福建漳州市华安县第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年下学期期末考高二数学答案 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由求导得：，则. 2．对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对四个散点图分析： 对选项A：散点明显呈上升趋势，且非常接近一条直线，因此样本数据有较强的相关关系且； 对选项B：散点呈下降趋势，且比较接近一条直线，所以，一定有​； 对选项C、D：散点分布非常分散，线性相关性极弱，​都接近，都小于. 因此相关系数最大的是. 3．已知向量，则等于（    ） A．2 B．1 C．－1 D．0 【答案】A 【详解】，故选项A正确. 4．已知事件A，B满足，，，若A与B相互独立，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 【答案】D 【详解】当A与B相互独立，可知也相互独立，则 5．已知曲线在点处的切线为，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又切线方程为： 所以，解得 6．若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，求导得. 函数在区间上存在减区间，等价于在内有解， 即在上有解.当时，， 故，即实数的取值范围是. 7．某知识题库中有三种难度的题目，数量分别为600，400，200.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 又设小明答对试题为事件，则由已知得：，，， 由全概率公式得：. 8．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（    ） A．存在点E，使平面 B．存在点E，使平面 C．三棱锥的体积随动点E变化而变化 D．直线与所成的角不可能等于 【答案】B 【详解】在正方体中，以点D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 由在线段上运动，设（），则，平面的法向量，显然，则直线与平面不平行，A错误； 设平面的法向量为，， 则，令，得，当时，，因此平面，B正确； ，设直线与所成角为，则， 显然当时，，，即存在点E使得直线与所成的角为， C错误； 点在正方体的对角面矩形的边上，则，而平面平面，则，又，可得平面，点到平面的距离为，则三棱锥的体积为定值，D错误.故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费（单位：万元）与销售利润（单位：万元）之间的关系，由收集的数据，计算得出线性回归方程为．已知投入的广告费，销售利润，则（   ） A．线性回归方程过点 B． C．与呈正相关 D．当投入的广告费为6万元时，销售利润一定为10.4万元 【答案】ABC 【详解】由回归直线的性质可知A正确，把点代入到，得，故B正确，，与呈正相关，故C正确， 当投入的广告费为6万元时，销售利润估计为10.4万元，故D错误. 10．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A选项，由可得，所以A选项正确； B选项，由可得，所以B选项错误； C选项，利用正态曲线的对称性可知，， 故 ，所以C选项正确； D选项，利用正态曲线的对称性可知，， 而，故，所以D选项错误. 11．如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．当时，点的轨迹长度为 C．存在唯一，使 D．若，则三棱锥外接球的半径为 【答案】BCD 【详解】选项A：作关于平面的对称点， 则， 所以的最小值为，故A项错误； 选项B：以为原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设，则由得即点的轨迹是的中位线，长度为，故B项正确； 选项C：以为原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设，则， 所以， 所以，即为的中点，故C项正确； 选项D：因为，，所以三棱锥外接球的直径为， 又，所以外接球的半径为，故D项正确． 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．若函数在处有极值，则实数________． 【答案】 【详解】因为，，在处有极值， 所以，所以，解得． 经检验时，，当或时，；当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，函数在处有极大值，满足题意．故答案为：. 13．已知事件A和B满足，，，则__________． 【答案】 【详解】由，得 . 所以. 14．跑步是不少中学生锻炼身体的运动方式之一，学校作了一次调查，已知被调查的女生人数是被调查的男生人数的，热爱跑步的男生人数占男生人数的 ，热爱跑步的女生人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生热爱跑步与性别有关，则男生至少有_____人. 附： ， 其中， . 【答案】30 【详解】设男生人数为x，由题意得列联表如下； 热爱跑步 不热爱跑步 合计 男生 x 女生 合计 计算 解得 又，所以 ， 即根据 的独立性检验，认为中学生热爱跑步与性别有关，所以男生至少有30人. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分） 已知函数. (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若 恒成立，求a的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 设点的坐标，由题意得：， 解得：， ―――――――――――4分 所以，因此点的坐标为.―――6分 （2），令，―――8分 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以，――――――12分 即：a的取值范围是.―――――――――――――13分 16．（本小题15分） 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【详解】（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面， ――――――――4分 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面.――――7分 （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，――――――――――――9分 设平面的法向量为， 因， 则，即令， 则， 设平面的法向量为，――――――――――12分 所以， 所以所求二面角的余弦值为．――――――――――――15分 17．（本小题15分） 某商场推出消费抽奖活动，顾客到店消费100元及以上，可参加一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有15张形状大小完全相同的卡片（5张红卡，10张黑卡）的抽奖箱中，一次取出1张卡片，若取到红卡，则享受8折优惠，否则不享受优惠.若某时间段内有5位消费者参加抽奖，且每位消费者抽奖结果互不影响. (1)求该时间段内恰好有2位消费者获得8折优惠的概率； (2)该时间段内的这5位消费者每人通过抽奖，若他获得8折优惠，则售货员可获得3元奖金，求售货员获得奖金金额的数学期望和方差. 【详解】（1）解：由题意可知，消费者抽奖获得8折优惠的概率为，且且每位消费者抽奖结果相互独立，设该时间段内获得8折优惠的消费者的人数为X，则， 则该时间段内恰好有2位消费者获得8折优惠的概率为.――――――――――――7分 （2）解：由（1）知：随机变量，――――――8分 所以X的数学期望， X的方差.―――――――――12分 记售货员获得奖金金额为Y，则Y=3X, ,――――――15分 18．（本小题17分） 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以，――――――――――――3分 在中，，因为， 所以，――――――――――――――5分 又因为，且平面， 所以平面.―――――――――――――7分 （2） 如图，过点作， 因为平面平面，所以，所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立 空间直角坐标系， ，，―――――――9分 ， 设，因此的坐标为，所以.――――――――――――――11分 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得（舍去），――――15分 因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为.－――17分 19．（本小题17分） 已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若，为的两个极值点，求的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域，， 令得，.―――――――――――――2分 当时，令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，当且仅当时取等号， 此时在上单调递增. 当时，令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减.―――――7分 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减.――――8分 （2），定义域为， ，――――――――9分 因为和是的两个极值点，所以方程有两个不同的正实根和， 即方程有两个不同的正实根和， 则，解得.―――――――――――11分 ， ， 将和代入上式得， ，―――――――――13分 令，则， 由得，，即，所以在上单调递减， 当时，，得， 当时，，得的范围为， 即的取值范围为.―――――――――――17分 试卷第10页，共12页 试卷第9页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年下学期期末考高二数学试卷 (考试时间：120分钟总分：150分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。) 1.已知f(x)=nx,则f(3)=（) A.3 C.e2 D.In3 2.对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是() A. D 24-2024x 024 :相关系数 图二：相关系数： 图三：相关系数乃 图三：相关系数4 3.已知向量a=1,1,0),b=(0,2,1),则a.b等于（) A.2 B.1 C.-1 D.0 4.已知事件A,B满足P(A)=0.2,P(B)=0.7,,若A与B相互独立，则P(AB)= () A.0 B.0.1 C.0.14 D.0.24 5.己知曲线y=x+alnx在点(1,1)处的切线为3x-2y-1=0,则a=() B.1 1 A.2 C.2 D.-3 6.若函数f)=m-hx在区间(5,2)上存在减区间，则实数a的范围是（） A.(-0,2] 1 C.-0,2 D.(-0,2) 7.某知识题库中有三种难度的题目，数量分别为600,400,200.已知小明做对 48,℃型题目的概率分别为，}，号，若小明从该题库中任选一道题作答，则 他做对该题的概率为（) A B. c. 2 D. 7 试卷第1页，共4页 8.如图，已知正方体ABCD-AB,CD中，F为线段BC的中点，E为线段AG上的 动点，则下列四个结论正确的是（ D A.存在点E,使EF/I平面ABCD B B.存在点E,使EF⊥平面AB,C1D C.三棱锥B-ACE的体积随动点E变化而变化 D.直线EF与AD所成的角不可能等于30° 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的 得0分) 9.某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费x(单位： 万元)与销售利润y(单位：万元)之间的关系，由收集的数据，计算得出线性 回归方程为y=2+bx.已知投入的广告费x=5,销售利润y=9,则() A.线性回归方程过点(5,9) B.b=1.4 C.x与y呈正相关 D.当投入的广告费为6万元时，销售利润一定为10.4万元 10.已知X~N(u,o2),则（) A.E(X)=4 B.D(X)= C.P(X≤+o)+P(X≤-o)=1 D.P(X≥+2o)>P(X≤-o) 11.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB1BC,AB=BC=AA=1,F是棱CC的 中点，P在底面ABC1内（包括边界），则下列说法正确的是( A P A.PA+PP的最小值为6+E B 2 B.当APLB,F时，点P的轨迹长度为子 C.存在唯一P,使PA⊥PF D.若P11PP,则三棱锥P-ABF外接球的半径为】 试卷第2页，共4页 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。) 12.若函数f)=-a心在x=-2处有极值，则实数a= 13.己知事件A和B满足P(A)-3,P(B)-3,P(BA)=1,则P(4B) 14.跑步是不少中学生锻炼身体的运动方式之一，学校作了一次调查，已知被 调查的女生人数是被调查的男生人数的】，热爱跑步的男生人数占男生人数的 },热爱跑步的女生人数占女生人数的子，若根据a=005的独立性检验，认为 中学生热爱跑步与性别有关，则男生至少有人 n(ad-be) 附：X-a+bc+a+eb+d' 其中n=a+b+c+d,P(x223.841)≈0.05. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 15.（本小题13分)已知函数f(x)=(x+1)e-a. (1)当a=0时，若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，求点P的坐标； (2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 16.（本小题15分)在正三棱柱ABC-AB,C1中，已知AB=2,A4=1,D,E,D,E分别 是棱AC,BC,4C1,B,C1的中点， D (1)证明：平面CDE/I平面ABE,D; E (2)求二面角C-DE-C的余弦值. B D B 试卷第3页，共4页 17.(本小题15分)某商场推出消费抽奖活动，顾客到店消费100元及以上， 可参加一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有15张形状大小完全相同的卡片（5 张红卡，10张黑卡)的抽奖箱中，一次取出1张卡片，若取到红卡，则享受8 折优惠，否则不享受优惠.若某时间段内有5位消费者参加抽奖，且每位消费者 抽奖结果互不影响， (1)求该时间段内恰好有2位消费者获得8折优惠的概率； (2)该时间段内的这5位消费者每人通过抽奖，若他获得8折优惠，则售货员可 获得3元奖金，求售货员获得奖金金额的数学期望和方差， 18.（本小题17分) 如图，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是边长为2的正方形，平面ABC⊥平 面ABED,BC=L,AC=√3 (1)证明：AC⊥平面EBC; (2)线段CD上是否存在一点P,使得直线BP与平面ABC所成 角的正这值为？苦存在，求出的值：若不存在，说 明理由. 19.(本小题17分)已知函数f()-+血x-(a+)x. (1)当a>0时，讨论f(x)的单调性； (2)设8(x)=f(x)+,若，x2为8(x)的两个极值点，求8()+8(x)的取值范 围 试卷第4页，共4页