河南青铜鸣联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题（人教B版)

秘密★启用前 普通高中2025一2026学年（下）高一年级期末考试 数学（人教B卷） 注意事项： Q 1,答卷前，考生务必将自已的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 Q 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 装 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知平面向量a=(t,一2)，b=(1,5),且a∥仍，则ts= A.2 1 B. c- D.-2 2.样本数据2.9,3.5,3.8,4.0,4.2,4.5,4.8,5.0的60%分位数为 订 A.4.0 B.4.1 C.4.2 D.4.5 1-ai 3.若复数z= 2-3i a∈R)为纯虚数，则a= A.- B号 C. 4.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F满足C京=2FD,则AE+B京= B号A店+分A 线 C-号A+而 D.号A店+A币 5.已知aB是两个相交平面，有下列四个命题：①存在直线与a,B都平行；②存在直线与 a,8都垂直；③存在平面与a,β都平行；④存在平面与a,8都垂直.其中正确的命题为 A.①④ B.②③ C.②④ D.①③ 6.同时投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A=“两骰子向上面的点数之积为偶数”，B= “两骰子向上面的点数之积为奇数”，C=“两骰子向上面的点数之和为偶数”，D=“两 骰子向上面的点数一个为奇数一个为偶数”，则下列各组事件中互斥但不互为对立事件 的是 ! A.A与B B.A与C C.B与D D.C与D 数学（人教B卷）试题第1页（共4页） 7.已知高一(2)班有50名学生，调查他们的体重（单位：kg),得到该班男生体重的平均值 为55，方差为26：女生体重的平均值为50，方差为6，所有学生体重的方差为20，则该班 的女生人数为 A.30 B.25 C.20 8,将m=MN绕其起点M逆时针旋转角a(a>0)得到n,记作n=m·已知a=(-1, D.15 3),且b=a:c=ad|=23,若(b+c)L(d-c),则d在b+c上的投影向量为 A.(3,3) c(--》 D.(-√5，-3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数之1在复平面内对应的点为Z1(-1,1),复数z2满足(1-2)(1-i)=2,则 A.z1=-1-i B.z2=i C.z1|2=2|z212 D.z径026=-1 10.如图，下列各正方体中，A,B,C,D分别为所在棱的中点，则满足直线AB与直线CD 的夹角为60°的有 A 11.已知甲、乙、丙三个医学科研团队独立攻关某一医学难题，若甲没有攻克而乙攻克的概 率为日，丙攻克的概率为行，且该医学难题被攻克的概率为号，则 A.甲攻克的概率为4 B.甲或乙攻克的概率为2 C.恰有两个团队攻克的概率小于甲或乙攻克的概率 7 D.至多有一个团队攻克的概率为 数学（人教B卷）试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数z满足z一2z=2-3i,则之的虚部为 13.已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，若该圆台的外接球的表面积为40π，且外接 球球心在圆台的两底面之间，则该圆台的体积为 14.已知O为△ABC的外心，若C0=2CB+3CA,则sin∠ACB= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，已知正三棱柱ABC-A,B,C,的所有棱长均相等，D,E,M,N分别为线段 AA1,BB1,AB,CC1的中点. (1)证明：MN∥平面C,DE; (2)求平面ABC与平面C,DE所成的锐二面角的大小. 16.(15分) 已知平面向量a,b满足|a|=2,a·(a十b)=2,<a,a十b>=交 (1)求a+b|; (2)若|a一tb|=23,求实数t的值. 17.