河南驻马店市部分校2025～2026学年第二学期期末测试高二数学试题

2025~2026学年度第二学期期末测试 高二数学试题 本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或 碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效」 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.通项公式为a.=1-2n(n∈N*)的等差数列{an}的公差为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.f(x)=e在点(0,1)处的切线方程为 A.y=1 B.y=x-1 C.y=x D.y=x+1 3.若i=(1,2,-2),2=(-2,3,2)分别为直线1，l2的一个方向向量，则1与12的 位置关系是 A.L1∥2 B.1与l2相交，但不垂直 C.l1⊥2 D.不能确定 4.若对任意的k∈R,直线y=k(x+1)与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)总有2个公 共点，则实数r的取值范围是 A.（4,+∞) B.（6,+∞) C.[4,+o∞) D.[6,+o） 5已知P(4=3,P(B)= 3 0P(A+B)=O则P(A1B)= 9 c号 D. 7 高二数学第1页（共4页) 我75双曲线C气1(0>0，b>0)交于A,B两点，存在以M AB的中点，则C的离心率e的取值范围是 A.(1,3) B.(3,+oo) C.(1,5) D.(W5,+∞) 7已知)=十2o,为等差数列，0为坐标原点，直线1上三点A,BC满足 4*+2 2026 0A=a,·0B+a24·0d,则∑f(a,)= ；=1 41013 B.1013 C.2026 D.4052 2 8E知X-B(2026,子)，计算气P(X=2的值为 1013 -3-2027 B.1-1×3 11 C 2+2×306 D.11 2+ X3-2027 22 2 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为T,则 A.a1,a的等差中项为a3 B.b1,b的等比中项为b C.Sn,S2n-Sn,Sn-S2n,S4n-S3n,…为等差数列 D.Tn,T2n-Tn,T3n-Tm,Tn-Tn,…为等比数列 10.已知P是棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D1的表面及内部的点，满足 AP=xAB+yAD+zAA(x,y,z∈R),则 A.若AP⊥AD,则x=0,y=z B.若AP与AB,AD,CC三个向量的夹角都相等，则1AP1的最大值为23 C.若x+y+z=1,则点P的运动区域的面积为23 D当：-号时，存在P满是F.D=0 高二数学第2页（共4页） t2 1.已知椭圆M:25+9 =1的左右焦点分别为B,P,点P为椭圆M上的点，0为 坐标原点，则 A.若！0PI=4,则SaPR,2=9 B.M与圆(x- 2+（y- )2=16有四个交点 2026 2027 C△PF,R的重心G的轨迹方程为25 +y2=1(y≠0) D,△PB的内心I的轨迹方程为+ 9y2 1616 =1(y≠0) 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.现有7个“省级三好学生”名额计划分给四个学校，每个学校至少分一个名额， 则不同的分配方法有 种（用数字作答）. 13.数列{an}的前n项和记为Sn,a1=3,当n≥2时，3Sn+Sn-1=2n·an+3,则{an} 的通项公式为 14.关于x的不等式xe-入ln(x+1)-1≤0的解集中仅有3个整数，则实数入的 取值范围是 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（13分)数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=3m+1-3(n∈N*). (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前n项之积Tn 16(15分)已知函数)=c-分r2-a既+3a(aeR. (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)的极值点， 高二数学第3页（共4页) 17.（(15分)已知四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，∠PBA= ∠PBC=ax(0<< (1)证明：平面PBD⊥平面ABCD; (2)若1PB1=4,Q=3求平面PAB与平面PCD夹角 的余弦值； (3)取CD中点为M,当四棱锥P-ABCD的外接球体 积最小时，且直线MP与平面PBD所成角的正弦 为6 ,求1PD1的长 18.（17分)平面直角坐标系x0y中，动点P到直线x=-1的距离等于它到点D(0,1) 的距离，记点P的运动轨迹为W,过点M(1,1)的直线1与曲线W相交于A,B两 点，分别作A,B点处曲线W的切线1,2，l1与L2交于点Q (1)求曲线W的方程； (2)当S△oMB=3 SAOMA时，求直线1的方程； (3)求1PQ1的最小值 19.（17分)已知A,B两个盒子里放有除颜色外大小相同的小球，其中A盒子放有2个 黑球和1个白球，B盒子放1个黑球和2个白球.现从A,B两个盒子中各任取一个 球交换放人另一个盒子中，重复次这样的操作，记A盒子中黑球的个数为X,恰 有3个黑球的概率为P。,恰有2个黑球的概率为qm,恰有1个黑球的概率为rm (1)求P1,91,"1,92 (2)求Xn的数学期望E(Xn)(用含n的式子表示)； (3)记an=E(Xn),求数列{nan·3}的前n项和Tn 高二数学第4页（共4页)2025~2026学年第二学期期末测试 高二数学参考答案 一、 选择 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 A D D B C A 二、选择 题号 9 10 11 答案 AC BC ABD 三、填空 12.20 13. 6n-3 四、解答题 15.(1)由条件4，+4+a+a,=3m1-3① 当n≥2时，4+4+4+a-1=3”-3② 由①-②则n≥2时，a.=2×3” 又因当n=1时4=6，符合a=2×3” 因此可得{an}的通项公式a,=2×3”6分 (2)因Tm=44,4…a,=2×3×2×32×2×33××2×3” =2×3+243++n n(n+1) =2m×32 ....... 13分 16.(10当a=1时，f)=e-3-x+3, 则f()）=(x+1)e-X-1=(x+1)(e-1)】.1分 所以f(x)=(x+1)(e-1)>0,解得x>0或x<-1; 高二数学参考答案第1页共6页 f(x)=(x+1)(e-1)<0,解得-1<x<0; 因此f(x)的单调递增区间为：(-∞，1)，(0，+o) 单调递减区间为：（←1,0）6分 (2)由f(x)=(x+1)e-ax-a=(x+1)(e-a) 当a≤0时，由f(x)=0,则x=-1,且x∈(o,-1D时f(x)<0,f(x)递减；x∈(-l,+0) 时，f(x)>0,f(x)递增，此时x=-1为f(w)的极小值点，无极大值点…8分 当a>0时，由f(w)=0得x=-1或x=lna 若na<-1,即0<a<二时，f()>0得x<hna或x>-1,f()<0得na<x<-1, 此时x=na为f()的极大值点，x=-1为f(x)的极小值点；… …10分 若1a=-1,即a=时，f()≥0恒成立，f)单调递增，此时f)无极值点： 若ma>-1,即a>时，f)>0得x<-1或x>l血a,f(w)<0得-1<x<lna, 此时x=-1为f(x)的极大值点，x=lna为f(x)的极小值点；… 14分 综上：当a≤0时，f)的极小值点为x=-1,无极大值点. 当0<a<二时，fw)的极大值点为x=lma,极小值点为x=-l; 当a=时，f)无极值点： 当a>时，f)的极大值点为x=-1,极小值点为x=lna15分 17.(1)连接AC交BD于点o,链接oP，,如图 根据题意∠PBA=∠PBC,AB=BC,则△PBA≌△PBC 得PA=PC,从而PO⊥AC 又因AC⊥BD且BDOPO=O 根据线面垂直得判定定理可得ACL面PBD 也即平面PBD⊥平面ABCD得证.… .4分 ②由条件Pa=4∠PM=写AB=24C=25,从而可得AP=25,0P=i而，且AAB 高二数学参考答案第2页共6页 是直角三角形，AB⊥AP. 分别在△PBO,△PBD中，根据余弦定理可得 COS∠PBO= PB2+BO2-OP2 PB2+BD2-DP2 2BPx BO 2BPx BD 代入数据可得PD=2N2,也即PB2=PD+BD,PD⊥BD,PD⊥面ABCD. 所以PD⊥CD,PD⊥AD, 又因AB∥面PCD,CD∥面PAB,因此平面PAB与平面PCD的交线II∥AB∥CD 且AB⊥AP,PD⊥CD,则AP⊥I,PD⊥I,也即∠APD即为平面PAB与平面PCD夹 角0，因此cos0-PD25-6即为所求. 9分 ΓPA2√53 (3)当四棱锥P-ABCD的外接球体积最小时，也即其外接球的半径R最小.由于正 方形ABCD的外接圆半径r=√2，因此四棱锥P-ABCD的外接球的半径 R≥r=√2，从而外接球体积最小时R=√2. 此情况下，BD为四棱锥的外接球的一条直径，点P在平面 PBD内以BD为直径的圆周上，OP=号BD=V5. 在底面ABCD内作MN⊥BD于N点，则MNL面PBD,得 ∠AMv为MP与平面PBD所成角，sin MPN=Y6W 6 PM 血a-9-oN,得M-5,2w-5, 满足PW=OW2+OP 即OP⊥BD,从而PB=PD=2即为所求. .15分 18.(1)设P(x,),由题意则Vx2+(0y-1)y+11 整理得x2=4y,即W:x2=4y 3分 (2)当SgMB=3SeMA时，|BM=3MAL,也即BM=3MA 不妨设A(x,),B(x2,y),由M(1,1),则BM=1-x2,1-),MA=(x-1,乃-1) 高二数学参考答案第3页共6页 由BM=3MA,得1-x,=3(x-1),即x,=4-3x 根据题意直线1的斜率存在，不妨设1：y=k(x-1)+1 联立 x-)+1”整理得-4红+-4=0，由韦达定理可得 x2=4y x4收4)将2-2代4-4=4-3D中整理得 k(欣-1)=0，解得=0或k=1, 9分 即直线1的方程为y=1或y=x. .10分 ③)设Qm四，由广=5，则4，W处的切线方程为4：xx-2y-2y=0，即 x-2n-2y=0,同理1：xx-2y-2y2=0,xm-2-2y2=0 也即A(,),B(x2,y2)均在直线x-2n-2y=0,也即直线1：x-2n-2y=0,又因1过 点M(1,1),则m-2n-2=0,也即点2在定直线x-2y-2=0上14分 当广-营1，也即曲线即上点0宁处的切线与直线-2y-20平行，得 I Pe lmtin= 2235即为所求7分 5 10 19.(1)由条件则结合全概率公式得 _11_112,214 n33g53*39 224 339 12,21 22、41 9=B+gx(写x3+3×?+万5×学)=81 4分 (2)方法一：重复n+1次这样的操作后，根据全概率公式可得 1-1q P+1=9n×5× 3391 x2+2x 4=P+9x写X5+33 44 =P.+ 22 1221 m1=,×行x等+x(写×3+5×3)+0-D-4.-) 1-525 B 高二数学参考答案第4页共6页 2 从而可得3p+2gm+1=B+39.+写+l =36p,+2g.+月+1 也即弘+4号0以+246多 8分 又班2丝打名因此数列双+嘉引是以为首项，为公比得等比数列， 因此0)=n+2+7,-令+ 211分 5 方法二：由(1)河知EX)=3p+24+3 5分 由题意则(X)=E(X)-B(X)+3-X) 3 3 整理得K)-号x)+刊 即0xe0x)3,月)--日 也即8CX）是以后为首项，以写为公比的等比数列.10分 从而可得X0名+号+即为所求 .11分 x13=”3x3=0+3x30. 则m,3=3.+222 .13分 2 记bn=nx3”,则b}的前n项和Sn为： Sn=1×3+2×32+3×33+…+nx3① 即3S=1×32+2×33+3×34++x3+1② 由①-②得-2Sn=3+32+33++3”-n-3+1 =30-32-n3_3-3” 1-3 -2 -n.3n*1 即s3-”行s-er-3m- 2 闲此x?8 高二数学参考答案第5页共6页 -"ea0m司 =(2n-1)×3*2+2n2+2n+9 17分 8 高二数学参考答案第6页共6页