第三章 函数的概念与性质（单元自测·基础卷）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第三章函数的概念与性质单元自测基础卷，通过函数性质、图像分析及实际应用，分层考查数学眼光、思维与语言，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|单调性、奇偶性、定义域|结合几何图形（第5题梯形面积）考查图像分析，体现几何直观| |多选题|3/18|函数性质、和谐区间|以“和谐区间”（第11题）设计创新情境，发展创新意识| |填空题|3/18|幂函数、奇函数|第13题分层设问，考查奇函数性质与参数范围，培养推理能力| |解答题|5/74|单调性证明、实际应用|第17题公司利润模型（二次函数应用）体现模型意识，第16题定义法证明单调性发展推理能力|

第三章 函数的概念与性质（单元自测·基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．下列函数中，在上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A．-9 B．-7 C．-10 D．10 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为R，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 8．已知，，则（    ） A．4048 B．4044 C．2024 D．2026 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．已知函数，则（    ） A．的解集为或 B．为偶函数 C． D．，不等式恒成立 10．已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，则下列叙述正确的是（   ） A．当时， B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为 11．函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 13．已知是R上的奇函数，当时，，则____________；若，，则的取值范围为________． 14．在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为________，最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知集合，集合，集合． (1)求的子集的个数； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围． 16．已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 17．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式； （2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元； （3）求第八个月公司所获得的利润.. 18．已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求的取值范围. 19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，. (1)求的值； (2)设函数. （ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值. （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（单元自测·基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．下列函数中，在上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】对于A，当时，单调递增，也单调递增， 因此在上单调递增，故A错误； 对于B，因为 是开口向下的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，由于 是对勾函数， 则在上单调递减，在上单调递增，故Ｃ错误； 对于D，由于 是幂函数，幂指数， 根据幂函数性质，幂指数为负时，函数在上单调递减，故D正确. 2．已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A．-9 B．-7 C．-10 D．10 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的定义和性质求解计算即可. 【详解】因为当时，， 当时，，此时. 因为为奇函数，所以，所以. 即时. 所以. 故选：C. 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】由抽象函数的定义域列出相应不等式，求解可得函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，所以函数的定义域满足， 解得，所以. 所以函数的定义域为. 故选：B. 4．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 5．如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】图象法表示函数、求分段函数解析式或求函数的值 【详解】由题意，当时，，则， 当时，， 所以，显然只有C满足. 6．已知函数的定义域为R，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】利用函数的对称性及单调性比较大小即可. 【详解】当时，恒成立，则函数在上单调递增， 由函数的定义域为R，且它的图象关于对称，得函数在上单调递减， 因此，所以. 7．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可． 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或. 当时，；当时，. 因为函数在上是单调递增函数，故. 又，所以，所以，则. 故选：A. 8．已知，，则（    ） A．4048 B．4044 C．2024 D．2026 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求函数值 【分析】根据已知条件推出为定值，判断出准确项数，计算即可. 【详解】令，，则，所以. 令，则. 中共有项， 所以原式. 故选：A. 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．已知函数，则（    ） A．的解集为或 B．为偶函数 C． D．，不等式恒成立 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用一元二次不等式的解法即可验证A项，利用偶函数的定义即可验证B项；化简函数，得到函数在单调递减，在单调递增，利用单调性得到即可验证C项；由函数为偶函数和其单调性，将，不等式恒成立，转化为，不等式恒成立，即恒成立即可验证D项. 【详解】对于A项，即，化简得到，解得，故A错误； 对于B项，定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数，故B正确； 对于C项， ， 因为在单调递增，所以在单调递增， 所以函数在单调递减， 因为为偶函数，所以函数在单调递增， 所以，故C正确； 对于D项，因为为偶函数，函数在单调递增，单调递减， 所以要证，不等式恒成立， 等价于，不等式恒成立，即恒成立 因为恒成立， 所以，不等式恒成立，故D正确. 10．已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，则下列叙述正确的是（   ） A．当时， B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】利用奇函数的定义和性质即可判断选项AB，根据判断函数单调性的定义法即可判断选项C，结合基本不等式即可判断选项D. 【详解】对于A，由题意知，是奇函数， 当时，则，所以， 故此时，A错； 对于B，因为是上的奇函数，所以，B正确； 对于C，由上述可知时，， 任取，且， 则 ， 因为， 所以，，， 所以，即， 所以在区间上单调递减，C正确； 对于D，当时，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 11．函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、函数与方程的综合应用、求函数的零点、函数新定义 【分析】根据题意，可知若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”，且，则或，再对各个选项进行运算求解，即可判断该函数是否存在“和谐区间”. 【详解】解：由题得，若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”， 可知，，则或， A：，若，解得：， 所以存在“和谐区间”； B：，若存在和谐区间， 则，故在为增函数， 故，解得：， 所以存在“和谐区间”； C：，若存在和谐区间，则， 若，则，故在上为增函数， 故，得，故无解； 若，则，故在上为增函数， 同上，无解. 所以不存在“和谐区间”； D：，函数在 单调递减， 则 ， 不妨令， 所以存在“和谐区间”； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想. 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合幂函数在上的单调递减性质筛选出符合条件的. 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 13．已知是R上的奇函数，当时，，则____________；若，，则的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据图像判断函数单调性 【分析】根据奇函数的性质得，代入即可求出答案；根据函数的单调性可将不等式化为，根据，得到，根据对勾函数的单调性求出的最小值即可求出答案. 【详解】因为是上的奇函数，当时，， 所以， 易得在上单调递增， 所以可化为， 即， 因为，所以， 函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即， 所以的取值范围为. 14．在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为________，最小值为________． 【答案】 4 3 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】根据基本不等式求的最小值，再结合二次函数性质求结论. 【详解】，当且仅当时取等号， 因此，即也在处取得最小值， 所以，解得，即， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知集合，集合，集合． (1)求的子集的个数； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)16 (2) 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据全称命题的真假求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）先求出集合,利用补集和交集运算可得答案； （2）由题意得出，分两种情况讨论可求答案. 【详解】（1）由可得，即，所以或， 因为，所以， 所以的子集的个数为. （2）因为命题“，都有”是真命题，所以; 当时，，即，符合题意； 当时，，解得；综上可得实数m的取值范围是. 16．已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，，为偶函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3). 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）将点与代入计算即可得a，b的值，再利用奇偶性定义即可证明的奇偶性； （2）令，再利用函数单调性定义证明即可得； （3）利用函数单调性及其奇偶性，可得，解出即可得. 【详解】（1）由题意可得，解得，故， 为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故为偶函数； （2）在上单调递减，理由如下： 令，则 ， 由，则，，故， 故在上单调递减； （3）由为偶函数且在上单调递减， 则由可得， 即有，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. 17．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式； （2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元； （3）求第八个月公司所获得的利润. 【答案】（1）；（2）第十个月；（3）利润为万元. 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）设与的函数关系式为，将、、三点坐标代入函数解析式，可得出关于、、的三元一次方程组，解出这三个未知数的值，由可得出与的函数关系式； （2）解方程，即可得出结论； （3）将和分别代入函数解析式，将所得结果相减可得出第八个月公司所获得的利润. 【详解】（1）设与的函数关系式为. 由题中函数图象过点、、，得，解得， 因此，所求函数关系式为； （2）把代入，得，整理得， ，解得， 因此，截止到第十个月末公司累积利润可达到万元； （3）第八个月公司所获得的利润为（万元）. 因此，第八个月公司所获得的利润为万元. 【点睛】本题考查二次函数模型的实际应用，求解函数解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 18．已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)函数在上为减函数，证明如下： 由函数是定义在上的偶函数，得， 则，即对任意的恒成立，解得， 函数，由，得，解得， 函数， 任取，且，则， 则 ，即， 所以函数在上为减函数. (2). 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据给定条件，结合偶函数性质，利用待定系数法求出解析式，再利用单调函数的定义推理得证. （2）利用偶函数、减函数的性质去掉对应法则“f”，再解一元二次不等式即得. 【详解】（1）略 （2）由函数为上的偶函数，且该函数在上为减函数， 得，则， 即，因此，解得或， 所以原不等式的解集为. 19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，. (1)求的值； (2)设函数. （ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值. （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)4 (2)（ⅰ）（ⅱ） 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】（1）根据所给函数的性质，赋值即可得解； （1）（ⅰ）由题意由为奇函数即可得解； （ⅱ）证明的单调性，求出值域，由题意转化为，再由 的对称性转化为，分类讨论求的值域，满足上述条件建立不等式求解即可. 【详解】（1）因为定义在上函数的图象关于点对称， 所以为奇函数， ∴，得， 则令，得. （2）（ⅰ）因为函数的图象关于点对称， 所以为奇函数， 所以 为奇函数， 所以，解得. （ⅱ）先证明在上单调递增， 设任意的，且， 则 ， 由可知，，， 所以，即在上单调递增； ∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为， 对任意，总存在，使得成立知， 由的图象关于点对称，所以只需 ①当时，在上单调递增，由对称性知， 在上单调递增，∴在上单调递增， 只需即可，得，∴满足题意； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，， 即，， ∴满足题意； ③当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减， ∴在上单调递减， 只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $