2.3 直线的交点坐标与距离公式讲义--2026-2027学年高二上学期数学选修一例题精讲及课时精练

该高中数学讲义以“直线的交点坐标与距离公式”为核心，通过基础回顾分层梳理知识体系，用表格归纳点与直线的对称问题类型及方法，清晰呈现直线交点、距离公式、对称问题等重难点的内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础交点坐标求解到综合“将军饮马”最短路径问题，培养数学思维与应用意识。每个题型配多选及解答题，基础生可掌握公式应用，优秀生能深化逻辑推理，教师可据此实施精准分层教学，助力学生系统提升。

2.3 直线的交点坐标与距离公式 【基础回顾】 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 直线的交点 求直线 与直线 的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组 的解即可。 若有 ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有 ，则方程组无解，此时两直线平行； 若有 ，则方程组有唯一解， 此时两直线相交， 此解即两直线交点的坐标。 知识点 2: 过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫作直线系方程，直线系方程中除含有 以外，还有根据具体条件取不同值的变量， 称为参变量， 简称参数。 由于参数取法不同， 从而得到不同的直线系。 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线 交点的直线方程为 ，其中 是待定系数。 在这个方程中， 无论 取什么实数，都得不到 ，因此它不能表示直线 . 知识点 3: 两点间的距离公式 两点 间的距离公式为 . 知识点 4: 点到直线的距离公式 点 到 距离为 . 注意：（1）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离（这是从运动观点来看的）。 （2）若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离。 （3）点到直线的距离公式适用于任何情况，其中点 在直线 上时，它到直线的距离为 0 . 知识点 5: 两平行线间的距离 常见的有两种解法： ① 转化为点到直线的距离问题， 在任一条直线上任取一点， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离； ② 距离公式： 直线 与直线 的距离为 . 注意： 利用两条平行直线间的距离公式 时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中 的系数分别是相同的以后，才能使用此公式。 知识点 6: 直线与点的对称问题的方法 求线段垂直平分线 已知 ,求线段 的垂直平分线 的方程的方法如下: (1) 线段 的中点 的坐标为 ; (2) 当 时,求直线 的斜率 ; (3) 线段 的垂直平分线 的斜率 ； (4) 线段 的垂直平分线 的方程为 点 关 于 直 线 的对称关系 点 关于点 的对称点 的问题,主要依据两项原则: 1 是线段 的中点. 2 与点 所在的直线相互垂直. 设点 关于直线 的对称点为 ,则 可求 . 直线关于点的对称问题 求直线 关于点 对称的直线 的步骤: 方法一:回代法 (1)在 上任取一点 ； (2) 求 关于 的对称点 ； (3) 将 的坐标代入直线 的方程，化简得所求 的方程. 方法二: (1) 直线 与直线 的斜率相同，所以只需要求出直线 所过一点,即可求出直线 的方程; (2) 在直线 上任取一点 ; (3) 求 关于 的对称点 . (4) 将 的坐标代入所设直线 的方程，化简得所求 方程 方法三: 在已知直线上找两点,求出这两点关于点 的对称点, 根据求出的两个对称点求出对称直线. 方法四:直线 与直线 的斜率相同,根据对称点到两直线距离相等求出对称直线. 直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称有两种类型: (1)若已知直线 与对称轴 相交于点 ，则交点 必在 关于 对称的直线 上,再求出 上除点 外任意一个已知点 关于 对称的点 ,那么经过交点 及点 的直线就是 . (2)若已知直线 与对称轴 平行,则 关于 对称的直线 到直线 的距离和 到直线 的距离相等,由平行直线系和两条平行直线间的距离公式即可求出 关于 对称的直线 . 题型一 直线的交点问题 1．直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解两直线构成的方程组即可。 【详解】由，解得， 所以直线和的交点坐标为， 故选：B 2．直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程求解即可. 【详解】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 3．直线与直线的交点在（    ） A．直线上 B．圆上 C．椭圆上 D．双曲线上 【答案】D 【分析】由题意可得，可得结论. 【详解】由，可得， 所以直线与直线的交点在双曲线上. 故选：D. 4．已知两定点，，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，求出PM，PN的斜率，再利用数形结合求解. 【详解】如图所示： ， 因为直线过且与线段相交， 所以的斜率的取值范围是或. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线的斜率和直线相交问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 5．若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【详解】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 6．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出交点坐标，根据第一象限点的特征可得答案. 【详解】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 7．已知两直线和的交点为，则过 两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程. 【详解】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过 两点所在直线方程为， 故选：B 8．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若方程表示直线，则 B．分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 D．直线与相交于点，则过点，的直线方程为 【答案】BD 【分析】A选项，当不同时为0时，方程表示直线；B选项，两平行线距离即为的最小值，利用两平行线距离公式求出答案；C选项，分截距为0和截距不为0两种情况，利用待定系数法进行求解；D选项，代入，得到，两点确定一条直线，得到答案. 【详解】A选项，当不同时为0时，方程表示直线， 例如，此时表示的是一条直线，故A错误； B选项，直线与平行，故两平行线距离即为的最小值， 即，故两平行线距离为，B正确； C选项，当截距为0时，设直线方程为，将代入得，故直线方程为， 当截距不为0时，设直线方程为，将代入得， 则直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为或，C错误； D选项，直线与相交于点， 故， 两点确定一条直线，则过点，的直线方程为，D正确. 故选：BD 9．（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 10．（多选）在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（   ） A．原点到直线的距离为 B．任意，点在直线上 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．原点与点关于直线对称 【答案】ABC 【分析】应用点线距离公式求点线距离判断A，将点代入直线方程确定等式是否成立判断B，先求出坐标轴上的截距，进而求出围成的三角形的面积判断C，应用两点式求斜率，结合直线方程判断两直线是否垂直判定D. 【详解】A：由题设，原点到直线的距离为，对， B：由， 所以任意，点在直线上，对， C：令，则， 令，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，对， D：由原点与点所成直线的斜率为， 而直线的斜率为，显然其不与直线垂直， 所以原点与点不关于直线对称，错. 故选：ABC 题型二 两点间距离公式的应用 1．已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 2．已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题求出的中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长. 故选：B. 3．已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 4．点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得直线恒过定点，记点为点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式，计算可得结果. 【详解】由得， 令，则，解得， 故直线恒过定点， 记点为点，当与直线垂直时， 点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D 5．点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 6．在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】设 ，由直线的斜率与直线的斜率的差是2，得到点 M 的轨迹方程， ；由，化简得到， 利用换元法令 ，求解得到. 【详解】设 ， 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2， 所以， 化简得到点 M 的轨迹方程， ， 由，将代入得到 ， 令得到且， 所以，（且）为开口朝上的二次函数，对称轴 当时，，所以. 故选：A. 7．（多选）一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（    ） A．直线AB的斜率是 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】选项A应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点关于轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点的坐标；选项D应用两点间距离公式求解即可. 【详解】对于A，由于、，由斜率公式得：，选项A正确； 对于B，点关于轴的对称点的坐标为，经x轴反射后直线的斜率为： ，且，所以，选项B正确； 对于C，直线即直线的方程为：，即， 将代入得：，所以点，，选项C不正确； 对于D，由两点间距离公式得：，选项D正确； 故选：ABD. 8．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是（    ） A．(－4，5) B．(－3，4) C．(－1，2) D．(0，1) 【答案】BC 【分析】根据两点间的距离公式求得正确选项. 【详解】设所求点的坐标为， 则，解得或， 所以所求点的坐标为或. 故选：BC 9．(多选)下列说法正确的是（   ） A．若直线不经过第三象限，则 B．方程表示的直线都经过点 C．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】BD 【分析】对于A，分和两种情况讨论即可判断，对于B，由，令，解出即可判断，对于C，由，又，解出即可求解，对于D，先求点关于对称点，由，利用两点间距离即可求解. 【详解】对于A，由直线不经过第三象限， 当时，直线不经过第三象限，所以， 当时，直线不经过第三象限，所以， 故A错误； 对于B，由题意有，令，得， 解得，所以方程表示的直线都经过定点，故B正确； 对于C，由，又，所以或，故C错误； 对于D，由关于轴的对称点为，所以，所以的最小值是5，故D正确； 故选：BD. 题型三 点到直线的距离公式 1．点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 2．已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 3．“”是“两点到直线的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】两点到直线距离相等分两种情况，或过的中点，结合斜率和中点公式即可求解，再由命题的充分、必要条件判断即可. 【详解】“两点到直线的距离相等”“或过的中点”. 当时，由得，； 当过的中点时，由的中点为得，. 所以“两点到直线的距离相等”“”， 故选：A. 4．存在实数使得点在直线上，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点在直线上转化为直线与圆有公共点的问题，再用几何法解得. 【详解】由同角三角函数基本关系，可知点一定在单位圆上. 存在使得在直线上，等价于直线与单位圆有公共点. 将直线整理为一般式：，单位圆圆心为，半径. 直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离： 两边平方得：， 整理得，即，解得： . 因此的取值范围是. 5．已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【答案】A 【分析】设直线的方程为，根据所过的点得，再根据点到直线的距离公式求出或. 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. 6．若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离求解. 【详解】，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 7．已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（   ） A．0或6 B．或7 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据定点到动直线的距离最大值列式求解即可. 【详解】设定点，则点到直线的距离的最大值为， 解得或6. 故选：A. 8．（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 9．（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 10．（多选）下列结论正确的是（   ） A．若、、三点共线，则的值为0 B．经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程为 C．已知两点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 D．经过直线和直线的交点，且和原点相距为的直线一共有三条 【答案】AC 【分析】A选项，根据可知直线重合，从而三点共线；B选项，根据截距互为相反数可知直线过原点也符合，可判断B选项错误；C选项，作出图形，结合斜率的变化情况求解；D选项，先求出直线的交点，结合点到直线的距离公式求解. 【详解】共线时，意味着直线重合，此时，即，解得，A选项正确； 当直线经过原点和时，方程为，在横纵坐标上截距都是，也互为相反数，符合题意，答案不完整，因此B选项错误； 如图，，于是结合图形可知，的取值范围为，C选项正确； 先求得和直线的交点为， 当直线斜率不存在时，，显然和原点距离是； 当斜率存在时，设，由原点到直线的距离是， 解得，即符合题意的直线有，，共两条，D选项错误. 故选：AC 题型四 两平行线之间的距离公式 1．直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线，直线平行， 则直线与间的距离为. 2．若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 3．已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 4．若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用两直线平行的关系和两平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，它们之间的距离是， 所以，解得， 即直线为：，即， 又两条直线之间的距离是， 所以有：，解得：或（舍去）， 所以． 5．若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 6．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解. 【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线， 则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离． 设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0， 根据平行线间的距离公式得 所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6， 即l：x＋y－6＝0. 根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为. 故选：A. 8．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【详解】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得， 直线方程为，故D错误. 9．（多选）已知直线：，则下列说法正确的是（   ） A．与直线垂直 B．在轴上的截距为2 C．与圆相离 D．与直线之间的距离为 【答案】AD 【分析】根据线线垂直、直线的截距式方程、直线与圆的位置关系、平行线间的距离公式逐项计算即可. 【详解】选项A：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以直线与直线垂直，A正确. 选项B：令，得，所以在轴上的截距为，B错误. 选项C：圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，C错误. 选项D：直线与直线平行， 由平行线间的距离公式可知，D正确. 故选：AD. 10．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ）. A．直线在上的截距为1 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线与直线的距离为 【答案】CD 【分析】令可判断A；由方程判断两直线的位置关系可判断B；利用两直线斜率相等纵截距不等可判断C；利用平行线之间的距离公式可判断D 【详解】直线，令得，故直线在上的截距为，A错误； 直线斜率为，直线斜率为，两直线的斜率乘积为1不是，故两直线不垂直，B错误； 直线即，直线斜率为，纵截距为， 直线即，直线斜率为，纵截距为， 两直线的斜率相等，纵截距不等，所以直线与直线平行，C正确； 直线与直线即之间的距离，D正确. 故选：CD. 题型五 关于点的对称问题 1．点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中点的坐标公式求解即可. 【详解】点与点的对称中心是的中点， 所以对称中心的坐标为， 故选：C 2．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 3．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设，关于对称的点必在上，若该点为， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C 4．直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 5．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 6．不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 7．直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出. 【详解】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（）， 点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去）， 所以直线的方程是. 故选：A. 8．（多选）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 【答案】ABD 【分析】利用点关于直线的对称的性质求解判断A；利用直线关于点对称直线的求法求解以判断B；利用平行求出斜率，再利用点斜式求出直线方程判断C，利用直线垂直的系数关系判断D. 【详解】对于A，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点关于直线的对称点为，正确； 对于B，设直线上的点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，正确； 对于C，直线的斜率为2，所以所求直线的斜率也是2， 则所求直线为，即，错误； 对于D，当时，， 故直线与垂直，正确； 故选：ABD. 9．（多选）下列选项正确的是（     ） A．过点且和直线平行的直线方程是 B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 C．直线关于对称的直线为 D．原点到直线的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】利用平行关系求出直线方程判断A；由斜率求出倾斜角范围判断B；由中心对称判断C；求出直线所过定点判断D. 【详解】对于A，设与直线平行的直线方程为， 而该直线过点，则，解得，所求方程为，A正确； 对于B，当时，，得，B错误； 对于C，直线过点，而关于的对称点不在直线上，C错误； 对于D，直线恒过定点，令原点为，当且仅当垂 直于直线时，原点到该直线距离最大，为，D正确. 故选：AD 10．（多选）下列说法正确的有（ ） A．直线的倾斜角为 B．点在同一条直线上 C．直线关于点对称的直线方程是 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 【答案】BCD 【分析】A先求斜率，进而可得倾斜角；B利用两点的斜率公式即可判断；C求出直线上的点关于点的对称点，确定对称点横纵坐标关系判断；D根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于A，直线的斜率，结合倾斜角范围知，直线倾斜角为，故错误； 对于B，，，显然所在直线的斜率相同且有共同点，则三点共线，故正确； 对于C，设直线上点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，故正确； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两不同点，的直线，故正确. 故选：BCD 题型六 关于直线的对称问题 1．一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 2．一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 3．一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设 ，根据题意，易判断点 在轴的同一侧，所以 ，则点 关于 轴的对称点为 ，根据对称及两点间的距离公式可求得的值，从而求得反射光线所在直线的方程. 【详解】设 ，根据题意，点在轴的同一侧， 所以 ，点关于轴的对称点为 . 因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 .    反射光线所在的直线即直线 ，由 ， 得直线 的斜率为， 所以其方程为，即 . 故选：D. 4．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 5．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 6．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 7．已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    8．（多选）下列结论错误的是（　　） A．过点的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，点在轴上，则的最小值是6 【答案】ABCD 【分析】通过直线斜率、垂直条件、平行直线距离公式、对称点法，分别验证各选项的正确性，确定错误结论. 【详解】选项A： 过点、的直线斜率，倾斜角满足， 而，A选项错误. 选项B： 直线垂直的条件为斜率乘积为. 直线的斜率为， 直线的斜率为，故，解得，B选项错误. 选项C： 将直线化为， 两平行直线距离为，C选项错误. 选项D： 取关于轴的对称点， 的最小值为，D选项错误. 故选：ABCD 9．（多选）下列结论正确的是（   ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】BD 【分析】求出直线倾斜角判断A；利用垂直关系求出判断B；求出两条平行线间距离判断C；利用对称求出最小值判断D. 【详解】对于A，直线倾斜角为，斜率，，A不正确； 对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确； 对于C，平行线间的距离，C不正确； 对于D，令点关于轴的对称点为， 连结交轴与，为轴上任一点，连接， 如图，则， 当且仅当点为线段与轴的交点时取等号， ， 因此，的最小值为5，D正确. 故选：BD 10．（多选）已知，，P是直线上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】先求出B关于直线l对称的点为坐标，分析可得当三点共线时，的最小值，计算即可判断A、B的正误；当三点共线时，有最大值，计算即可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】设点B关于直线l对称的点为， 则，解得，即. 连接，与直线l交于点M，如图所示 当点P与点M重合时，， ， 当点P与点M不重合时，， 综上，的最小值为，故A错误，B正确. 连接AB并延长，交直线l于点N，如图所示 当点P与点N重合时，， ， 当点P与点N不重合时，， 综上，，即的最大值为，故C正确，D错误. 故选：BC 课时精练 一、单选题 1．点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 2．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 3．若直线与平行，则与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两条直线平行求得直线的方程，再由平行线的距离公式可得. 【详解】由两条直线与平行， 所以，即，解得. 所以直线，即. 再由两条平行直线的距离公式得：. 故选：D. 4．已知，，，则这三点（   ） A．构成等腰三角形 B．构成直角三角形 C．构成等腰直角三角形 D．不能构成三角形 【答案】D 【分析】根据空间三点的坐标确定直线的方向向量，进而确定. 【详解】由，，， 则，， 则，又有公共点， ,,三点共线， 所以三点不能构成三角形. 故选：D. 5．已知点，，点在轴上，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】点，，点在轴上， 点关系轴的对称点为， . 故选：B. 6．已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设直线的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 7．在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 【答案】D 【分析】先求出关于直线和轴的对称点坐标，然后根据对称的性质计算的周长即可. 【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，四点共线， 则的周长等于. 故选：D. 8．已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，设点在点的左下方，推导出点，利用两点间距离公式计算 ，利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题解决． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为 ， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点， 则，连接，交直线于点， 则即的最小值， 且， 故的最小值为．    故选：A. 二、多选题 9．（多选）下列结论错误的是（    ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是6 【答案】AD 【分析】A选项，求出直线的斜率，进而判断出倾斜角的大小；B选项，利用两直线垂直关系得到方程，求出a；C选项，利用两平行线间距离公式求出平行线间距离；D选，作出辅助线，利用对称思想求出最小值. 【详解】对于A，直线的斜率，设其倾斜角为，则， 由于在上单调递增，故， 故倾斜角小于，A错误； 对于B，由直线与直线垂直，得， 解得，B正确； 对于C，直线化为， 因此两平行直线的距离，C正确； 对于D，点关于x轴的对称点为， 连接交x轴于点，点是x轴上任意一点， 连接， 于是， 当且仅当点与重合时取等号， 因此，D错误. 故选：AD 10．（多选）下列结论正确的有（    ） A．过点，的直线的倾斜角为45° B．若直线与直线垂直，则 C．已知，及x轴上的动点P，则的最小值为5 D．直线与直线之间的距离为 【答案】ABD 【分析】求出直线斜率判断A；利用垂直关系求出判断B；利用对称方法求出两点的距离判断C；求出平行间距离判断D作答． 【详解】对于A，直线的斜率，则直线的倾斜角为，A正确； 对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确； 对于C，关于轴对称点，连接交轴于点， 在轴上任取点，连接，，，，如图， ， 当且仅当点与重合时取等号， 因此，C错误； 对于D，直线与直线平行， 直线化为，两条直线间距离为，D正确． 故选：ABD 11．（多选）下列结论不正确的是（    ）． A．过点，的直线的倾斜角为 B．直线恒过定点 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是5 【答案】ABC 【分析】A选项，求出过点，的直线的斜率，进而得到倾斜角不为；B选项，变形后得到方程组，求出恒过点；C选项，直线变形为，利用两平行线间距离公式求出答案；D选项，在坐标系中画出点的坐标，利用对称性求出的最小值. 【详解】A选项，过点，的直线的斜率为， 设直线倾斜角为，则，由于， 故过点，的直线的倾斜角不为，A错误； B选项，直线变形得到， 令，解得， 故直线恒过点，B错误； C选项，直线变形为， 故与直线之间的距离是，故C错误； D选项，在平面直角坐标系中画出，，两点都在轴上方， 画出关于轴的对称点，连接，与轴交于点， 则即为的最小值， 则，D正确. 故选：ABC 三、填空题 12．两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 13．在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 【答案】6 【详解】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线，所以. 故的最小值为6. 14．已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】首先求解点关于直线的对称点，再根据即可求解答案. 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 故答案为： 四、解答题 15．已知平行四边形中，． (1)求点坐标； (2)求对角线的长； (3)设平行四边形对角线交点为，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，可求点坐标. （2）利用两点间的距离公式求. （3）利用求的坐标. 【详解】（1）如图： 设，由 ， 所以 . 所以点坐标为. （2）. （3）为的中点， 所以. 16．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 17．已知的顶点的中点为的中点为所在直线的方程为所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据已知条件设点的坐标，结合中点在两条直线上，即可求得所设点的坐标，进而求得直线方程； （2）由（1）可以求得，结合点到直线的距离和三角形的面积公式即可求得. 【详解】（1）由点在上，设点的坐标是， 则的中点在直线上，于是，解得，即点， 设点的坐标是，则的中点在直线上，于是，解得，即， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）可得， 又点到直线的距离. 所以的面积. 18．已知三条直线，直线，且与的距离是. (1)求a的值； (2)若点P同时满足下列条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P在直线上，求点P的坐标. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）用平行线间距离公式求参数即可. （2）用点到直线的距离公式直接求解即可 【详解】（1）直线方程为， ∴和距离为， 解得 （2）设点， 若点P满足条件②，则P在与，平行的直线上， 且，得或， 所以或. 若满足条件③，联立方程解得，舍去， 或者联立方程解得，为所求点. 19．已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 【答案】(1)答案见解析； (2)平行时距离为，相交时最大夹角为． 【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可； （2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为． 【详解】（1），且时，两直线相交， 时，两直线方程分别为和，两直线重合， 时，两直线方程分别为和，两直线平行． 综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行． （2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为， 两直线相交时，且， 时，的斜率为，的斜率为， 由得，即时两直线垂直，夹角最大为． $ 2.3 直线的交点坐标与距离公式 【基础回顾】 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 直线的交点 求直线 与直线 的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组 的解即可。 若有 ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有 ，则方程组无解，此时两直线平行； 若有 ，则方程组有唯一解， 此时两直线相交， 此解即两直线交点的坐标。 知识点 2: 过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫作直线系方程，直线系方程中除含有 以外，还有根据具体条件取不同值的变量， 称为参变量， 简称参数。 由于参数取法不同， 从而得到不同的直线系。 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线 交点的直线方程为 ，其中 是待定系数。 在这个方程中， 无论 取什么实数，都得不到 ，因此它不能表示直线 . 知识点 3: 两点间的距离公式 两点 间的距离公式为 . 知识点 4: 点到直线的距离公式 点 到 距离为 . 注意：（1）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离（这是从运动观点来看的）。 （2）若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离。 （3）点到直线的距离公式适用于任何情况，其中点 在直线 上时，它到直线的距离为 0 . 知识点 5: 两平行线间的距离 常见的有两种解法： ① 转化为点到直线的距离问题， 在任一条直线上任取一点， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离； ② 距离公式： 直线 与直线 的距离为 . 注意： 利用两条平行直线间的距离公式 时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中 的系数分别是相同的以后，才能使用此公式。 知识点 6: 直线与点的对称问题的方法 求线段垂直平分线 已知 ,求线段 的垂直平分线 的方程的方法如下: (1) 线段 的中点 的坐标为 ; (2) 当 时,求直线 的斜率 ; (3) 线段 的垂直平分线 的斜率 ； (4) 线段 的垂直平分线 的方程为 点 关 于 直 线 的对称关系 点 关于点 的对称点 的问题,主要依据两项原则: 1 是线段 的中点. 2 与点 所在的直线相互垂直. 设点 关于直线 的对称点为 ,则 可求 . 直线关于点的对称问题 求直线 关于点 对称的直线 的步骤: 方法一:回代法 (1)在 上任取一点 ； (2) 求 关于 的对称点 ； (3) 将 的坐标代入直线 的方程，化简得所求 的方程. 方法二: (1) 直线 与直线 的斜率相同，所以只需要求出直线 所过一点,即可求出直线 的方程; (2) 在直线 上任取一点 ; (3) 求 关于 的对称点 . (4) 将 的坐标代入所设直线 的方程，化简得所求 方程 方法三: 在已知直线上找两点,求出这两点关于点 的对称点, 根据求出的两个对称点求出对称直线. 方法四:直线 与直线 的斜率相同,根据对称点到两直线距离相等求出对称直线. 直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称有两种类型: (1)若已知直线 与对称轴 相交于点 ，则交点 必在 关于 对称的直线 上,再求出 上除点 外任意一个已知点 关于 对称的点 ,那么经过交点 及点 的直线就是 . (2)若已知直线 与对称轴 平行,则 关于 对称的直线 到直线 的距离和 到直线 的距离相等,由平行直线系和两条平行直线间的距离公式即可求出 关于 对称的直线 . 题型一 直线的交点问题 1．直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．直线与直线的交点在（    ） A．直线上 B．圆上 C．椭圆上 D．双曲线上 4．已知两定点，，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知两直线和的交点为，则过 两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若方程表示直线，则 B．分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 D．直线与相交于点，则过点，的直线方程为 9．（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 10．（多选）在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（   ） A．原点到直线的距离为 B．任意，点在直线上 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．原点与点关于直线对称 题型二 两点间距离公式的应用 1．已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 2．已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 6．在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 7．（多选）一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（    ） A．直线AB的斜率是 B． C． D． 8．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是（    ） A．(－4，5) B．(－3，4) C．(－1，2) D．(0，1) 9．(多选)下列说法正确的是（   ） A．若直线不经过第三象限，则 B．方程表示的直线都经过点 C．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 题型三 点到直线的距离公式 1．点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．“”是“两点到直线的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．存在实数使得点在直线上，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 6．若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 7．已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（   ） A．0或6 B．或7 C．6 D．7 8．（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 9．（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）下列结论正确的是（   ） A．若、、三点共线，则的值为0 B．经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程为 C．已知两点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 D．经过直线和直线的交点，且和原点相距为的直线一共有三条 题型四 两平行线之间的距离公式 1．直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 3．已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 4．若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 5．若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 7．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 8．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 9．（多选）已知直线：，则下列说法正确的是（   ） A．与直线垂直 B．在轴上的截距为2 C．与圆相离 D．与直线之间的距离为 10．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ）. A．直线在上的截距为1 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线与直线的距离为 题型五 关于点的对称问题 1．点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 3．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（  ） A． B． C． D． 4．直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 6．不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 9．（多选）下列选项正确的是（     ） A．过点且和直线平行的直线方程是 B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 C．直线关于对称的直线为 D．原点到直线的距离的最大值为 10．（多选）下列说法正确的有（ ） A．直线的倾斜角为 B．点在同一条直线上 C．直线关于点对称的直线方程是 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 题型六 关于直线的对称问题 1．一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 3．一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 7．已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（多选）下列结论错误的是（　　） A．过点的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，点在轴上，则的最小值是6 9．（多选）下列结论正确的是（   ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 10．（多选）已知，，P是直线上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 课时精练 一、单选题 1．点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 2．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 3．若直线与平行，则与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则这三点（   ） A．构成等腰三角形 B．构成直角三角形 C．构成等腰直角三角形 D．不能构成三角形 5．已知点，，点在轴上，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 6．已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 8．已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）下列结论错误的是（    ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是6 10．（多选）下列结论正确的有（    ） A．过点，的直线的倾斜角为45° B．若直线与直线垂直，则 C．已知，及x轴上的动点P，则的最小值为5 D．直线与直线之间的距离为 11．（多选）下列结论不正确的是（    ）． A．过点，的直线的倾斜角为 B．直线恒过定点 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是5 三、填空题 12．两平行直线与间的距离为______． 13．在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 14．已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 四、解答题 15．已知平行四边形中，． (1)求点坐标； (2)求对角线的长； (3)设平行四边形对角线交点为，求的坐标． 16．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 17．已知的顶点的中点为的中点为所在直线的方程为所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求的面积. 18．已知三条直线，直线，且与的距离是. (1)求a的值； (2)若点P同时满足下列条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P在直线上，求点P的坐标. 19．已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. $