山东临沂市2025-2026学年高二下学期普通高中学科素养水平监测数学试卷

高二年级普通高中学科素养水平监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.己知集合M={nlC2≤3}，N={1,2,3,4},则M∩N= A.{1,2,3 B.{2,3 C.3,4} D.2,4 2.函数f(x)求导正确的是 Afx)=l2,f'(x)=2 B.f(x)=cos2x,f'(x)=2sin2x 1 C.f(x)=x,f(x)=- 2 0),f”(x)=m 3.“2>2y”是“x2>y2”的 A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4函数儿x)=的大致图象是 4-1 5.某校高二、一班共有男生30人，女生20人，从该班学生中选出5人组成一个数学建模兴 趣小组，小组中女生人数为X,则E(X)= A.1 B.2 C.3 D.4 6.有6名同学站成一排照相，要求其中甲乙两位同学不站在一起，丙丁两位同学站在一起 共有站法种数为 A.120 B.144 C.240 D.336 数学试题第1页（共4页） 7.3x∈[1,8]，使+4≥a2+4成立，则a A.0 B.[ 2W22√2 3’3 C.[-3235 2’2 D.[-1,1] 8.已知二项式(ax+b)”的展开式中所有项的系数和为128，若-N(1,9),且P(<a)= 0.7,则P(<b)= A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9若0则 A.√-a<-b B.a+b>ab C.lal<lbl D.a2-a<b2-b 10.根据儿子的身高与父亲的身高相关关系研究中的一组数据，作出如图所示的散点图，对这 组数据进行回归分析后发现遗漏了点 (178,190),增加该点后再次进行回归 本儿子身高/cm 190 分析，得到的结果和原来相比 185 A.决定系数R2变小 180 175 ●-2------------------ B.残差平方和变小 170 C.相关系数r变大 165 16 D.相关系数r变小 160165170175180185父亲身高cm 山.已知函数x)则 A.f代x)的值域为(-o,-1]U(0,+o) B.关于x的方程f(x)+f(x)1-2=0有3个实数根 C.当k<时，关于x的方程f(x)-f代x)1+k=0有4个实数根 D.若函数g(x)=xx),则对于V>1,都有gx)-g(2)<0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)= ,x≤0，其中a为正实数，则fU0)= x2-3,x>0. 13.若函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)-f(x),且f(1)=4,则f(2026)= 14.在n维空间中(n≥2，n∈N),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐 标(a1,a2,…,an),其中a:∈{0,1}(1≤i≤n,i∈N).定义：在n维空间中两点(a1,a2,…, an)、(b1,b2,…,bn)的曼哈顿距离为1a1b1+la2-b2I+…+lan-bn1.在3维“立方体”的顶 点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则D(X)= 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为研究学生的课外阅读情况对数学成绩的影响，某学习小组从该校高二全体学生中随 机抽取100名学生开展问卷调查.调查规定：每周有固定课外阅读时间的学生记为“坚持课 外阅读”，否则记为“不坚持课外阅读”；根据学生的数学成绩，分为“优秀”和“不优秀”两 类.经统计得出如下列联表： 单位：人 课外阅读 数学成绩 合计 不坚持课外阅读 坚持课外阅读 不优秀 40 20 60 优秀 10 30 40 合计 50 50 100 (1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与坚持课外阅读有关联？ (2)在统计中，常用L(B1A) P(B1A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势， P(BIA) 称为似然比.现从这100人中任选一人，A表示“选到的人坚持课外阅读”，B表示“选到的 人数学成绩优秀”，请利用样本数据，估计L(B|A). n(ad-bc）2 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 附X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分) 脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息 交换未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同 时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增 量y(单位：亿元)与研发人员增量x(人)的10组数据现用模型y=d(+c进行拟合 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中=反，1器 22-10m -I0P 点-10e町 含-10 7.32 2.2 80.26 4.70 13.24 2.82 (1)根据模型，求出y关于x的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过 9亿元，研发人员增量至少为多少人？（精确到1） 数学试题第3页（共4页） (2)现从全国同类企业中随机调研12家，已知每家企业能达到(1)中收益增量水平的 概率为0.7，且各企业是否达标相互独立.记这12家企业中达到该收益增量水平的企业数 为X.求X的数学期望，并求使得概率P(X=k)取得最大值的正整数k. 附：对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归直线 y=bx+à的斜率及截距的最小二乘估计分别为)= -,a=y-bx. 含好-n 17.(15分) 已知函数x)=ln(1-2). 2 (1)求f(x)的定义域； (2)若函数g(x)=(2x-a)f(x)的图象关于直线x=b对称，求a,b; (3)解关于x的不等式f(x)<f(-e+1). 18.(17分) 现有标号为1~10的10张质地、大小完全相同的卡片，充分混合后从中一次性取m张 卡片，记抽取的m张卡片中标号的最大值为随机变量Xm(m≥2，m∈N). (1)求在“X,=6”的条件下“取得的卡片中标号最小值为2”的概率； (2)求X的分布列，并借助该分布列证明：C4+C++C=Co; (3)求E(Xm). 19.(17分) 已知函数f(x)=ax-Inx-1. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f代1))处的切线方程； (2)求函数S(x)=)的单调区间： 无 (3)若f(x)≥x-e恒成立，求a的取值范围 数学试题第4页（共4页） 高二年级普通高中学科素养水平监测 数学试题参考答案及评分标准 说明： 一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容参照评分标准酌情赋分」 二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半：如 果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分」 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.B2.C3.D4.A5.B6.B7.C8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ACD 10.AD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 24 168 12.-213.-414.49(写成43也对) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)零假设H。:数学成绩与坚持课外阅读无关…1分 易知X=100x(40x30-20x10)2 3分 60×40×50×50 50 3 ≈16.7>3.841. …4分 依据小概率值=0.05的独立性检验，我们推断H。不成立，…6分 即能认为数学成绩与坚持课外阅读有关联，该推断犯错误的概率不大于0.05.…8分 （2)由题意可知P(4B)高P(AB)=写PA)= …11分 数学试题答案第1页（共5页） P(AB) P(BIA)P(A) 3 所以L(BIA)= 13分 P(BIA)P(AB) P(A) 16.(15分) y.-10灯 解：(1)根据题意知：a= 2.82 =0.6,…2分 2-10c 4.7 所以c=y-ai=7.32-0.6×2.2=6, 4分 则y关于t的经验回归方程为y=0.6+6, 所以y关于x的经验回归方程为y=0.6x+6, …6分 由题意，y=0.6x+6>9,解得x>25, 又x为整数，所以要使年收益增量超过9亿元，研发人员增量至少为26人.…8分 (2)由题意，X~B(12,0.7),.E(X)=12×0.7=8.4.…10分 P(X=k)C$x0.7x0.32-7(13-k) 法-作商法：pX=k-C×0.7×033站 …12分 令P5≥1今k≤9.1，网 …14分 即k≤9时P(X=k)单调递增，k>9时P(X=k)单调递减， 故使得概率P(X=k)取得最大值的正整数k=9. 15分 P(X=k)≥P(X=k-1)7(13-k)≥3k 法二、不等式组} …12分 P(X=)≥P(X=k+1)7(12-k)≤3(k+1)' →b∈[8.1,9.1]，…14分 故使得概率P(X=)取得最大值的正整数k=9.…15分 17.(15分) 醒：1)由1>0得x<0或x>2 f(x)的定义域为(-0,0)U(2,+m).… …3分 (2)由(1)可知，g(x)的定义域为(-∞，0)U(2,+∞)， :函数g(x)=(2x-a)f(x)的图象关于直线x=b对称， 生2-1,5分 ∴.b= 2 则g(x)=g(2-x),即(2x-a)n*-2=[2(2-）-a]nr2）-2] 2-x 数学试题答案第2页（共5页） (2x-a)hx-2=(2x-4+njln-2 从而2x-a=2x+a-4，… 8分 解得a=2,… 9分 即a=2,b=1.… 10分 (3)①当x<0时，-e+1<0, 易知y=1-2在(-，0和y=在(0，+a)上均单调港蜡。 由复合函数的单调性知f(x)在(-∞，0)为增函数， 则f代x)<f代-el)等价于x<-e1,即x+e+1<0, 记h(x)=x+e1,显然h(x)为R上的增函数，h(-1)=0,.x<-1.…12分 2 ②当x>2时，1>1-二>0， 此时x)=ln1-2)<hl, 2 )=I(1)>l, .x>2,fx)<f-e+1)成立， 14分 综上所述，不等式f代x)<f-e)的解集为(-∞，-1)U(2,+∞).…15分 18.(17分) 解：(1)设事件A=“X3=6”,B=“取得的卡片中标号最小值为2”，…1分 C 则P(A)= P Cio 3分 C 3 ∴.P(B|A)= =0.3. Cξ10 5分 C (2)分布列如下： 19 5 6 个 8 9 10 C C C C Cio Cio Cio 8分 C4+Cg+…+C 由分布列的概率性质可知： =1,C4+Cg+…+Cg=Cio …10分 Cio (若不用分布列证明，扣1分)》 数学试题答案第3页（共5页） (3)Xm的所有可能取值为m,m+1,…,10,…11分 则P(Xn=k)= k·(k-1)！ h! 10. ∴.E(Xn)=Σk· 9(m-1)！(k-m)！-9(m-1)！(k-m)卫 k=m Co k=m CTo m·k! m·k! =是m·(m-1)！(k-m_岁m!(k-m)！-号m·C …14分 k=m CTo 长=m CTo 台mC0 = C1o (Cg+Cm1++Cm)= 11m …17分 k台m m+1 19.(17分) 解：(1)当a=2时，fx)=2x-lnx-1,f'(x)=2- 1分 f'(1)=1,f八1)=1.…2分 f(x)在x=1处的切线方程为x-y=0. 3分 (2:g(x)=0=ane1 xx 8'()=-1-Inzt,1_I x2xx 5分 令g'(x)>0,则x>1,g(x)在(1，+∞)上单调递增，…6分 令g'(x)<0,则0<x<1,g(x)在(0,1)上单调递减，…7分 g(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间为(0,1).…8分 (3):f八x)≥x-xe恒成立， ax-lnr-l≥x-te,即a≥lnx+l -e+1,…9分 令w(x)=nr+1-e+1,则w'()=-n-c x2 10分 令p()=-l-e,则e'(x)=1-2xe-e<0在(0，+n)恒成立， .p(x)在(0，+0)单调递减，…11分 易知o()=1-e÷2>0,o(1)=-e<0, 存在唯一零点∈（日，1），使得p(x)=0, …12分 即-l,=c,易得n=6,即e克n=e,…13分 1 数学试题答案第4页（共5页） 令p(x)=xe'(x>0), p'(x)=(x+1)e>0,∴.p(x)在(0，+o)单调递增， 1 p(ln二)=p(x),∴.ln=xo, 很即Xn=lX0,……… 15分 x∈(0，x0)时，p(x)>0,即w'(x)>0,∴w(x)单调递增， :x∈(，+o)时，p(x)<0,即w'(x)<0,.w(x)单调递减， ∴.w(x)mx=w(x0) 1+n-e+1=1-0-L+1=0, 16分 Xoxo .a≥0，即a的取值范围为[0，十∞).…17分 数学试题答案第5页（共5页）