2.2 直线的方程 2026-2027学年高二上学期数学选修一例题精讲及课时精练

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学“直线的方程”单元，覆盖点斜式、斜截式等六种方程及平行垂直关系，题型多样，适配单元复习，注重基础巩固与数学思维培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|约20题|点斜式方程、斜截式方程等|通过方向向量、截距范围考查推理能力| |多选|约15题|直线位置关系、截距式应用|结合对称点、面积问题体现模型意识| |填空|3题|倾斜角、定点问题|基础与综合结合，强化空间观念| |解答|5题|中线方程、垂直关系|通过三角形面积等情境发展应用意识|

2.2 直线的方程 题型一 直线的点斜式方程 3 题型二 直线的斜截式方程 8 题型三 直线的两点式方程 11 题型四 直线的截距式方程 16 题型五 直线的一般式方程 21 题型六 一般式下直线的平行与垂直 25 课时精练 30 【基础回顾】 知识点 1：直线的点斜式方程 方程 由直线上一定点 及其斜率决定, 叫作直线的点斜式方程。 适用范围及注意： （1）点斜式的前提是直线的斜率存在. 点斜式不能表示平行于 轴的直线, 即斜率不存在的直线； （2）当直线的倾斜角为 时，直线方程为 ; （3）当直线倾斜角为 时，直线没有斜率它的方程不能用点斜式表示. 这时直线方程为: . 知识点 2 : 直线的斜截式方程 如果直线 的斜率为 且与 轴的交点为 根据直线的点斜式方程可得 即 . 方程 叫作直线的斜截式方程 简称斜截式。 适用范围及注意斜截式的前提是直线的斜率存在. 斜截式不能表示平行于 轴的直线即斜率不存在的直线。 知识点 3: 直线的两点式方程 经过两点 (其中 ) 的直线方程为 ,称这个方程为两点式方程，简称两点式。 适用范围及注意 （1）当直线没有斜率( )或斜率为 时，不能用两点式求出它的方程 （2）应用两点式求方程时，常把分式形式 通过交叉相乘转化为整式形式 ,从而得到的方程中包含了 或 的情况,但此转化过程不是一个等价的转化过程不能因此忽略由 和 是否相等引起的讨论. 要避免讨论, 可直接假设两点式的整式形式. 知识点 4: 直线的截距式方程 若直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ,其中 , 则过 两点的直线方程为 ，这个方程称为直线的截距式方程. 叫作直线在 轴上的截距, 叫作直线在 轴上的截距 适用范围及注意: 截距式的条件是 ，即截距式方程不能表示过原点以及与坐标轴平行的直线. 知识点 5: 直线方程的一般式 关于 和 的一次方程都表示一条直线. 我们把方程写为 , 这个方程（其中 不全为零）叫作直线方程的一般式。 适用范围及注意： 不全为零才能表示一条直线若 全为零则不能表示一条直线. 当 时，方程可变形为 ，它表示过点 ，斜率为 的直线。 当 时，方程可变形为 ，即 ,它表示一条与 轴垂直的直线。 由上可知,关于 的二元一次方程,它都表示一条直线。 知识点 6: 两条直线的位置关系 位置关系 平行 且 斜率存在时 当斜率不存在时， 垂直 重合 且 斜率存在时 当斜率不存在时， 相交 题型一 直线的点斜式方程 1．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 2．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 故选：C. 3．已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用直线的斜截式方程求解. 【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为3，而直线过点， 所以直线的方程是. 故选：D 4．经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为. 故选：B 5．直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再由给定条件列式求出斜率范围. 【详解】依题意，直线的方程为，由，得， 因此，即，解得或， 所以斜率k的取值范围是或. 故选：D 6．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 7．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线恒过定点，分别计算，结合图像即可得的范围. 【详解】直线经过定点，如图所示， 则， 因为直线与线段相交， 所以由图可知. 故选：A. 8．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．方程表示过点的所有直线 C．的最小值为 D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，根据斜率与方向向量的关系，可得其正误；对于B，根据直线方程的表示，通过反例，可得其正误；对于C，根据两点距离公式，结合将军饮马模型，可得其正误；对于D，求得边界直线的斜率，结合图像，可得其正误. 【详解】对于A，设直线上的两个不同点，则，故A正确； 对于B，由当时，，解得，方程表示的直线过定点， 但直线也过，不能由该方程表示，故B错误； 对于C，由， 则该式表示点分别到与的距离之和， 求得点关于直线的对称点， 所以，故C正确； 对于D，直线的斜率，直线的斜率， 由题意可作图如下：    因为直线与线段有交点，所以斜率的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为120° B．直线，，若，则 C．经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为 D．直线在轴上的截距是 【答案】AB 【分析】对于A，根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于B，利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案；对于C，由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于D，根据题意，由直线方程，结合直线截距的定义计算，可得答案. 