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin2A+asin B=0. (1)求A; (2)若a=2,求边BC上的高h的最大值； (3)若b=2,c=3,线段BC上的点D满足BD=2CD,求tan∠BAD的值. 18.(17分) 某校积极开展教改活动，将20个水平相近的教学班（每班学生数均相等）分成两组，其 中10个班采用全新的教学法，称之为实验班，另外10个班采用原来的教学法，称之为 非实验班.通过一个学期的教学实验，为检验新教改的效果，统计了这20个班的数学 数学（人教B卷）试题第3页（共4页） 期末成绩（满分150分），成绩均在[70,150]内，按[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100， 110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分组，作出如下频率分布直方图： 个频率/组距 个频率组距 0.02 0.024---- 0.020 0.016 0.016 0.012 0.008 0.004 88 0V708090100110120130140150数学成绩/分 0V708090100110120130140150数学成绩/分 装 非实验班 实验班 (1)设非实验班、实验班数学平均分分别为x1,x2(同一组数据以该组所在区间的中间 值作代表)，若x1一x2|>5,则认为非实验班与实验班数学成绩有明显差异，否则，认 为非实验班与实验班数学成绩无明显差异.请通过计算说明非实验班与实验班数学成 绩是否有明显差异； (2)从实验班数学成绩在区间[80,90)，[90,100)，[140,150]内的学生中，按区间采用 比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人 中至少2人的数学成绩在区间[90,100)的概率； (3)若以频率估计概率，从非实验班、实验班各随机抽取一名学生的数学成绩，记事件 订 A1表示“抽取的两学生的数学成绩均低于120分”，事件A2表示“抽取的两学生中仅 有一人的数学成绩不低于90分”，证明：事件A1,A2不相互独立. 注意清点有无漏印或缺页，若有要及时更换 19.(17分) 如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面BCEF,AD= PC-CD-AB-1.ABLBF.8DLAD.AF/DF.BAF-2DE- 4,DF=√15. (1)证明：平面ABCD⊥平面BDF; (2)证明：五面体ABCDEF为三棱台； (3)线段AE上是否存在点M,使得直线BM与平面BCEF所成的角 D 为457若存在，求0的值，若不存在，请说明理由。 数学（人教B卷）试题第4页（共4页）普通高中2025一2026学年（下）高一年级期末考试 数学（人教B卷）参考答案 1.D【解析】因为a/∥仍，所以ts一（一2）×1=0，则ts=一2. 故选D 2.C【解析】因为8×60%=4.8，所以该组数据的60%分位数为4.2. 故选C. 1-ai1-ai)(2+3D_2+3a+32ai(a∈R)为纯虚数，所以 2+3a=0, 3.B【解析】因为复数之=2-31 13 13 13 13 解得 3-2a (13≠0， 3 故选B. 4.D【解析】因为E为BC的中点，所以A花-A店+BE-A店+2BC-A+2A心， 因为点F满足C京=2F市，所以B京=BC+C京=BC+子C市-A市-子A成， 所以A正+B萨-}A店+A心. 故选D. 5.A【解析】若直线1在a,3外，且1与a,3的交线平行，则1与α，3都平行，所以①正确； 若一条直线与a,B都垂直，则a∥B,a,B不可能相交，所以②错误； 若一平面与a,B都平行，则aB,a,B不可能相交，所以③错误； 若a∩=l,则必存在平面Y,使得l⊥y,此时平面y与a,β都垂直，所以④正确. 故选A. 6.C【解析】实验的样本空间2=“两骰子向上面的点数之积为奇数或偶数”，因为A∩B-⑦，且AUB=2, 所以A与B互为对立事件； 因为事件A与C可能同时发生，例如两骰子向上面的点数分别为2和2，所以A与C不为互斥事件； 因为B=“两骰子向上面的点数之积为奇数”=“两骰子向上面的点数都是奇数”，所以B与D是互斥但不互 为对立事件； 因为C=“两骰子向上面的点数之和为偶数”=“两骰子向上面的点数都是奇数或都是偶数”，所以C与D互 为对立事件. 故选C 7.A【解析】设该班所有学生体重的平均值与方差分别为x,s2,男生体重的平均值与方差分别为x1,s, 女生体重的平均值与方差分别为x2,s?,该班女生人数所占比例为p,则男生人数所占比例为1一p, 所以x=(1-p)x1十px2=55-5p, 又s2=(1-p)[s+(x1-x)2]+[s号+(x2-x)2],则20=(1-p)[26+(5p)2]+p[6+(-5+5p)2], 整理得25p-5力一6=0，解得力=（负值含去），所以该班的女生人数为50×号-30， 故选A. 8.C【解析】在平面直角坐标系x0中，作Oi=a,则A(-1,v),Oi=2,易知角的终边在有向线段 OA所在的射线上（角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合），将Oi绕其起点0逆时针旋转 ·数学（人教B卷）答案（第1页，共6页）· 得到OB,易知B(-√3，一1)，所以OB=(-√3，一1)，即b=(-√3，-1)，同理得c=OC=(0,-2). yA 所以b+c=(-√3，-3)， 因为(b十c)⊥(d-c),所以(b+c)·d=(b+c)·c=6, 所以a在+c上的授能有整为6中P.6e0+e)=(--》 故选C. 9.ACD【解析】由题意可知，之1=一1十i,所以之1=一1一i,A正确； 由1-1-D=2得1-=名-20 2=1+i,所以x2=一i,B错误； 1x1|2=(-1)2+12=2,2x2|2=2X1=2,所以x1|2=2|之22，C正确； 之名26=（-i)2026=2026=i4X506+2=2=-1,D正确。 故选ACD. 10.AB【解析】对于A,如图1，连接AB,CD所在正方形的对角线EF,EM,则AB∥EF,CD∥EM,所以 ∠MEF或其补角为直线AB与直线CD的夹角，连接MF,易知△EFM为等边三角形，因此∠MEF=60°， 故A符合题意； H E D M 图1 图2 图3 图4 对于B,如图2，连接正方形的对角线EF,EM,易知四边形ABFE为平行四边形，则AB∥EF,又CD∥EM, 所以∠MEF或其补角为直线AB与直线CD的夹角，连接MF,易知△EFM为等边三角形，因此∠MEF= 60°，故B符合题意； 对于C,如图3，连接AB所在正方形的对角线EF,则AB∥EF,连接CD所在正方形的对角线MN,GH,则 MN∥CD,易证四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH,所以ABGH,所以直线AB与直线CD的夹角 就是直线GH与直线MN的夹角，又GH⊥MN,所以直线AB与直线CD的夹角为90°，故C不符合题意； 对于D,如图4，过A作所对棱的垂线，垂足为E,则E为所在棱的中点，取AE的中点F,设点D所在棱的 一个端点为M,连接CF,FM,易得四边形ABMF与CDMF均为平行四边形，则AB∥MF,CD∥MF,所以 AB∥CD,所以直线AB与直线CD的夹角为0°，故D不符合题意. 故选AB. 1.BCD【解折I设A,BC分别表示事件甲，乙，丙攻克医学难题，则1-P(A)]P(B)=言P(C)=号 3 1-[1-PA][1-P(B)]X-)-=号解得P(A)=3,P(B)=,A错误 ·数学（人教B卷）答案（第2页，共6页）· PAUB)-PA)十P(B)-PAB)-号+是-号×专所以甲或乙攻克的概率为号：B正确， P(ABC+ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) =日××1-)+号×-)×g+1-》××g0<日C正确： 三个团队都没攻克的概率为p1=1一3=3， 21 哈有一个团队攻克的概率为p,=。一36P(ABC)三2-2-1 147 根据互斥事件的概率加法公式可知，至多有一个团队攻克的概率为p1十p,=3十9=9D正确. 故选BCD. 12.-】【解析】设2=a+bi(a,b∈R),则x=a-bi,由x-22=2-3i,得-a十3bi=2-3i,则a=2, 3b=-3, 都阳公一子板：的意名为一1 18.5”【解析】设圆台的商为k,圆台的外接球的半径为R,由题意可，4nR=40x,解得R=D。 设外接球球心O到圆台上、下底面的距离分别为d1,d2,则d1=√R-1=3,d2=√R2一9=1， 因为球心O在圆台的两底面之间，所以圆台的高为h=d,十d2=4, 所以圆台的体积V=号x×4×1+1×3+39)-5 14 【解析】由C0=2C3+3CA,得 CO.CB=2CB*+3CA.CB, cò.CA=2cB.CA+3CA, }c=2+3Ci1icos∠ACB, 21=3Ci1ios∠AcB, 即〈 CCWACB+ICACACB, 两式相乘，得6C1C2os∠ACB=51Ci1C, 所以eo∠ACB=号则sin∠ACB-1-cos∠ACB=,又0<∠ACB<,故n∠ACB-5, 4 15.解：(1)证明：取DE的中点F,连接MF,C1F, DY R 因为D,E分别为AA1,BB1的中点，所以四边形ABED为矩形， 因为M为AB的中点，所以四边形AMFD为矩形，所以MF∥AD,MF= 2AA1, ·数学（人教B卷）答案（第3页，共6页）· 又N为C,的中点，所以CN/AA1,CN=CC,=AA, 所以MF∥CN,且MF=C1N, 所以四边形MNC1F为平行四边形，则MNC1F, (5分) 又MN中平面C1DE,C1FC平面C1DE,故MN∥平面C1DE. (6分) (2)延长C1D,CA交于点G,延长C1E,CB交于点H,连接GH,则GH为平面ABC与平面C1DE的交线. 设正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，在△GCC1中，DA为中位线，则CG=2,所以C1G=√5. 同理，CH=2,C1H=√5，所以CG=CH,C1G=C1H, 取GH的中点K,连接CK,C1K,则CK⊥GH,CK⊥GH,所以∠CKC1为平面ABC与平面C1DE所成 锐二面角的平面角。 (10分) 易得AB为△CGH的中位线，所以GH=2,则CK=√3， 在Rt△C,CK中，tan∠CKC,=CK=5=3,所以∠CKC=6, 故平面ABC与平面CDE所成的锐二面角的大小为吾， (13分) 16解：1询<aa-6>-号得oaa+6>-0》-宁 (3分) 又|a=2,a·(a+b)=2,所以a+b|=2. (6分) (2)由a·(a+b)=2,得a2+a·b=2,即4十a·b=2,解得a·b=-2, (8分) 由|a+b|=2两边平方，得a2+2a·b+b2=4,即4十2×(-2)+b=4,解得|b|=2. (10分) 因为a-tb|=2√3，所以等式两边平方，得a2-2ta·b十tb2=12,即t2+t-2=0, (13分) 解得t=1或t=-2. (15分) 17.解：(1)由正弦定理，得sin Bsin2A十sin Asin B=0, (1分) 所以2 sin Bsin Acos A+sin Asin B=0, (2分) 又sin Asin B≠0，则cosA=-号， (3分) 又A∈(0，x),故A=3 2π (4分) (2)由Sa4e=Zah=2 esinA,得h-& 1 4 bc, (5分) 由a=2与余孩定理，得4=6十。2十6c≥36c,所以6c≤号，当且仅当6=c时，等号成立， (7分) 所以h=5c≤3×4V3 4bc≤4X3=3' 故么的设大值为停 (9分) (3)设∠BAD=0,则∠CAD=2 30, BD 在△ABD中，由正弦定理，得n/ADB sin月所以Sim∠ADB=3sIn日 BD (10分) 在△ACD中，由正弦定理，得sinZADC b CD 2sn-） 、,所以sin∠ADC= CD (11分) 又im∠ADB=sin∠ADC,BD=2CD,所以2sn0=2sin(g-小， (13分) ·数学（人教B卷）答案（第4页，共6页）· 则sin0=3cos0+sin0, 所以tan0=2√3，故tan∠BAD=2√3. (15分) 18.解：(1)非实验班数学平均分x1的近似值为 0.08×(75+125+135)+0.12×85+0.16×95+0.24×105+0.2×115+0.04×145=106.2, (2分) 实验班数学平均分x2的近似值为 0.02×75+0.08×85+0.12×95+0.24×(105+115)+0.16×125+0.1×135+0.04×145=111.8,(4分) 因为|x1-x2=|106.2-111.8|=5.6>5, 所以非实验班与实验班数学成绩有明显差异， (5分) (2)因为实验班数学成绩在区间[80,90)，[90,100)，[140,150]内的学生人数之比为2：3：1，所以从区间 [80,90),[90,100),[140,150]内抽取的学生人数分别为2,3,1.记数学成绩在区间[80,90)的2人为a1, a2,在区间[90,100)的3人为b1,b2,b3,在区间[140,150]的1人为c. (6分) 从这6人中随机抽取3人的样本空间2={a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2c,a1b1b2,a1b1b3,a1b1c,a1b2b3, a1b2c,a1b3c,a2b1b2,a2b1b3,a2b1c,a2b2b3,a2b2c,a2b3c,b1b2b3,b1b2c,b1b3c,b2b3c},共有20个样本点 (8分) 用事件A表示“抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间[90,100)”，则 A={a1b1b2,a1b1b3,a1b2b3,a2b1b2,a2b1b3,a2b2b3,b1b2b3,b1b2c,b1b3c,b2b3c},有10个样本点，(10分) 放PA)-8 (11分) (3)证明：从非实验班随机抽取一名学生，该生数学成绩低于120分的概率为0.8，低于90分的概率为0.2； 从实验班随机抽取一名学生，该生数学成绩低于120分的概率为0.7，低于90分的概率为0.1. P(A1)=0.8×0.7=0.56, (12分) P(A2)=0.2×(1-0.1)+(1-0.2)×0.1=0.26, (13分) 所以P(A1)P(A2)=0.1456, 又P(A1A2)=(0.8-0.2)×0.1+0.2×(0.7-0.1)=0.18, (14分) 显然P(A1)P(A2)≠P(A1A1), (16分) 故事件A1,A2不相互独立， (17分) 19.解：(1)证明：在△ABD中，BD⊥AD,AD=1,AB=2,所以BD=√JAB2-AD=√3， (1分) 在△ABF中，AB⊥BF,AB=2,AF=4,所以BF=√AF2-AB2=2√3， 又DF=√I5,所以DF2=BD2+BF2,所以BF⊥BD, (2分) 又AB⊥BF,且AB∩BD=B,所以BF⊥平面ABCD, (3分) 又BFC平面BDF,所以平面ABCD⊥平面BDF. (4分) ②)证明：在R△MBD中，n∠ABD-铝-号则∠ABD=30, 在△BCD中，由余孩定理，得cos∠BCD-BCCD CTD=-,则∠BCD-120, 2BC·CD (5分) 又BC=CD,所以∠CDB=∠CBD=30°，则∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°， 因为∠BCD+∠ABC=120°+60°=180°，所以AB∥CD, (6分) 因为AB中平面CDE,CDC平面CDE,所以AB∥平面CDE, 因为AF∥DE,且AF丈平面CDE,DEC平面CDE,所以AF∥平面CDE, 又AB∩AF=A,AB,AFC平面BAF,故平面BAF∥平面CDE. (8分) 延长射线BC,AD交于点G, ·数学（人教B卷）答案（第5页，共6页）· G 因为G∈BC,BCC平面BCEF,所以G∈平面BCEF, 因为AF∥DE,所以A,D,E,F四点共面，同理，G∈平面ADEF, 又平面BCEF∩平面ADEF=EF,所以G∈EF, 所以直线CB,DA,EF交于点G,所以G-CDE为三棱锥， (9分) 故五面体ABCDEF为三棱台. (10分) (3)连接AC,易求AC=√3，所以AC2+BC=AB2,则AC⊥BC 因为平面ABCD⊥平面BCEF,平面ABCD∩平面BCEF=BC,且ACC平面ABCD, 所以AC⊥平面BCEF, (11分) 在△ACE中，过M作MH∥AC,与CE交于点H, 所以MH⊥平面BCEF, 连接BH,所以∠MBH为直线BM与平面BCEF所成的角，即∠MBH=45°. (12分) 设，由三角形相似可知，MH=·AC3,EH=1·5C=1·F=3,则CH=31三 2 由(2)可知，BF∥CE,又BF⊥平面ABCD,所以CE⊥平面ABCD,则CE⊥BC, 所以BH=√CH+BC2=√3(1-t)+1, 在Rt△BMH中，因为∠MBH=45°，所以MH=BH,即MH=BH, 所以3t2=3(1-t)2+1, (15分) 等得=子， 故线段AE上存在点M,使得直线BM与平面BCEF所成的角为45”，且AM- AE=1-t= 3 (17分) ·数学（人教B卷）答案（第6页，共6页）·