14.2.1 用“SAS”判定三角形全等课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“用‘SAS’判定三角形全等”，通过工匠师傅玻璃碎片复原情境导入，引导学生从全等三角形6个元素对应相等的定义出发，逐步探索最少条件，搭建从“全部条件”到“部分条件”的学习支架。 其亮点在于以动手实践（绘制两边夹角三角形）和合作探究培养几何直观与推理意识，通过规范几何语言表达强化数学语言应用。如例题中挖掘对顶角相等的隐含条件，帮助学生掌握SAS判定关键。学生能提升空间观念与逻辑思维，教师可依托完整教学流程提高教学效果。

14.2.1 用“SAS”判定三角形全等 第十四章 全等三角形 课堂导入 有一位工匠师傅，不小心把一块漂亮的三角形玻璃摔碎了，手里只剩下一个角和两条边的碎片。他非常着急，因为他想配一块和原来一模一样的玻璃。这块破碎的玻璃还能“复原”吗？这就是我们今天要探索的数学奥秘。 🧩 开动脑筋想一想：只拿着“一个角和两条边”的碎片，能配出与原来完全一样的玻璃吗？要确定两个三角形全等，到底需要哪些关键信息呢？ 锁定目标：三角形全等的判定！ 核心思考：从“全部条件”到“部分条件”，如何用最少、最关键的元素来确定三角形的形状和大小，是我们本节课要解决的核心问题。 1.7.2013 同学们好！今天上课之前，老师想给大家讲一个故事。有一位工匠师傅，他不小心把一块漂亮的三角形玻璃给摔碎了。他手里只剩下一个角和两条边的碎片。他非常着急，因为他想配一块和原来一模一样的玻璃。大家开动小脑筋想一想，他只拿着这一个角和两条边，能配出一块一模一样的玻璃吗？需要知道哪些信息才可以呢？这就是我们今天要一起探索的秘密！让我们一起进入今天的数学之旅——《三角形全等的判定》！ ‹#› 情境引入 核心思考：寻找全等判定的“密码” 我们知道一个三角形包含6个元素：3条边和3个角。如果要判定两个三角形全等，难道必须要这6个元素全部对应相等吗？最少需要知道几个元素对应相等，就能确定两个三角形全等呢？ 1个条件？ 只给一条边或一个角，能画出唯一确定的三角形吗？ 2个条件？ 如果是两条边、两个角或一边一角，能保证全等吗？ 3个条件？ 三个元素的组合有哪些？这会不会是解开谜题的关键？ 化身侦探！ 让我们一起动手探索、验证，找出判定三角形全等的第一个“密码”！ 1.7.2013 我们知道，一个三角形有6个元素：3条边和3个角。如果要让两个三角形全等，是不是需要这6个元素都对应相等呢？大家猜猜看，最少需要知道几个元素对应相等，我们就能确定这两个三角形全等了呢？是1个？2个？还是3个？今天，我们就来当一回小侦探，寻找判定三角形全等的第一个‘密码’！ ‹#› 探究与应用 由全等三角形的定义可知,如果两个三角形满足三条边分别相等,三个角分别相等,那么这两个三角形全等.能否在上述六个条件中选择部分条件,简捷地判定两个三角形全等呢? 活动1　探究并掌握判定三角形全等的方法“SAS”,并应用其解决简单的问题 问题情境 (1)先任意画出一个△ABC.再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C'满足AB=A'B',BC=B'C',CA=C'A',∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等).你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 操作尝试 解:(1)画图略,不一定全等. 探究新知 我们按照条件由少到多的顺序进行研究： ① 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC 与 △A'B'C' 满足一个条件（一边或一角分别相等）. 你画出的△A'B'C' 与△ABC 一定全等吗？ 探究1 一条边相等： 一个角相等： 探究新知 ② 满足两个条件（两边、一边一角或两角分别相等）时，△A'B'C' 与△ABC 一定全等吗？ 探究1 ①两个角相等： ②两条边相等： ③一个角和一条边相等： 4 6 4 4 6 只满足一个或两个条件时， 不能保证两个三角形一定全等. 合作探究 动手实践：绘制特定三角形请大家拿出纸、笔和尺子，尝试画一个三角形。具体要求为：确定两条边的长度分别是4厘米和6厘米，并且这两条边的夹角为60度。完成绘制后，与同桌交换作品对比，看看你们画出的三角形是否完全一样？能否重合？ 📐 核心绘制参数 1. 边长设定：选取两条线段，长度严格为4厘米和6厘米。 2. 角度限定：两条边相交形成的夹角必须为60°，注意区分夹角与其他外角。 关键点：边-角-边（SAS）的固定性 📝 分步操作指南 ① 基础：先画一条6厘米的线段作为底边；② 定角：以一端点为顶点，用量角器画出60°角；③ 截边：在角的另一条边上截取4厘米线段；④ 收尾：连接剩余两个端点，形成三角形。 思考：为什么大家的图形会完全重合？ 互动小结：当三角形的两条边及其夹角确定时，这个三角形的形状和大小就唯一确定了。这就是三角形全等判定中“边角边（SAS）”的基本原理。 1.7.2013 现在，请大家拿出准备好的纸、笔和尺子。我们一起来做个小实验。请大家画一个三角形，要求是：两条边分别是4厘米和6厘米，并且这两条边的夹角是60度。画好之后，可以和你的同桌比一比，你们画的三角形是不是一模一样呢？能不能完全重合？给大家几分钟时间动手操作和交流。 ‹#› 合作探究 探究发现：惊人的一致 同学们在动手绘制和同桌对比后，是不是发现了一个有趣的现象？只要我们规定了三角形的两条边的长度，以及这两条边的夹角大小，无论谁来画，最终得到的三角形的形状和大小都是唯一的、完全重合的！ 现象思考 为什么会出现这样的结果呢？这说明当“两边+夹角”这三个关键要素确定后，三角形的其他要素（第三边长度、另外两个角的大小）就被唯一确定了，无法更改。 核心判定“密码” 我们由此得出重要结论：两条边和它们的夹角这三个条件，足以“锁定”一个三角形的形状和大小。这就是三角形全等的第一个判定定理——“边角边”（SAS）的直观来源！ 总结：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。 1.7.2013 好了，同学们，大家都画好了吗？和同桌比较的结果怎么样？是不是发现，只要我们规定了两条边的长度和它们的夹角，画出来的三角形形状和大小都是唯一的，完全一样的！这说明了什么呢？这说明，两条边和它们的夹角这三个条件，就足以‘锁定’一个三角形的形状和大小了！这就是我们今天要找的第一个判定‘密码’！ ‹#› (2)如图14-2-1,在△A'B'C'和△ABC中,∠A'=∠A,A'B'=AB,A'C'=AC. ①直观判断△A'B'C'和△ABC是否全等; 解: (2)①全等. 图14-2-1 ②请对你的判断进行说明. 解:②如图,由∠A'=∠A可知,如果使点A'与点A重合,并且使射线A'B'与射线AB重合,那么射线A'C'与射线AC重合.再由A'B'=AB,A'C'=AC,可知点B',C'分别与点B,C重合.这样,△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合,△A'B'C'与△ABC能够完全重合,因而△A'B'C'≌△ABC. 图14-2-1 两边一角 两角一边 三边 三角 三个条件　　 当满足三个条件时，△ABC 与△A'B'C' 全等吗？分哪几种情况？ 探究新知 ①两边及夹角 ②两边和其中一边的对角 如图，直观上，如果∠A，AB，AC 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果∠A' =∠A，A'B' = AB，A'C' = AC，那么△A'B'C'≌△ABC. 这个判断正确吗？ 探究2 知识点 用“SAS”判定三角形全等 C A B C' A' B' 合作探究 三角形全等的判定公理 1 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 （简称为“边角边”公理，英文缩写“SAS”） 几何语言表述（在△ABC和△DEF中）： AB = DE (已知 对应边相等) ∠B = ∠E (已知 对应夹角相等) BC = EF (已知 对应边相等) ∴ △ABC ≌ △DEF (SAS) 1.7.2013 刚刚我们通过动手操作发现的这个规律，在数学上是一个非常重要的公理。大家看屏幕：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。为了方便记忆，我们给它取个名字，叫做‘边角边’公理，英文缩写就是SAS。大家一定要记住这个名字：SAS！边—角—边！ ‹#› 核心解读 SAS公理的关键核心：“夹”字！夹角，是指由两条边共同组成，且被这两条边“夹”在中间的那个角。它是判定三角形全等的核心要素，找不对夹角，就无法正确应用SAS公理。 ✔ 正确示范：认准“中间” 在△ABC中，边AB和边AC的夹角是∠A。这个角的顶点是两条边的公共端点，且角的两边正好就是AB和AC，完美被“夹”在两条边中间。 结论：∠A 是 AB 与 AC 的夹角，符合SAS“夹”的定义。 ✘ 错误示范：混淆“邻角” 边AB和边BC的夹角是∠B，而不是∠A。∠A虽然和AB有关，但它不是AB与BC的公共角，也没有被这两条边“夹”在中间，所以不能作为夹角。 误区警示：不是任意相关的角都能算，必须是两条边的公共角且位于中间。 💡 核心总结：夹角 = 两条边的公共端点形成的角，且角的两边就是这两条边。简言之：“两边夹一角”，缺一不可。 1.7.2013 SAS公理听起来很简单，但里面有一个字非常非常关键，大家知道是哪个字吗？对啦！就是这个‘夹’字！什么是夹角呢？大家看，夹角，就是由两条边共同组成的那个角。就像两个人手拉手，中间形成的那个角。必须是两条边‘夹’着的那个角才行！如果角不是夹角，那结论还成立吗？我们后面会探讨这个问题。现在，大家一定要先认准‘夹角’！ ‹#› 两个三角形全等的判定方法——边角边:　　　 　和它们的 　　　　分别相等的两个三角形全等(可以简写成“　　　　” 或“　　　　”).  概括新知 两边　 夹角　 边角边　 SAS 在证明两个三角形全等时,如果已知两组边分别相等,那么可根据题意去寻找两组相等边的夹角相等,利用“SAS”证明两个三角形全等. 记 方法 如图，由∠A' =∠ A 可知： 知识点 用“SAS”判定三角形全等 ① 使点 A 与点 A' 重合并使射线 A'B' 与射线 AB 重合，射线 A'C' 与射线 AC 重合. ② 由 A'B' = AB， A'C' = AC，点 B'，C' 分别与点 B，C 重合. C A B C' A' B' (A') (B') (C') 知识点 用“SAS”判定三角形全等 C A B △A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合. △A'B'C' 与△ABC 能够完全重合. △A'B'C'≌△ABC (A') (B') (C') 分析：要运用SAS公理证明三角形全等，关键是梳理“边—角—边”的逻辑结构。需先明确两个三角形的对应顶点，再依次列出两条对应边和它们的夹角条件，最后推导出全等结论。 书写规范 导问：我们已经掌握了SAS全等判定公理，那么如何用严谨的数学符号语言，把证明过程规范地书写出来呢？ 规范书写格式： 在 △ABC 和 △DEF 中： AB = DE （已知/已证，对应边） ∠B = ∠E （已知/已证，两边的夹角） BC = EF （已知/已证，对应边） ∴ △ABC ≌ △DEF (SAS) 💡 核心要点：书写时务必将“角”的条件写在中间，两条“边”的条件分列两侧，形成直观的SAS结构；结论处必须注明判定依据。 角是两边的“夹角”是关键 1.7.2013 我们学会了SAS公理，那怎么用数学语言把它写出来呢？这在证明题里非常重要。大家看屏幕上的格式，我们在写的时候，通常把角的条件写在中间，边的条件写在两边，这样看起来就像一个‘边—角—边’的结构，非常清晰。最后，一定要写上结论，并在括号里注明你所用的判定方法是‘SAS’。 ‹#› 思路剖析 1. 锁定已知：题目给出两组对应边相等，即 OA = OC，OB = OD。 2. 对照公理：根据SAS判定定理，已知两边，还缺少“两边的夹角相等”这一关键条件。 3. 寻找夹角：OA与OB的夹角是∠AOB，OC与OD的夹角是∠COD。 4. 关键证明：∠AOB 与 ∠COD 是对顶角，根据“对顶角相等”可得 ∠AOB = ∠COD。 结论：三组条件（OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD）齐备，满足SAS，可证△OAB ≌ △OCD。 例题精讲 题目呈现如图，AC与BD相交于点O，已知 OA = OC，OB = OD。求证：△OAB ≌ △OCD。 本题是对SAS全等判定定理的基础应用，核心在于如何从图形中挖掘隐含的“夹角相等”条件，体会几何证明中“找条件、补条件、证结论”的思维过程。 核心提示 在利用SAS证明全等时，必须注意角是“两边的夹角”。对顶角、公共角、直角是几何证明中最常见的隐含等角条件，要善于观察图形特征。 1.7.2013 理论学完了，我们来看看它在实际题目中是怎么应用的。请看例题1。同学们，我们要证明这两个三角形全等，首先应该看题目给了我们什么条件？题目说OA=OC，OB=OD。这是两条边对应相等，对吗？根据SAS公理，我们还需要一个什么条件？非常好！需要它们的夹角相等。那OA和OB的夹角是哪个角？OC和OD的夹角又是哪个角？这两个角是什么关系呢？太棒了！它们是对顶角，对顶角相等。现在我们找齐了三个条件，证明就水到渠成了！ ‹#› 理解应用 证明:∵AB平分∠CAD, ∴∠CAB=∠DAB. 在△ABC和△ABD中, ∴△ABC≌△ABD(SAS).∴∠C=∠D. 教材典题)如图14-2-2,AC=AD,AB平分∠CAD,求证:∠C=∠D. 例 图14-2-2 证明:在△ABC和△BAD中, ∴△ABC≌△BAD(SAS).∴BC=AD. 如图14-2-3,AC=BD,∠CAB=∠DBA,求证:BC=AD. 图14-2-3 变式 知识点 用“SAS”判定三角形全等 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 在△ABC 与 △ A′B′C′ 中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （SAS） AB = A′B′ ∠A =∠A′ AC = A′C′ 几何语言： A B C A' B' C' 基本事实： 例 1 如图，AC = AD，AB 平分∠CAD，求证∠C =∠D. 教材P33 例题 A B C D ①先找隐含条件： ②再找现有条件： ③最后找准备条件： 公共边AB AC = AD 可以证明 △ABC≌△ABD. ∠CAB =∠DAB AB 平分∠CAD 证明：∵AB 平分∠CAD，∴∠CAB =∠DAB . 在△ABC 和△ABD中， 教材P33 例题 A B C D ∴△ABC ≌△ABD （SAS） AC = AD ∠CAB =∠DAB AB = AB ∴∠CAB =∠DAB. 分析：要证明△OAB ≌ △OCD，需依据全等三角形判定定理寻找条件。已知OA=OC，OB=OD，且∠AOB与∠COD是对顶角，可得∠AOB=∠COD，恰好满足“边角边（SAS）”的判定条件。 典例分析 例1如图，已知OA = OC，OB = OD，∠AOB与∠COD是对顶角，求证：△OAB ≌ △OCD。 证明：在 △OAB 和 △OCD 中， OA = OC (已知) ∠AOB = ∠COD (对顶角相等) OB = OD (已知) ∴ △OAB ≌ △OCD (SAS) 对顶角相等是关键条件 1.7.2013 现在，我们把刚才的思考过程，一步一步地写出来。大家看，我们把已知条件和推出来的条件都清晰地列出来，然后得出结论。这样的证明过程就非常完整和严谨了。 ‹#› 【分析思路】 1. 锁定已知条件：题目直接给出 AC=AD（一组对应边相等），∠CAB=∠DAB（一组对应角相等）。 2. 挖掘隐藏条件：观察图形结构，AB 是 △ACB 和 △ADB 的公共边，因此 AB=AB（第二组对应边相等）。 3. 匹配全等判定：两组边（AC=AD，AB=AB）及其夹角（∠CAB=∠DAB）分别相等，符合“边—角—边（SAS）”判定定理。 4. 得出最终结论：依据 SAS 判定，可证得 △ACB ≌ △ADB。 例题精讲 题目呈现：如图，已知线段 AC=AD，且 ∠CAB=∠DAB，试证明 △ACB 与 △ADB 全等。 这是一道典型的利用“边角边”判定全等的基础题型，关键在于发现图形中隐含的公共边条件，将分散的已知信息串联起来。 1.7.2013 我们再来挑战一个稍微复杂一点的题目。请看例题2。老规矩，先找条件。题目给了什么？AC=AD，一条边相等。∠CAB=∠DAB，一个角相等。我们要证明△ACB和△ADB全等。观察一下图形，这两个三角形有没有一条公共的边呢？对了！AB是它们的公共边，所以AB=AB。现在我们来整理一下条件：AC=AD，∠CAB=∠DAB，AB=AB。这是不是标准的‘边—角—边’呢？完全正确！我们可以开始写证明了。 ‹#› 解:不一定全等. 我们知道,如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等,那么这两个三角形全等.如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等,那么这两个三角形全等吗? 活动2　理解“SSA”不能判定两个三角形全等 问题情境 解:不全等. 如图14-2-4,在△ABC与△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,那么△ABC和△ABD全等吗? 观察思考 图14-2-4 章节框架 全等三角形 全等三角形 全等三角形的 判定 角平分线的性质 “SAS” “ASA” “AAS” “SSS” “HL” 角平分线的性质 角平分线的判定 $