四川遂宁市2025-2026学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题

**基本信息** 高2028届高一下期期末数学试卷，以复数、向量、统计、立体几何、解三角形为核心，通过AI知识竞赛情境题、翻折问题等综合大题，考查数学抽象、空间观念、数据意识，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数实部虚部、向量运算、中位数、线面关系|单选基础与多选辨析结合，如第9题向量命题判断| |填空题|3题15分|复数模、样本方差、函数图象与二面角|第14题函数图象折叠考查空间想象| |解答题|5题77分|向量夹角、统计直方图（AI竞赛）、正四棱锥表面积、解三角形周长、翻折体积|16题AI竞赛情境体现数据意识，19题翻折问题考查空间观念与推理能力|

高2028届高一下期期末教学质量监测 数学试题参考答案及评分意见 一、选择题 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C 心 D B D BC ACD AB 答案 D 二、填空题 v2 12.v10 13.2 14.2 x=λ 15.【详解】(1)因为后/，且a为非零向量，故存在实数，使得：=a,故13=22 2分 故5+-（0 …4分 故6+=3 .6分 (2)因为(a+c)16,故(a+ci=0, .7分 而a+c=(+1,5),故-3(cx+1)-15=0,故x=-6,故c=(-6,3). 10分 9 故c0s0= b.c 0 丽 V18×V4510 13分 16.【详解】(1)(a+0.015+2×0.03+0.02)×10=1,故a=0.0053 分 (2)前两组频率之和为0.05+0.15=0.2，则样本数据的第35百分位数落在第三组5 高一数学试题参考答案第1页（共5页） 分 设第35百分位数为m,则(m-70)×0.03=0.35-0.2,解得m=759分 (3)由题意，成绩在[80,90)，[90,10]内的人数分别为30,20，…11分 所以成绩在[80,10]内的平均数为：-85×30+95×20 89 50 所以，成绩在80,10]内的平均数为89… .15分 17、【详解】(1)设底面ABCD的边长为a,因为O为底面中心，E为BC的中点，所 以OE1BC且OE=,底面积为，已知50=3，在R△S0 .2分 侧面职为c45-2a.3分 因为侧面积是底面积的2倍，则有2a~SE=2a2 因为。>0解得E=a代入$6=V9+ a 得a= /9+ 5分 解得a2=12,则a=2V5(负根舍)，即SE=2√3 6分 (2)由(1)得侧面积为2a2=24,底面积为a2=128分 则表面积S=24+12=36. 10分 (3)由题意得底面ABCD为正方形，则BC1IAD,BC￠平面SAD,ADc平面SAD 所以BC/平面SAD.12分 且BCC平面SBC,平面SBC∩平面SAD=1,则l/BC15分 18.【详解】(1)因为b=5 3 -csin A+acosC 由正弦定提得m8-5mCsn4+m1o心C 又因为B=x-(4+0,可得sm4+0= 3sin Csin 4+sin Acos C.. 所以sin AcosC+cosAsin C=5 -sin Csin 4+sin Acos C 高一数学试题参考答案第2页（共5页） 所以csAsinC= sin Csin A.. 3 .2分 因为0<C<所以nC0,可得s4= sinA,所以tanA=V5, 3 叉因为0<4K,故4= 3 .4 分 因为b=1,c=3,由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA=1+9-3=7, 故a=V7 …6 分 a2W21 21 2r= 设△4BC外接圆的半径为”，由正弦定理可得snA3,则 3 7分 33 8分 ②因为a=5,4=,所以2R=a 2 sinA .10分 所以周长L=ab+e=5+2mB+2mC=5+2a8+2anx-(9+引 12分 =5+2n8+2sma+}-5+25ma+君 6 14分 因为三角形1aC为锐角三角形，所以8（后引.所以8+气行号】 π_π2π 15分 当8+君时，周长取得8大值，此时L=a+6+6=5+25=35 17分 高一数学试题参考答案第3页（共5页） 19.【详解】(1)要使三棱锥P-ACD的体积最大，即点P到平面ADC的距离最大. 所以平面APC⊥平面ADC,取AC中点E,连接PE, 则PE⊥AC,又AC为交线，PEc平面PAC, 所以PE⊥平面ADC,即三棱锥P-ACD的高为PE1分 :∠CMD=60,4D=24C=4PE=54C=5x4=252分 2 s-m×PE-有分2x25x25=44分 (2)AD⊥PC,AD⊥DC,PCODC=C,PC,DCc平面PDC,ADa平面PCD ∴AD⊥平面PCD,由PDC平面PCD, :.ADLPD,PD=AP-AD =213.PC=4,CD=23, 过P作PT⊥DC于T,连接AT, ~PTc平面PDC,AD⊥PT,又AD∩CD=D,AD,CDc平面ADC, PT⊥平面ADC,LPAT即为直线AP与平面ADC所成角6分 在等腰三角形PDC中，PD=CD=2V3,PC=4, 所以cs∠PDC=PD+DC2-PC1 2PD·DC 3 则sn∠PDC=-ws∠Pnc-- 12√2 3 所以Sm-)DP,DC-sin∠PpC=4N2, P7=2Sm=4V6 CD 3 .8分 设直线4p与平面4DC所成角为p,故m0-P?-6 PA3 n..10分 (3)设∠PAD=,∠PCD=B, PD2=PA2+AD2-2PA.ADcosa=PC2+CD2-2PC.CDeos 即cosa-V3cosB=- 2①… .11分 高一数学试题参考答案第4页（共5页) 令y=SAp4D+SAp0c=4(Sind+V3c0Sf)②.12分 (①×4)2+②得 y2+4=64-32V3c0S(Q+f),15分 1 ,取最大值时即三使维的表面积最大时，《+0：x'代入①式得心： 21+5, ∠PAD的余弦值为-1=1-V3 2(1+√3)4 .17分 高一数学试题参考答案第5页（共5页） 高2028届高一下期期末教学质量监测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题，满分58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数, 是虚数单位, 若的实部与虚部相等，则实数的值为 A． B． C． D． 2．已知向量，，则= A．1 B．8 C． D．2 3．某班5名学生一次物理测试的成绩如下：67，76，73，81，85，则这组数据的中位数为 A．73 B．76 C．81 D．83 4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5．在中，，则 A． B．或 C． D．或 6．如图，在长方体中，，，，点分别为 的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 A． B． C． D． 7．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量 上的投影向量为 A． B． C． D． 8．在中，角的对边分别是满足，若 为上靠近的一个三等分点，且，则面积的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项中，正确的是 A．若向量，满足，则或 B．若非零向量与相等，则，重合 C．在平行四边形中， D．若与是共线向量，且，则 10．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，且，则为直角三角形 C．若，，，则满足条件的三角形有两个 D．若，则不是锐角三角形 11．如图1，在直角梯形中，，，，，，分别是的中点，现把，，分别沿，，，折起，使得点重合为一点，得到如图2所示的四面体，则下列说法中正确的是 A．平面 B．三角形的面积为8 C．四面体内切球半径为 D．二面角的余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知复数，则 ▲ . 13．已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为 ▲ . 14．如图绘制有函数的部分图象，图象与轴的交点为，其中分别为最高点和最低点，此时，若将此图沿着轴折叠形成一个钝二面角，夹角为120°，此时.则 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知平面向量，满足，，． （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值． ▲ 16．（15分）人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）求第35百分位数； （3）已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数. ▲ 17．（15分）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设 的中点为，底面中心为. （1）求的长度; （2）求正四棱锥的表面积； （3）设平面平面，求证：； ▲ 18.（17分）在中，角所对的边分别为，已知 ． （1）若，，若外接圆圆心为，求的值. （2）若，求锐角周长的最大值． ▲ 19.（17分）如图：等边三角形和直角三角形，， ，，绕翻折，使点到达点． （1）求三棱锥的体积最大值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在点运动过程中，当三棱锥表面积最大时，求的余弦值. ▲ 高一数学试题第4页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $