湖南衡阳市衡东县第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 2026年衡东县高一下期末数学卷，覆盖集合、向量、立体几何、统计概率等核心知识，解答题融合分层抽样、圆台体积与球表面积、立体几何证明等，通过数据分析与空间推理考查数学思维与数据意识，适配期末综合检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|命题否定、集合运算、向量基底、复数几何意义|基础概念辨析，考查抽象能力| |多选|3/18|数据特征（中位数、方差）、向量运算|多角度知识整合，体现推理意识| |填空|3/15|复数运算、方差计算、独立事件概率|简洁考查运算能力| |解答|5/77|向量夹角与参数求解、分层抽样与概率、圆台体积与球表面积、立体几何证明、频率分布直方图分析|综合应用，如第16题分层抽样考查数据意识，第18题几何证明体现空间观念，符合期末能力检测趋势|

2026年衡东县第一中学高一下期末考试数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.命题“3x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是() A.x∈R,x2-2x+1≤0 B.x∈R,x2-2x+1<0 C.3x∈R,x2-2x+1>0 D.3x∈R,x2-2x+1≥0 2.已知集合A={x∈N-1≤x<5},B={0,1,3,5},则A∩B=() A.{0,1,3} B.1,3} C.{0,1,3,5} D.1,3,5} 3.下列各组向量中，可以作为基底的是() A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.g=(2,-3),e2=(-2,3) C.=(3,4),e2=(-6,-8) D.e=(-2,1),e2=(1,2) 4.己知复数z在复平面内对应的点为(1,1)，则z=() A.-1-i B.-1+i C.1+i D.1-i 5.已知圆台的上、下底面的半径分别为1,2，高为√5，则该圆台的母线长为() A.1 B.√2 C.2 D.3 6.下列调查方法的选择中，最合适的是() A.了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查 B.旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 C.了解北京居民“2026年十一假期”期间的出行方式，采用全面调查 D.某火箭车部队要了解某批反舰导弹的性能，采用全面调查 7.如图，AOAB是水平放置的△OAB的直观图，OA=4,OB=3,则原平面图形△OAB的面积为() 1 A.3√2 B.3V2 C.6 D.12 4 8.设随机事件A,B满足P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(AUB)=0.9,则P(AB)=（) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.有一组样本数据6,8,5,6,7,10，则这组数据的() A.极差为4 B.中位数为6.5C.平均数为7 D.方差为3.5 10.设z=1-2i,则() A.三=1+2i B.|z=5 C.iz=-2+i D.z2=-3-4i 11.已知平面向量a=(1,2),b=(2,-1),则下列说法正确的有() A.同-=同 B.a与b的夹角为90° C.a在b方向上的投影向量为(0,0) D.若向量c满足c/a+b),则c=(3,1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知复数z=1+i,则日= 13.已知一组数据4,6,5,7,4,4，则这组数据的方差为一 4,若事件A和事件s相互独立，且P心A)-子P()号则P4UA)=一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知向量a=(1,2),b=(x,4),c=(4,-x),且a1c; (1)求ā与c-b的夹角： (2)若|a+kcl=5,求实数k的值： 16.某地区有小学18所，初中12所，高中6所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视 力调查， (1)求应从小学、初中、高中分别抽取的学校数量： (2)若从被抽到的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率. 17.已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为√11. (1)求其体积： (2)若某球与此圆台体积相同，求此球的表面积. 03 I8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD/BC,AB⊥BC,AB=BC=1,AD=2, CD=√2，PA=2,PA⊥平面ABCD. D B C (1)求证：AB⊥平面PAD: (2)求证：平面PCD⊥平面PAC; 19.为统计某企业管理层年龄结构，从该企业各部门中随机抽取100人作为样本，得到频率分布直方图如图所 示 频率组距 0.02 0.01 0203040506070年龄/岁 (1)求该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率： (2)求该样本数据的中位数： (3)求该样本数据的平均数： (4)若该企业管理层共300人，试估计该企业管理层中35岁以下的人数. 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年衡东县第一中学高一下期末考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．___________________ (5分) 13．___________________ (5分) 14．___________________(5分) 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $《2026年衡东县第一中学高一下期末考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A 0 C D & BC ABD 题号 11 答案 ABC 1.B 【详解】解：命题3x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是“x∈R,x2-2x+1<0”. 2.A 【详解】集合A={x∈N-1≤x<5},即A={0,1,2,3,4, 又B={0,1,3,5}, 所以A∩B={0,1,3} 3.D 【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可： 【详解】对于A,因为e=(0,0),e2=(1,2),所以0×2-0×1=0，则e,e2共线，故A错误； 对于B,因为e=(2,-3),已=(-2,3)，所以2×3-(-3)×(-2)=0，则，e2共线，故B错误： 对于C,因为=(3,4)，e=(-6,-8),所以3×(8)-4×(-6)=0，则e,e2共线，故C错误： 对于D,因为e=(-2,1),e2=(L2),所以(-2)×2-1×1=-5≠0，则，e2不共线，故D正确. 4.C 【详解】由复数z在复平面内对应的点为(1,1)，则三=1+i. 5.c 【分析】根据圆台的结构特征，利用上下底面半径差、高与母线构成直角三角形的性质，结合勾股定理计算母线 长 【详解】根据圆台的结构性质：圆台的母线长l、高、下底面半径R与上底面半径r的差值R-r构成直角三角形 的三边，其中母线为斜边， 由题意可知，r=1,R=2,h=√5，故上下底面半径的差值为R-r=2-1=1, 根据勾股定理可得母线长：1=√(R-)2+2-V2+(W3)?=√+3=2，故C正确 6.A 【详解】A选项，了解北京每天的流动人口数，调查范围广，应采用抽样调查，故A正确： B选项，旅客上飞机前的安检，涉及到安全，事关重大，应采用全面调查，故B错误： C选项，了解北京居民“2026年十一假期”期间的出行方式，调查范围广，应采用抽样调查，故C错误： D选项，某火箭军部队要了解某批反舰导弹的性能，由于调查具有破坏性，应采用抽样调查，故D错误. 7.D 【分析】利用直观图与原图之间的面积关系S地=2√2S48求解即可. 【详解】由直观图可得50s之00B5m45-}×4x3x5-3点， 2 2 则S.0as=2√2S4B=2√2×3V2=12. 8.B 【详解】可知P(AB)=P(A+P(B)-P(AUB)=0.5+0.6-0.9=0.2. 9.BC 【分析】根据样本数据的数字特征求解即可. 【详解】有一组样本数据6,8,5,6,7,10，先对数据从小到大排列可得5,6,6,7,8,10，那么 极差为10-5=5，A错误： 中位数为。)=6.5，B正确： 平均数为：-名（5+6+67+8+10)-7.C正确： 方注为：8-君5-7+6-矿-6-7+(7-7+8-7+0-7门-号35，D关 10.ABD 【详解】对于A,因为z=1-2i,所以=1+2i,故A正确： 对于B,因为z=1-2i,所以z=1+(-2)=√5，故B正确： 对于C,因为z=1-2i,所以z=i(1-21)=i-2i2=2+i,故C错误； 对于D,因为z=1-2i,所以z2=(1-2i)=1-4i+4i2=-3-4i,故D正确. 11.ABC 【分析】根据模的坐标表示即可判断A;根据向量夹角的坐标表示即可判断B;根据投影向量的定义即可判断C: 根据向量平行的坐标关系可判断D. 【详解】对于A,=P+2=5,=V22+(-1)=V5，,则同=所以A正确： 对于B,cosa6d闳5.5=0，则a与的夹角为90所以B正确： 对于C,由B可知，a⊥b,则a在b方向上的投影向量为(0,0).所以C正确： 对于D,a+b=(3,1),若c=(-3,1),也满足c/1ā+b),但c=(-3,-1)≠(3,1).所以D错误. 12.√2 【详解】=v+F=√2. 13. X 3 【详解】由慰设，数据平均值为x=4+6+5+7+4+4-5, 6 则方差为2石[4旷4(6+6-矿+(0-+45驴4] 【分析】直接根据相互独立事件的概率及和事件的概率公式可得， 【详解】因为率件么B相互独立，所以PA)=P(0PB).且P0=号P) 3 211 所以P(AB)=二× 323 根据和事件的概率公式PAUB)=PA+P(B)-PAB)=2+1_1_ 3236 因此P(AUB)= 5 15.3/135 4 (2)k=1或k=-1 【分析】(1)计算目标向量坐标后用向量夹角公式求夹角： (2)利用向量模长公式列方程求解k 【详解】(1)由向量垂直则两向量点积为0，即a.c=1×4+2×(-x)=0, 解得4-2x=0,即x=2,因此b=(2,4),c=(4,-2),c-b=(2,-6), 3 代入向量夹角公式得c0s0=E-D-1x2+2x(6) -10 -② lc-6+2xV2+(-65x2而2， 又0∈0，可，因此9=3弧（或135）： 4 (2)依题意a+=(1+4k,2-2), 由|a+c=5两边平方得：1+4)2+(2-2)2=25， 1+8k+16k2+4-8k+4k2=25, 20k2+5=25,即k2=1, 解得k=1或k=-1. 16.(1)3;2;1 a时 【分析】(1)直接抽样比计算各层所抽取的样本数可得： (2)直接用古典概型概率公式计算可得. 【详解))因为总样本空间为18+12+6=36，抽取6个样本，抽样比为6。 所以从小学抽取18名3所：从初中抽取12名2所：从高中抽取6×名1所。 1 6 6 因此应从小学、初中、高中分别抽取的学校数量为3,2,1. (2)小学的3所学校编号为1,2,3，初中的2所学校编号为4,5，高中的1所学校编号为6， 从中随机抽取2所学校，基本事件有：12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15种， 其中抽取的2所学校均为小学的是：12,13,23，共3种， 所以抽取的2所学校均为小学的概率为； 31 17.1)28√ 3 (2)28π 【分析】(1)先求出圆台的高，再根据体积公式计算即可； (2)由球的体积公式求得R,再由表面积公式求解即可. 【详解】(1)设圆台高为h, 则h=V11-(4-2)2=√万， 其体积为r(0+4+V24)万=285。 3元. 11 4 (2)设球的半径为R, 由题意4R-28√7元 3 3 即R3=7√7， 解得R=√万 则其表面积为S=4πR=28π， 18.(I)证明：AD1/BC,AB⊥BC,AB⊥AD PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,∴PA⊥AB, PAOAD=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD,∴AB⊥平面PAD. (2)证明：因为AB⊥BC,AB=BC=1,所以AC=√2 CD=√2，AD=2,在△ACD中，AC2+CD2=AD2.AC⊥CD PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,PA⊥CD, ~PA∩AC=A,PAC平面PAC,ACC平面PAC,∴CD⊥平面PAC. CDc平面PCD, 平面PCD⊥平面PAC. 【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明即可. (2)利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】(1)略 (2)略 19.(1)0.8 (2)52.5 (3)50 (4)45 【分析】(1)根据给定的频率分布直方图求出a,进而求出频率. (2)利用频率分布直方图估计中位数， (3)利用频率分布直方图估计平均数. 5 (4)利用频率及频数的关系求解. 【详解】(1)由频率分布直方图，得(0.01+0.01+0.02+a+0.02)×10=1,解得a=0.04, 所以该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率为(0.02+0.04+0.02)×10=0.8 (2)由(1)知该样本数据的中位数m∈(50,60)，则(m-50)×0.04=0.5-(0.1+0.1+0.2), 解得m=52.5,所以该样本数据的中位数为52.5. (3)平均数=25×0.1+35×0.1+45×0.2+55×0.4+65×0.2=50 (4)由频率分布直方图知，该企业管理层中35岁以下的频率约为0.15， 所以该企业管理层中35岁以下的人数约为0.15×300=45. 6■■■■ ■■■■ ■■■■ 2026年衡东县第一中学高一下期末考试 数学·答题卡 姓 6 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 贴条形码区 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 目 珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 单项选择题（每小题5分， 共40分) 1[A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 7[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 氣 二、 多项选择题（每小题6分，共18分） 9 [A][B][C][D] I1[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. (5分) 13 (5分) (5分) 暴 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) A B 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 数学第6页（共6页） 《2026年衡东县第一中学高一下期末考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C C A D B BC ABD 题号 11 答案 ABC 1．B 【详解】解：命题“，”的否定是“，”． 2．A 【详解】集合，即， 又， 所以. 3．D 【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可. 【详解】对于A，因为，，所以，则，共线，故A错误； 对于B，因为，，所以，则，共线，故B错误； 对于C，因为，，所以，则，共线，故C错误； 对于D，因为，，所以，则，不共线，故D正确. 4．C 【详解】由复数在复平面内对应的点为，则. 5．C 【分析】根据圆台的结构特征，利用上下底面半径差、高与母线构成直角三角形的性质，结合勾股定理计算母线长. 【详解】根据圆台的结构性质：圆台的母线长、高、下底面半径与上底面半径的差值构成直角三角形的三边，其中母线为斜边， 由题意可知，，，，故上下底面半径的差值为， 根据勾股定理可得母线长：，故C正确.    6．A 【详解】A选项，了解北京每天的流动人口数，调查范围广，应采用抽样调查，故A正确； B选项，旅客上飞机前的安检，涉及到安全，事关重大，应采用全面调查，故B错误； C选项，了解北京居民“2026年十一假期”期间的出行方式，调查范围广，应采用抽样调查，故C错误； D选项，某火箭军部队要了解某批反舰导弹的性能，由于调查具有破坏性，应采用抽样调查，故D错误． 7．D 【分析】利用直观图与原图之间的面积关系求解即可. 【详解】由直观图可得， 则. 8．B 【详解】可知. 9．BC 【分析】根据样本数据的数字特征求解即可. 【详解】有一组样本数据6，8，5，6，7，10，先对数据从小到大排列可得5,6,6,7,8,10，那么 极差为，A错误； 中位数为，B正确； 平均数为：,C正确； 方差为：，D错误. 10．ABD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 11．ABC 【分析】根据模的坐标表示即可判断A；根据向量夹角的坐标表示即可判断B；根据投影向量的定义即可判断C；根据向量平行的坐标关系可判断D. 【详解】对于A，，，则.所以A正确； 对于B，，则与的夹角为.所以B正确； 对于C，由B可知，，则在方向上的投影向量为.所以C正确； 对于D，，若，也满足，但.所以D错误. 12． 【详解】． 13． 【详解】由题设，数据平均值为， 则方差为. 14． 【分析】直接根据相互独立事件的概率及和事件的概率公式可得. 【详解】因为事件相互独立，所以，且， 所以.​ 根据和事件的概率公式. 因此. 15．(1)/ (2)或 【分析】（1）计算目标向量坐标后用向量夹角公式求夹角； （2）利用向量模长公式列方程求解. 【详解】（1）由向量垂直则两向量点积为0，即， 解得，即，因此，， 代入向量夹角公式得， 又，因此（或）； （2）依题意， 由两边平方得：， ， ，即， 解得或. 16．(1)；； (2) 【分析】（1）直接抽样比计算各层所抽取的样本数可得； （2）直接用古典概型概率公式计算可得. 【详解】（1）因为总样本空间为，抽取个样本，抽样比为. 所以从小学抽取所；从初中抽取所；从高中抽取所； 因此应从小学、初中、高中分别抽取的学校数量为，，. （2）小学的所学校编号为，初中的所学校编号为，高中的所学校编号为， 从中随机抽取所学校，基本事件有：，共种， 其中抽取的所学校均为小学的是：，共种， 所以抽取的所学校均为小学的概率为. 17．(1) (2)28 【分析】（1）先求出圆台的高，再根据体积公式计算即可； （2）由球的体积公式求得，再由表面积公式求解即可. 【详解】（1）设圆台高为， 则． 其体积为． （2）设球的半径为， 由题意， 即， 解得 则其表面积为． 18．(1)证明：∵，，∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面． (2)证明：因为，所以. ∵，∴在中，.∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）略. （2）略. 19．(1) (2) (3)50 (4) 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图求出，进而求出频率. （2）利用频率分布直方图估计中位数. （3）利用频率分布直方图估计平均数. （4）利用频率及频数的关系求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得， 所以该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率为. （2）由（1）知该样本数据的中位数，则， 解得，所以该样本数据的中位数为. （3）平均数=25×0.1+35×0.1+45×0.2+55×0.4+65×0.2=50 （4）由频率分布直方图知，该企业管理层中35岁以下的频率约为， 所以该企业管理层中35岁以下的人数约为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年衡东县第一中学高一下期末考试数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 5．已知圆台的上、下底面的半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（    ） A． B． C． D． 6．下列调查方法的选择中，最合适的是（    ） A．了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查 B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 C．了解北京居民“2026年十一假期”期间的出行方式，采用全面调查 D．某火箭军部队要了解某批反舰导弹的性能，采用全面调查 7．如图，是水平放置的的直观图，，，则原平面图形的面积为（     ） A． B． C．6 D．12 8． 设随机事件，满足，，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一组样本数据6，8，5，6，7，10，则这组数据的（    ） A．极差为4 B．中位数为6.5 C．平均数为7 D．方差为3.5 10．设，则（    ） A． B． C． D． 11．已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量为 D．若向量满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数，则___________． 13．已知一组数据4，6，5，7，4，4，则这组数据的方差为_____． 14．若事件和事件相互独立，且，，则___. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，，，且； (1)求与的夹角； (2)若，求实数k的值； 16．某地区有小学所，初中所，高中所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取所学校对学生进行视力调查． (1)求应从小学、初中、高中分别抽取的学校数量； (2)若从被抽到的所学校中随机抽取所学校做进一步数据分析，求抽取的所学校均为小学的概率． 17．已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为． (1)求其体积； (2)若某球与此圆台体积相同，求此球的表面积． 18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 19．为统计某企业管理层年龄结构，从该企业各部门中随机抽取100人作为样本，得到频率分布直方图如图所示． (1)求该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率； (2)求该样本数据的中位数； (3)求该样本数据的平均数； (4)若该企业管理层共300人，试估计该企业管理层中35岁以下的人数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $