福建省华安县第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学模拟试卷

高二数学期末模拟试卷 一、单选题（每题5分） 1．已知，且（    ） A．B B． C． D． 2．已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．“”是“方程为双曲线方程”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是（参考数据：，）（      ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 7．已知a，b为正实数，向量=（a，a-4）向量=（b，1-b）若，则a+b的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 8．已知为正项数列的前n项和，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分） 9．某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如下表所示： 广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2 根据表中的数据可得回归直线方程，，以下说法正确的是（    ） A．第三个样本点对应的残差 B．在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中 C．销售量的多少有是由广告支出费用引起的 D．用该回归方程可以比较准确地预测广告费用为20万元时的销售量 10．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．在上的投影向量是 B． C．向量与向量的夹角为 D． 11．已知，满足，满足此等式，的取值范围分别为集合，，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题（每题5分） 12．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成 种重卦．（用数字作答） 13．已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为 ；的取值范围为 ． 14．已知双曲线的实轴长为8，右焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为 . 四、解答题 15（13分）．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求B的大小； (2)若，求△ABC的面积. (3)已知，且α为锐角，求的值. 16（15分）．已知函数. （1）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 17（15分）．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，． （1）求证：平面； （2）若，点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 18（17分）．如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径AB为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上． (1)求直线和平面所成角的大小的正切值； (2)求该几何体的表面积． 19（17分）．已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)设，若存在，且，使得，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高二数学期末模拟试卷》参考答案 1．D【详解】由可得. 故选：D. 2．C【详解】由题意知，， ∴曲线在处的切线的斜率为， ∴曲线在处的切线方程为，且. 故选：C． 3．C【详解】因为方程为双曲线方程，所以， 所以“”是“方程为双曲线方程”的充要条件. 故选：C. 4．C在圆锥中，设底面半径为 圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形 ∴ 解得： 由几何知识得 圆锥的高： ∴圆锥体积： 故选：C. 5．C【详解】，，，即， 又，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为.故选：C. 6．D 【详解】设从2018年起，再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件 根据题意，得 即， 两边取对数，可得， 所以6.03， 又n为整数，则n的最小值为7 又2018+7=2025 所以从2025年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件 故选：D 7．D 【分析】根据即可得出a（1﹣b）﹣b（a﹣4）＝0，整理即可得出，并且a，b都是正数，从而，根据基本不等式即可得出，从而得出a+b的最小值． 【详解】∵；∴a（1-b）-b（a-4）=0；∴a+4b=2ab； ∴，且a，b为正实数；∴ ， 当且仅当时取“=”；∴a+b的最小值为． 故选D． 8．C 【详解】解：当时，，所以， 又因为数列是正项数列，所以，所以，即， 又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以， 故选：C. 9．AC 【详解】由题意得，将之代入回归方程中得，得，故回归直线方程为，所以，A正确； 由于，所以该回归模型拟合的效果比较好，故对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的带状区域中，B错误； 在线性回归模型中表示解释变量对于预报变量的贡献率，R2≈0.96，则销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的，C正确； 由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，而广告费用20万元远大于表格中广告费用值，故用该回归方程不能准确地预测广告费用为20万元时的销售量，故D错误． 故选：AC． 10．BD 【分析】先利用向量垂直坐标表示验证选项D，选项B利用平面向量模的公式计算即可，选项C利用向量夹角的坐标表示求解即可；选项A利用向量坐标求解投影向量即可. 【详解】对于D，因为，所以， 所以，故D正确； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以， 又，则，故C错误； 对于A，在方向上的投影向量为，故A错误. 故选：BD. 11．ABC 【分析】变形得到，得到，令，求导得到单调性，结合特殊点的函数值，画出的图象，得到AB正确；同理设，定义域为，求导得到其单调性，结合特殊点函数值，画出的图象，数形结合得到的解集为，其中，得到答案. 【详解】，， ，即， 所以， 其中，故， ，， 令得或，令得， 故在单调递减，在上单调递增， 其中，当时，恒成立， 画出的图象，如下： 故的解集为，包含，，AB正确； 令，定义域为， 则， 令得或，令得， 故在单调递增，在上单调递减， 且，在恒成立， 画出的图象，如下： 的解集为，其中， 故，C正确，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：变形得到，得到，要求不等式的解集，需构造函数，研究函数单调性，画出函数图象，数形结合进行求解. 12．15【详解】由题设，卦的种数为， 故答案为：. 13． 【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为. 设的内心为，过点向三边作垂线，垂足分别为.    根据三角形内心的性质可知，， 又因为双曲线E以B，C为焦点，且经过点A， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以点在双曲线的左支上，所以. 而， 所以， 所以为双曲线的左顶点. 所以， 所以，即， 所以，渐近线的倾斜角为， 所以两条渐近线的夹角为. 又因为， 所以， 而， 所以. 故答案为：； 14．【详解】双曲线的实轴长为8，则， ，即为焦点到渐近线的距离 所以，又，所以在直角中，， 则，得， ，所以 . 故答案为： 15．【详解】（1）∵， ∴由正弦定理可得， 又 ∴ ∵，∴ ∵，∴； （2）∵， ∴由余弦定理可得，整理可得， 又，解得， ∴； （3）因为α为锐角，所以 又因为所以为钝角， 则 . 16．【详解】（1）当时，， 因为，所以， 所以曲线函数在点处的切线方程为：． （2）定义域为． 因为，， ①当时，恒成立． 所以函数在上单调递增． ②当时，令，则或． 所以当时，或； 当时，， 所以函数在和，上单调递增，在，上单调递减． 综上可知，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和，上单调递增，在，上单调递减． 17【详解】证明： （1）因为，且为线段的中点， 所以，又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面 所以平面， 又平面平面， 所以， 又，且平面平面，平面平面， 所以平面， 所以平面， （2）因为，为线段的中点， 所以， 又因为平面平面， 所以平面， 以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图 所示的空间直角坐标系； 则，，，， 则，，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 于是有； 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18． 【详解】（1）连接，由题意，⊥平面，故直线在平面上的射影为直线， 因此直线和平面所成角等于． 因为是以为直径的等腰直角三角形，所以． 因此，由知． 即直线和平面所成角的大小为的正切值2． （2）由题意，所求表面积等于圆锥表面积的一半加上、和的面积． 因为圆锥的高，圆锥的底面半径，所以圆锥的母线长为， 表面积为． 在和中，，， 所以，得． 同理． 因此． 而， 因此，所求表面积为． 19．【详解】（1）当时，，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，函数取得极小值，无极大值. （2）由，则，即对于恒成立， 设，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故，即实数的取值范围为. （3）由，， 不妨设， 由，则， 则， 则， 要证，即证， 即证， 设，，则， 所以函数在上单调递增， 因为，所以，即， 所以得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$