多选）已知椭圆C：的右焦点为F，点为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得，则m的值可以为（    ） A． B． C．24 D．25 10．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．当点不在轴上时，从点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为 D．的最大值为 题型二 直线与椭圆的位置关系 1．若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．直线与椭圆有两个公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 6．已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知直线与椭圆有公共点，则可取（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 9．（多选）如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（   ） A．当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B．当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C．当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D．当时，直线l与椭圆C有公共点 10．（多选）已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是4 B．的最大值是2 C．的面积的最大值为，其中为坐标原点 D．直线与椭圆相切时， 题型三 直线与椭圆相切的应用 1．已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（    ） A． B． C．2 D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程为3时，的值为（    ） A． B． C．2 D．3 4．已知椭圆的上顶点，左顶点，下顶点，右顶点分别是，直线均与椭圆相切，则菱形周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与椭圆，点分别为椭圆的左右焦点，直线，，垂足分别为点（不重合），那么“直线与椭圆相切”是“”的（    ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 6．法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设为椭圆的一个外切长方形（的四条边所在直线均与椭圆相切），若在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则的面积为（    ） A． B．26 C． D． 7．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知椭圆的两个焦点为是椭圆上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是（    ） A．椭圆的离心率是 B．若是左，右端点，则的最大值为 C．若点坐标是，则过的的切线方程是 D．若过原点的直线交于两点，则 9．（多选）已知椭圆，直线.则（    ） A．当时，直线与椭圆有两个公共点 B．当时，椭圆上到直线的距离为3的点恰有4个 C．当时，椭圆上的点到直线的最短距离小于1 D．当直线与椭圆相交时，直线被椭圆截得的线段的中点可能为 10．（多选）已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与椭圆切于点的切线方程为 D．若直线的斜率存在，则 题型四 直线与椭圆相交的弦长问题 1．已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 2．过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，若，则的面积为(    ) A．3 B．5 C． D． 4．椭圆，其右焦点为，若直线过点与交于，则最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 5．已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 6．设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点（不在轴上），则面积的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 8．（多选）过椭圆焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则弦长可能为（    ） A．2 B． C． D． 9．（多选）已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（    ） A． B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 10．（多选）已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一动点，则（   ） A．椭圆的离心率 B．面积的最大值为2 C．存在4个点，使得 D．的最小值为1 题型五 椭圆的中点弦与点差法 1．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（    ） A．2 B． C． D． 3．已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆： ，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则C的短轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 6．椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆内有点，，过点的直线交椭圆于点，若为的中点．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知椭圆，斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与垂直 B．若点的坐标为，则直线的方程为 C．若直线的方程为，则点的坐标为 D．若直线过椭圆焦点，则 9．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，H是C上异于左、右顶点的点，则（   ） A．的周长为12 B．存在点H，使得 C．当内切圆的半径为时， D．当直线l被C所截得线段AB的中点是时，直线l的方程为 10．（多选）已知椭圆，左、右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．不存在最大值 B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 题型六 椭圆的综合问题 1．设椭圆的左顶点为A． (1)求的离心率； (2)设的左焦点为F，上顶点为B，若点P在上且位于y轴右侧．，求点P的横坐标； (3)设直线，l与交于不同的两点C和D，若点A在以CD为直径的圆外，求实数m的取值范围． 2．已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于不同的两点，设直线，分别与轴交于点，若的面积为1，求直线的斜率． 3．已知椭圆经过点为椭圆的左、右两个焦点，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过右焦点作直线与椭圆C交于两点（点A位于x轴上方），是否存在直线，使得？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 4．已知椭圆的左右焦点分别为，，点满足直线，的斜率之积为，点是上任意一点，． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 5．已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为分别是的左右顶点，过点的直线与椭圆交于两点，坐标原点为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程； (3)若直线的斜率为与直线相交于点，求证：三点共线． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的图像经过点，且椭圆C的右焦点F的坐标为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作倾斜角为的直线和椭圆C交于两点，求的值． 7．已知椭圆：过点，其左右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆交于另外一个点N. (1)求椭圆的方程； (2)当直线l的斜率为2时，求四边形的面积； (3)当直线l平分时，判断四边形是否为平行四边形，说明理由. 8．设椭圆的离心率，过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，求的面积（为坐标原点）； (3)直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过坐标原点，求值. 9．设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 课时精练 一、单选题 1．直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，为坐标原点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆上任意一点处的切线方程为.过点作椭圆：的两条切线与分别相切于，两点，设为坐标原点，则外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 6．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，F，A分别为椭圆 的右焦点和下顶点，B是x轴上一点，且，过点B且与AF平行的直线l与C有唯一公共点，则l的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．已知点为椭圆：的上顶点，点，均在椭圆上，且，两点关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点（在轴左侧），则（   ） A．为定值 B．的周长的取值范围是 C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 10．（多选）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为3 C．的取值范围是 D．当倾斜角为时，的周长为8 11．（多选）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上运动，点在轴上运动，且，动点满足，记动点的轨迹为，则（   ） A．的方程为 B． C．的最大值为9 D．曲线上有且仅有两点到直线的距离为1 三、填空题 12．若过点的任意直线均与椭圆相交，则实数的取值范围是______． 13．已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________. 14．过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 四、解答题 15．椭圆（）的离心率为，其左焦点到点的距离是. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求面积S的最大值. 16．已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 17．已知椭圆： 的离心率为，右焦点的坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)直线： 与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 18．已知椭圆的离心率，且过点， (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 19．已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． (1)求椭圆C和圆M的标准方程； (2)设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． $