2027届高考数学一轮复习专项训练----沪教版 · 裂项相消专题训练 · 卷1

数列裂项相消专题训练卷 ★★★区重点/市重点基础难度|满分150分考试时长120分钟 适配上海高中二年级沪教版|机构校内同步专题卷 一、 填空题（第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分） nn十刀'其中n∈N,记其前n项和为Sn,则3n= 1 1.已知正整数数列{an}满足通项an= 2.设数列{an}的通项为an= nn十2n∈N,若S为该数列前n项之和，写出Sn的化简表达式： 1 1 3.若数列通项an=- (n∈N*),Sn为前n项和，则Sn= n+1+v元 4.给定数列an= 1 (2m-1)(2n+)(a∈N),求该数列前50项的和S0= 5.已知n为正整数，数列满足an= 1 (m+1(n+2)’ 记前n项和∑ak= k=1 1 6.数列{an}通项an= (n∈N*),计算前100项和S100= Vn+3+√n+2 7.设an= nn十工n∈N),Sn是数列前n项和，化简Sn 2 8.对于数列an= (3m-23n+Dn∈N),写出前n项和Sn最简形式： 1 9已知n∈N,an=a+2n十3，记前n呗和为8，则S。= 10.数列通项an= 3 nn十3)n∈N),求其前n项和Sn并化简： 11.若an= (n∈N*),计算前40项的和S40= Vn+5+Vn+4 1 12.给定数列a=n-34n十刀a∈N).写出前n项和S.的最简分式： 二、选择题（每题5分，共20分，每题仅有一个正确选项) 1 13.已知数列{an}满足an= nn十习n∈N,则该数列前n项和之ae的正确化简结果是) k-1 3 1 1 A. B. 2n+2 2n+4 2n C.1 D.1 1 m 2 14.设数列an= ，n∈N*,则前99项之和Sg等于() Vn+1+v元 A.9B.10C.V100D.V99-1 15.对于通项a,=2n-12n十可的数列，其前20项和S0的值为0 20.119 A. c. 21 40 43 16.若数列{an}满足an= 1 n∈N,则21的化简结果为) n(m+1) K1ak A.nn+1(m+2) B.n(n+1) 3 6 C.n2 D.2n 三、解答题（第17~19每题14分，第20-21每题17分，共76分，写出完整解题步骤） 17.(14分)已知n∈N,数列{a,}的通项公式为an=3m-13m+2)° y (1)利用裂项相消法求该数列前n项和Sn: 回若S。=音求出满足条件的正整数m: 18.(14分)设数列{an}通项为an= nn+3)aeN),构造新数列b=工。 1 an (1)求数列{bn}的前n项和Tn: (2)判断方程Tn=60是否存在正整数解，并说明理由。 1 19.(14分)已知am= nn十可（a∈N),定义数列b}满足6a=an十an+1。 (I)化简{bn}的通项表达式： (2)求数列{bn}的前n项和Tn 20.(17份)给定数列a.=2n-02n+到a∈N) (1)运用裂项相消求出前n项和Sn: (②)求证：对任意正整数m,恒有Sn<3 1 1 21.(17分）设数列a.}满是a,=n+n+2a∈N) (1)求该数列前n之和Sn: (因证明不等式：对在意n∈N,都有含a:<行 k=1 二、标准答案汇总 题号 答案 题号 答案 1 n+1 13 A 1 2 31 4- 2m+2-2m+4 14 A 3 √m+1-1 15 50 4 101 16 n 2n+4 17(1) 2(3n+2) 6 √103-√3 17(2) n=2 7 2n n(n+1)(2m+7) n+1 18(1) 6 8 n 3n+1 18(2) 无正整数解 11 2 3-n+3 19(1) on=- n(n+2) 111 1 1 31 1 10 6- n+1-n+2- n+3 19(2) 2-n+1- n+2 11 3v5-2 20(1) 1 1 3-42m+1- 42m+3) 12 4n+1 20(2) 证明成立 m 21(1) 2m+4 21(2) 证明成立 三、逐题标准解析 1.解析 1 裂项变形： 11 n(n+1) n、n+1 -(-+（-）++（-）1-= 验算：n=1S1=2 等式成立 2.解析 1 21 1 n(m+2) 2m+2 2m+4 验算：m=1,S1= 3 数值匹配 3.解析 分母有理化： 1 =√n+1-√元累加抵消后：Sn=√n+1-1 Wn+1+√元 验算：n=1,S1=√2-1 4.解析 1 50 (2m-1)(2m+1) () .=201代入n=50得5n= 验算：n=1,S1=3 5.解析 1 1 1 1 1 m+m+2=n+in+2sn=2n+2=2m+4 验算：n=1,5i= 1 6.解析 ak=Vk+3-V√k+2,逐项展开抵消：S10=√103-V3 单独核验k=1:a1=√4-√3，无下标抄写错误 7.解析 =(层)&=(-中)- 验算：n=1,51=1 8.解析 1 (3m-2)3m+1) (2)-(-n+)-a 验算：n=1,S=4 9.解析 1 1 (n+2)(n+3)n+2 九+3’& 3-n+3 驺算：n=1,S1=12 10.解析 3 1 1 n(n+3) n+3 1 1 1 Sn= 1111 1 1+2+ 3 n+1n+2 n+3=6 n+1n+2 n+3 11.解析 an=√n+5-√n+4,S40=V4-√4=3W5-2(根式化为最简) 12.解析 1 (4n-3)(4n+1) 验算：n=1,S1=5 13~16选择题解析 匹配对应求和公式，正确选项依次A、A、A、A。 17.解析 (1)an= 3 3n-1 3m+2 Sn= 2(3m+2) (2)列方程解得n=2,代入验证等式成立 18.解析 (1)bm=n2+3m,求和得Tn= n(n+1)(2m+7) (2)m=3结果228，n=4结果420，无正整数解 6 19.解析 (1)两式相加消去中间项得b= 2 31 1 n(n+2) 2)累加抵消后℃n=2-n+1-n+2 20.解析 山是项系数子 化简得S。= 1 1 3-4(2m+1- 4(2m+3) (2)m→∞极限为 1 故任意n满足 8 ,不等式恒成立 21.解析 (1)Sn= 2n+4 无穷极限号 因此∑R1ak< 恒皮立 上海高二沪教版专题卷丨版权归创作者本人所有