【详解】对于A，由直线方程，可得其斜率，设其倾斜角为， 则，由，则解得，故A正确； 对于B，当时，直线，则，直线，则， 由，则此时不符合题意； 当时，直线，则，直线，则， 由，则，解得，则此时符合题意，故B正确； 对于C，由题意，直线斜率一定存在，可设为，由过，则， 令，则，令，则，由题意可得， 整理可得，解得或1，所以直线方程为或，故C错误； 对于D，由直线方程， 令，解得， 所以直线在x轴上的截距为，故D错误； 故选：AB. 10．（多选）下列说法正确的是（　　） A．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，设点斜式，求截距，利用截距相等求斜率，从而得到直线方程；对于B，由两直线垂直得到的式子，解出的值；对于C，将直线变形为，得到，解方程组得到所求的定点；对于D，求出，通过数形结合得到的范围. 【详解】对于A，经过点且在轴和轴上截距都相等，则此直线一定有斜率， 设此直线方程为， 当时，，则纵截距为； 当时，，则横截距为， 则有，解得，则此直线方程为或； 对于B，由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”是两直线垂直的充分不必要条件，选项B正确； 对于C，将直线方程变形为，由得， 则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C正确； 对于D，如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确. 故选：BCD． 题型二 直线的斜截式方程 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】因为直线方程为，所以直线的斜率， 设倾斜角为，则，又，所以， 故选：B. 2．设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线的一般式方程化为斜截式方程，进而求解. 【详解】由，所以，所以， 故选：C. 3．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线的斜截式公式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 由直线的斜截式公式可知，， 故选：B. 4．若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，直线平移后的直线方程，根据两直线重合，求得. 【详解】直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后， 得到的直线方程为，即. ∴，∴. 故选：B. 5．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据条件分截距为零和截距不为零两种情况，分别设出相应的直线方程，再结合条件，即可求解. 【详解】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为， 又直线过点，所以，所以直线方程为， 当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或， 故选：D. 6．对于直线，下列选项正确的是（    ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【答案】D 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断；令，求出直线过点可判断和； 根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断. 【详解】设直线的倾斜角为， 对于，直线的斜率为，所以，则，故错误； 对于，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故错误； 对于，由知，直线在轴上的截距为，故错误； 对于，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故正确. 故选：. 7．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解． 【详解】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 8．（多选）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 9．（多选）已知直线m的方程为，直线n的方程为，则（   ） A．m，n的交点为 B．n在y轴上的截距为 C．m的斜率为 D．m，n与x轴围成的三角形是锐角三角形 【答案】ACD 【分析】联立直线方程求得交点坐标判断A；将直线n的方程化为斜截式方程即可求得纵截距判断B；将直线m的方程化为斜截式方程即可求得斜率判断C；根据直线的斜率和两角差的正切公式判断三角形的各个角都为锐角，可得三角形形状判断D. 【详解】由，两式联立，解得，即m，n的交点为，故A正确； 直线n的方程可化为，所以直线n在y轴上的截距为3，B错误； 直线m的方程可化为，所以直线m的斜率为，C正确； 设直线m，n的倾斜角分别为，，则，，为锐角，为钝角. 设，直线m与x轴的交点为M，直线n与x轴的交点为N， 在中，是锐角，是锐角，， 而，所以是锐角，是锐角三角形，D正确. 故选：ACD. 题型三 直线的两点式方程 1．入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的对称点坐标，然后利用两点式直线方程求出结果即可. 【详解】因为关于y轴的对称点， 所以直线 因此入射光线l所在直线的方程为， 故选：C． 2．一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 3．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两条直线的公共定点，求出它们与坐标轴的交点，建立面积的二次函数表达式，再利用二次函数性质求最小值对应的值. 【详解】直线可化为，由 可得，即直线恒过定点， 直线可化为，由， 解得，即直线恒过定点， 由可得，即直线与轴交点为， 由可得，即直线与轴交点为， 则四边形由点围成， 其面积， 当时，取得最小值. 故选：D. 4．关于直线的方程下列说法错误的是（    ） A．经过定点且方向向量为的直线都可以用方程表示 B．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 C．方程（、不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线 D．不经过原点的直线都可以用方程来表示 【答案】D 【分析】根据点斜式判断A，根据两点式判断B，根据一般式判断C，举反例判断D. 【详解】对于A：由直线方向向量为，可得该直线的斜率为， 又由直线过定点，可得直线方程为，故A正确； 对于B：设是该直线上的任意一点，则，， 由，可得， 即经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示，故B正确； 对于C：直线的一般式方程（、不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线，故C正确； 对于D：不过原点但在轴或轴上无截距的直线（）或（）不能用方程表示，故D错误. 故选：D. 5．已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【答案】B 【分析】由题意，求出点A的横坐标、B的纵坐标，根据三角形的面积公式建立关于b的方程，解之即可. 【详解】如图， 在中， 令，得；令，得， 由题意，得，， 所以的面积， 即，解得. 故选：B. 6．直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出两个交点的坐标，利用中点坐标公式可求出，即可求出直线方程. 【详解】设与的交点坐标为，与的交点坐标为， ，即，， 由中点坐标公式得，， 即，解得，所以，， 则直线的方程为，即. 故选：C 7．已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 8．（多选）下列说法正确的是（　　） A．直线在轴上的截距为1 B．如果，那么直线不经过第三象限 C．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示 D．直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 【答案】BD 【分析】对A可直接计算并判断，对B根据斜率和截距进行判断，对于C考虑特殊直线，对于D根据斜率的范围来确定倾斜角的范围. 【详解】对于A，将代入直线方程，可得，解得，故A错误； 对于B，因为，所以，所以可化为， 所以直线的斜率，纵截距，所以直线经过第一、二、四象限，故B正确； 对于C，经过任意两个不同的点的直线，当斜率等于0时，， 当斜率不存在时，，都不能用方程表示，故C错误； 对于D，直线的方程为， 当时，直线方程为，倾斜角， 当时，直线方程化为，斜率， 因为，所以，即， 又因为，所以. 综上可得，故D正确． 故选：BD． 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线 上 B．存在实数，使得直线与直线垂直 C．过点且横纵截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示 【答案】ABD 【分析】根据直线的方程与直线间位置关系逐项判断即可. 【详解】选项A：将点代入直线方程中得， 等式恒成立，所以点一定在这条直线上，A正确. 选项B：当时，两直线为与，此时两直线垂直. 当时，由两直线垂直可得，，此时两直线不垂直. 综上，当时，两直线垂直，B正确. 选项C：当横纵截距均为0时，方程为，即. 当横纵截距不为0时，设直线方程为，代入点可得，， 此时直线方程为，即. 综上，过点且横纵截距相等的直线方程为或，C错误. 选项D：经过任意相异两点，的直线， 当斜率存在时，方程为，整理为. 当斜率不存在时，方程为，代入上式也成立. 所以方程对任意相异两点均成立，D正确. 故选：ABD. 题型四 直线的截距式方程 1．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意分截距为0与截距不为0两种情况求解即得. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 2．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 3．已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】，令，解得值，即为所求 【详解】，令，得，所以直线在y轴上的截距为. 故选：C 4．若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 故选：C. 5．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】A 【分析】A含参的直线方程过定点的求法计算即可；B没有考虑直线过原点的情况；C由倾斜角与斜率的关系即可判断；D计算出端点值后，由线段MN与y轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧. 【详解】A，直线方程变形为， 令，解得，即原直线必过定点，正确； B，当直线l过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等， 此时直线l的方程为，不正确； C，当时，无意义，不正确； D，直线经过定点， 当直线经过M时，斜率为， 当直线经过N点时，斜率为，    由于线段MN与y轴相交，故实数k的取值范围为或，不正确. 故选：A 6．已知点，，，直线将分割为两部分，则当这两个部分的面积之积取得最大值时的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，，结合基本不等式可得当时面积之积取得最大值，即，结合直线的方程求解点坐标，代入直线求解即可. 【详解】由题意，直线将分割为两部分，不妨记两部分面积分别为， 故，由， 结合基本不等式可得，即， 当且仅当时等号成立， 即直线将分割为面积相等的两部分时两个部分的面积之积最大， 由于，要使，则与边相交，设交点为， 故， 由于直线方程为，即，代入可得， 故，由于在上，则，解得. 故选：A 7．（ 多选 ）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 【答案】AC 【分析】对于A，根据直线方向向量的概念求解即可；对于B，根据直线定点的求解方式求出直线定点即可；对于C，根据直线位置的判定判断即可；对于D，根据截距式不能表示截距为0的直线判断即可． 【详解】对于A，直线l的倾斜角为，斜率为，一个方向向量是，A正确； 对于B，直线，即，恒过定点，B错误； 对于C，当时，显然，当时，，所以，C正确； 对于D，截距式不能表示截距为0的直线，D错误． 8．（ 多选 ）已知直线，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 【答案】BCD 【分析】由两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程、截距的定义以及逐一判断即可. 【详解】对于，直线的斜率为，若，则直线的斜率为， 则，所以不垂直，故错误； 对于，若，所以可得，则直线， 由两平行直线距离公式可得，故正确； 对于，可化为， 所以直线恒过，故正确； 对于，当直线与轴无截距，不满足条件， 当，在两坐标轴的截距相等，分别令， 可求出与轴截距为和轴截距，即 解之可得或，故正确. 故选： 9．（ 多选 ）已知直线：，直线：，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为11 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由直线方程可求定点，判断A，根据直线方程截距式的定义可判断B，利用两直线的位置关系可判断C 、D. 【详解】对于A，直线：， 整理得， 令，解得：， 直线过定点，故A正确； 对于B，直线：在轴上的截距， 令代入：得： ，解得， 直线在轴上的截距为-11，故B错误； 对于C，直线：，直线：， ， ，解得：，故C正确； 对于D ，直线：，直线：， ， 解得：，故D错误. 故选：AC 题型五 直线的一般式方程 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设该直线的倾斜角为，则由题意， 又，所以. 故选：D. 2．在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】是的充要条件. 故选：A. 3．设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为直线过定点，直线与线段没有交点，转化为过定点的直线与线段无公共点，画出图像，结合图像，即可求得答案. 【详解】 直线与线段没有交点， 即直线与线段没有交点， 对于直线， 令，则，则直线恒过点 . 根据题意，作出如下图像： ，， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， ， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， 直线的斜率为， 若直线与线段没有交点， 则. 故选：D 4．若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 故选：A. 5．已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图像可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 故选：C. 6．已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】直线与直线垂直， 则，解得或3， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 故选：A. 8．（ 多选 ）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 故选：AC. 9．（ 多选 ）已知直线与直线，则下列选项正确的是（ ） A．恒过定点 B．若，则与圆相切 C．若 ，则或 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A,将 , 代入 :,恒成立,故 A 正确. 对于B,当 时,,即 . 圆心 ,半径 ,圆心到直线的距离 , 故直线与圆相切,B 正确. 对于C,若 , 当 时, 即 ,,斜率分别为 和不存在,不平行. 当 时,,,由 得 ,即 , 整理得 ,即 ,解得 或 . 当 时,,,两直线平行不重合; 当 时, 即 , ， 即 ,两直线重合,故 时两直线重合而非平行,因此 C 错误. 对于D,若 ,当 时, 斜率不存在, 斜率为 ,不垂直. 当 时,,解得 ,即 ,,故 D 正确. 10．（ 多选 ）下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，可判定A正确；根据两直线垂直，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；求得直线过定点，结合与直线垂直时距离最大，求得的值，可判定C正确，结合斜率公式，求得的值，结合图像，可判定D正确. 【详解】对于A，因为直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于，所以A正确； 对于B，由直线与直线互相垂直， 可得，即，解得或， 所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，因为直线，可化为， 由，解得，即直线恒过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 所以，解得，所以C正确； 对于D，因为，可得， 如图所示，要使得过定点的直线与以线段有交点， 则满足或，所以直线l的斜率k的取值范围是，所以D正确. 题型六 一般式下直线的平行与垂直 已知直线 平行： ; 斜率存在时 ; 当斜率不存在时， 垂直： 与直线 平行的直线方程可设为 , 与直线 垂直的直线方程可设为 . 1．经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以所求直线方程为． 故选：A. 2．已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知设所求直线方程为，根据直线过原点求得c，即得答案. 【详解】与平行的直线的方程可以设为， 又直线过原点，所以． 所以过原点且与l平行的直线的方程为． 故选：A. 3．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设与平行的直线方程为，代入点后即可求得，进而得到直线方程. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 代入，可得，解得， 故所求直线方程为. 故选：A. 4．若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减， 可得， 把点代入，可得， 所以，又是线段AB的中点， 所以线段AB的垂直平分线的方程是， 即. 故选：D. 5．过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方程垂直的条件求出目标直线斜率，进而得到直线方程即可. 【详解】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C 6．过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出答案. 【详解】因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为， 将的坐标代入所求直线的方程，得，解得， 故过点且与直线垂直的直线方程为. 故选：A. 7．若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求直线方程设为：，代入求得可得答案. 【详解】注意到，因该直线与垂直， 则设的方程为：，代入，得. 从而. 故选：C 8．（ 多选 ）已知点，则下列命题正确的是（    ） A．过点且与线段有公共点的直线的斜率的取值范围为 B．过点且与直线平行的直线的方程为 C．过点且与直线垂直的直线的方程为 D．点关于直线的对称点的坐标为 【答案】ABC 【分析】对于A，先求出，再结合图形求解判断即可；对于B，根据直线平行得到所求直线的斜率，进而根据点斜式写出方程即可判断；对于C，根据直线垂直得到所求直线的斜率，进而根据点斜式写出方程即可判断；对于D，先求出直线的方程，设，进而列式计算即可判断. 【详解】对于A，由， 如图，要使直线过点且与线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为，故A正确； 对于B，由于，则所求直线的斜率为， 所以所求直线的方程为，即，故B正确； 对于C，由于，则所求直线的斜率为， 所以所求直线的方程为，即，故C正确； 对于D，由于，则直线的方程为，即， 设，则，解得， 则点的坐标为，故D错误. 故选：ABC 9．（ 多选 ）已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（   ） A．直线的倾斜角不存在 B．直线的斜率为 C．边上的高所在直线的方程为 D．边上的中线所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可判断A选项；利用斜率公式可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项. 【详解】直线的倾斜角为，斜率不存在，A选项错误； 直线的斜率为，B选项正确； 边上的高所在直线与垂直，由A边上的高所在直线斜率为，又高所在直线过点C， 故边上的高所在直线的方程为，即，C选项正确； 边上的中点坐标为，则边上中线所在直线斜率为， 所以中线方程为，即，D选项错误. 故选：BC. 10．（ 多选 ）已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（    ） A．直线l在y轴上的截距为 B．向量是直线m的方向向量 C．直线l与m的交点坐标为 D．直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 【答案】BCD 【分析】对于A，根据直线l的方程，令，即可求解判断；对于B，根据直线l的斜率先得到直线m的斜率，即可得到直线m的一个方向向量，进而判断即可；对于C，先求出直线m的方程，再联立直线m与直线l的方程即可求解，进而判断；对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C，则直线l，m与x轴围成的三角形即，进而求出的坐标，再计算面积即可判断. 【详解】对于A，由直线，令，得， 所以直线l在y轴上的截距为2，故A错误； 对于B，由直线，则直线l的斜率为， 因为，所以直线m的斜率为， 所以直线m的方向向量可以是， 因为，所以是直线m的方向向量，故B正确； 对于C，由题意知，直线m过点， 所以直线m的方程为，即， 联立，解得， 所以直线l与m的交点坐标为，故C正确； 对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C， 则直线l，m与x轴围成的三角形即， 由直线，令，得，则， 由题意及C选项的分析可设，，所以， 则的面积，故D正确. 故选：BCD. 课时精练 一、单选题 1．过点且斜率为的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点斜式方程，结合一般式，可得答案. 【详解】由题意可得直线方程为，化简可得. 故选：D. 2．若，，则直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据所给条件，画出直线在直角坐标系中的图形即可判断. 【详解】如图所示，作出符合题意的图形， 由图可知，直线不经过第三象限. 故选：C. 3．已知，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，则，可得. 故选：A 4．下列说法中，错误的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．点关于直线的对称点为 C．直线经过定点 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 【答案】D 【分析】对于A，求出直线与坐标轴的交点坐标，即可求出三角形面积；对于B，判断两个点的中点是否在直线上以及求出连线斜率判断是否和直线垂直即可；对于C，令即可判断；对于D，举反例可得直线过原点的情况. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，， 所以围成的三角形面积为，故A正确； 对于B，点和的中点在直线上， 且连线的斜率为，可得与直线垂直， 所以点关于直线的对称点为，故B正确； 对于C，令，解得， 可得直线经过定点，故C正确； 对于D，若直线经过原点，满足题意，此时直线方程为，故D错误. 故选：D. 5．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知直线过定点， 如图所示，可知， 所以当直线与线段有公共点时，的取值范围为. 故选：B. 6．若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验. 【详解】由题可得：直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 7．已知直线，直线相交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．18 【答案】D 【分析】先由题设求出两条直线垂直及其所过的定点，进而求出点P的轨迹为圆，再将转化为圆上点到原点距离的平方即可分析求解. 【详解】因为，所以， 又直线：，则过定点， 直线：，则过定点， 因为且交于，所以， 所以点P的轨迹是圆心为AB中点、半径为 的圆， 所以点的轨迹方程为， 表示该圆上的点到原点的距离的平方， 又圆上点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：D 8．已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线,经过的定点和垂直关系，然后确定点的轨迹是圆，进而根据直线与圆的位置关系求出最小距离即可. 【详解】因为直线与相交于点， 直线变形为，过定点，但不能表示直线； 直线变形为，过定点，但不能表示直线； 又因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆（除去点）. 因的中点坐标为，半径为， 所以圆的方程为. 由于圆心到直线 的距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 二、多选题 9．（ 多选 ）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 【答案】AC 【详解】令，则，得，则直线恒过点，故A正确； ，则斜率为，故不存在m使得直线的倾斜角为，故B错误； 若，则，得， 若，则，此时两直线平行，故，故C正确； 若，则，则，故存在实数m使得，故D错误. 故选：AC. 10．（ 多选 ）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系可以判断A；根据截距是否为0进行分类讨论求解直线方程可以判断B；根据两点式的使用条件可以判断C；根据斜率和倾斜角的关系，结合余弦函数的值域求解范围可以判断D. 【详解】对于A，直线可得，则斜率， 所以直线倾斜角满足，且，即，故正确； 对于B，当截距不为0时，由直线截距式可设直线方程为，代入 得，解得； 当截距为0时，可设直线方程为，代入得，即，故错误； 对于C，根据直线方程两点式可知，且，故错误； 对于D，由直线的方程为可得，斜率， 由得，设倾斜角为，则， 由，得,故正确， 故选：AD. 11．（ 多选 ）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 【答案】ABC 【分析】对于A，由即可求解判断；对于B，通过即可判断；对于C，由，并验证是否重合即可判断；对于D，由截距概念列出等式求解即可判断. 【详解】对于A，由直线，得， 由解得，，即过定点，正确； 对于B，当时，直线，， 则，故，则，正确； 对于C，若，可得，解得或， 又当时，直线，重合，舍去， 当时，直线，，平行， 综上，正确； 对于D，若与的纵截距相等，则， 对于直线，令得， 对于直线，令得， 由，解得，错误； 故选：ABC 三、填空题 12．直线的倾斜角为__________． 【答案】 【分析】将直线方程化为斜截式方程，求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，求出倾斜角. 【详解】由，得 . 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，则，且， 所以. 即直线的倾斜角为. 故答案为：. 13．直线：恒过定点______． 【答案】 【分析】原方程整理为，解方程组得解. 【详解】由可得， 联立，解得， 故直线恒过点, 故答案为： 14．点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点，则该定点到点A的距离即为点A到直线的距离的最大值. 【详解】由，得. 当时，，所以直线恒过定点. 所以. 由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于. 故答案为：.    四、解答题 15．已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【答案】(1) (2)直线的方程为； 【分析】（1）首先求的中点坐标，再求直线方程； （2）根据垂直关系求直线的斜率，再求直线方程；联立直线和的方程，求交点坐标. 【详解】（1）设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； （2）， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 16．设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 17．根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）将条件代入点斜式方程，即可得答案. （2）分析可得直线l为线段OA的中垂线，求出OA的中点坐标和OA的斜率，可得直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案. （3）分别讨论截距为0和不为0两种情况，代入点坐标，求出方程，综合即可得答案. 【详解】（1）直线斜率是3，且经过点，则直线方程为， 化为一般式方程为； （2）已知关于直线l的对称点为， 故直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为， 且OA的斜率为，故直线l的斜率为2， 故直线l的方程为，化简可得：． （3）设该直线在两轴上截距为a，那么， ①当时，直线过原点，设直线方程为，代入点， 可得，则方程为，即； ②当时直线方程为，把代入求得． 则直线方程为， 由①②知所求直线方程是或． 18．在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点、的坐标； (3)求的面积. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据直线垂直和经过的点坐标求出直线的方程. （2）联立两直线方程即可求得交点坐标. （3）根据点到直线的距离公式和三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由题可设直线的方程为， 把点代入可得，解得. 直线的方程为. （2）设，则，，联立解得，.. 设，则，，联立解得，. . （3）是的中点，，到的距离， 又点到的距离，.    19．已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求边上的高线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线交点计算得到的坐标，结合点斜式方程求解即可； （2）先根据垂直关系计算斜率，结合点斜式方程求解即可； 【详解】（1）设点坐标为，点坐标为， 因为是中点，，所以， 在中线上，代入得：， 化简得，又在直线上，满足， 联立解得，即， 点在直线上，联立和， 解得，即 直线的斜率为，直线的方程为， 整理得 （2）由边上的高线可知，故， 点，直线的方程为，整理得. ( 1 / 40 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 直线的方程 题型一 直线的点斜式方程 3 题型二 直线的斜截式方程 4 题型三 直线的两点式方程 5 题型四 直线的截距式方程 6 题型五 直线的一般式方程 7 题型六 一般式下直线的平行与垂直 8 课时精练 10 【基础回顾】 知识点 1：直线的点斜式方程 方程 由直线上一定点 及其斜率决定, 叫作直线的点斜式方程。 适用范围及注意： （1）点斜式的前提是直线的斜率存在. 点斜式不能表示平行于 轴的直线, 即斜率不存在的直线； （2）当直线的倾斜角为 时，直线方程为 ; （3）当直线倾斜角为 时，直线没有斜率它的方程不能用点斜式表示. 这时直线方程为: . 知识点 2 : 直线的斜截式方程 如果直线 的斜率为 且与 轴的交点为 根据直线的点斜式方程可得 即 . 方程 叫作直线的斜截式方程 简称斜截式。 适用范围及注意斜截式的前提是直线的斜率存在. 斜截式不能表示平行于 轴的直线即斜率不存在的直线。 知识点 3: 直线的两点式方程 经过两点 (其中 ) 的直线方程为 ,称这个方程为两点式方程，简称两点式。 适用范围及注意 （1）当直线没有斜率( )或斜率为 时，不能用两点式求出它的方程 （2）应用两点式求方程时，常把分式形式 通过交叉相乘转化为整式形式 ,从而得到的方程中包含了 或 的情况,但此转化过程不是一个等价的转化过程不能因此忽略由 和 是否相等引起的讨论. 要避免讨论, 可直接假设两点式的整式形式. 知识点 4: 直线的截距式方程 若直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ,其中 , 则过 两点的直线方程为 ，这个方程称为直线的截距式方程. 叫作直线在 轴上的截距, 叫作直线在 轴上的截距 适用范围及注意: 截距式的条件是 ，即截距式方程不能表示过原点以及与坐标轴平行的直线. 知识点 5: 直线方程的一般式 关于 和 的一次方程都表示一条直线. 我们把方程写为 , 这个方程（其中 不全为零）叫作直线方程的一般式。 适用范围及注意： 不全为零才能表示一条直线若 全为零则不能表示一条直线. 当 时，方程可变形为 ，它表示过点 ，斜率为 的直线。 当 时，方程可变形为 ，即 ,它表示一条与 轴垂直的直线。 由上可知,关于 的二元一次方程,它都表示一条直线。 知识点 6: 两条直线的位置关系 位置关系 平行 且 斜率存在时 当斜率不存在时， 垂直 重合 且 斜率存在时 当斜率不存在时， 相交 题型一 直线的点斜式方程 1．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 4．经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 5．直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 6．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 7．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．方程表示过点的所有直线 C．的最小值为 D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为120° B．直线，，若，则 C．经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为 D．直线在轴上的截距是 10．（多选）下列说法正确的是（　　） A．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 题型二 直线的斜截式方程 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（   ）． A． B． C． D． 3．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 4．若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（   ） A．2 B． C． D． 5．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 6．对于直线，下列选项正确的是（    ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 7．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 8．（多选）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 9．（多选）已知直线m的方程为，直线n的方程为，则（   ） A．m，n的交点为 B．n在y轴上的截距为 C．m的斜率为 D．m，n与x轴围成的三角形是锐角三角形 题型三 直线的两点式方程 1．入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 4．关于直线的方程下列说法错误的是（    ） A．经过定点且方向向量为的直线都可以用方程表示 B．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 C．方程（、不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线 D．不经过原点的直线都可以用方程来表示 5．已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 6．直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 8．（多选）下列说法正确的是（　　） A．直线在轴上的截距为1 B．如果，那么直线不经过第三象限 C．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示 D．直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线 上 B．存在实数，使得直线与直线垂直 C．过点且横纵截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示 题型四 直线的截距式方程 1．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 2．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 3．已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 4．若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 5．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 6．已知点，，，直线将分割为两部分，则当这两个部分的面积之积取得最大值时的值为（   ） A． B． C． D． 7．（ 多选 ）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 8．（ 多选 ）已知直线，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 9．（ 多选 ）已知直线：，直线：，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为11 C．若，则 D．若，则 题型五 直线的一般式方程 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（ 多选 ）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 9．（ 多选 ）已知直线与直线，则下列选项正确的是（ ） A．恒过定点 B．若，则与圆相切 C．若 ，则或 D．若，则 10．（ 多选 ）下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 题型六 一般式下直线的平行与垂直 已知直线 平行： ; 斜率存在时 ; 当斜率不存在时， 垂直： 与直线 平行的直线方程可设为 , 与直线 垂直的直线方程可设为 . 1．经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 5．过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 8．（ 多选 ）已知点，则下列命题正确的是（    ） A．过点且与线段有公共点的直线的斜率的取值范围为 B．过点且与直线平行的直线的方程为 C．过点且与直线垂直的直线的方程为 D．点关于直线的对称点的坐标为 9．（ 多选 ）已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（   ） A．直线的倾斜角不存在 B．直线的斜率为 C．边上的高所在直线的方程为 D．边上的中线所在直线的方程为 10．（ 多选 ）已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（    ） A．直线l在y轴上的截距为 B．向量是直线m的方向向量 C．直线l与m的交点坐标为 D．直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 课时精练 一、单选题 1．过点且斜率为的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．若，，则直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中，错误的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．点关于直线的对称点为 C．直线经过定点 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 5．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 7．已知直线，直线相交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．18 8．已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（ 多选 ）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 10．（ 多选 ）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 11．（ 多选 ）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 三、填空题 12．直线的倾斜角为__________． 13．直线：恒过定点______． 14．点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 四、解答题 15．已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 16．设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 17．根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 18．在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点、的坐标； (3)求的面积. 19．已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求边上的高线的方程. 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $