（预习篇）第五讲 圆的认识（一）【思维导图+识卡片+新知总结+五大考点讲练+难度分层练 共40题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五升六年级暑假衔接金牌讲义

null2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 暑假衔接 第五讲1 圆的认识（一) 思维导图+新知学习+五大考点讲练+难度分层练 (共40题) 【原卷版】 思维导图 浏览知识 知晓考点 新知学习 知识梳理 方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 分层训练 真题汇编闯关达标 小学数学 六年级/上册（新教材） 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以预习北师大版数学新教材六年级上册内容为主，讲义包含思维导 图，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题量充 分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清 晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学 得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图、知识卡片内容学习（导图，卡片结合人 教版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 思维导图考点指引 一、圆的认识 二、圆的大小与位置 1.圆的定义 1.圆的大小与什么有关？ 在平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周 另一个烤点所形成的图形叫做圆。 0 图的大小由半径（或直径）决定。 半径（战直径）越长，圆越大：反之，圆越小 2.圆的特征 圆心决定圆的位置， 圆上的点到中心的距离都相等】 半径决定圆的大小。 3.圆各部分的名称 圆心：圆的中心点，用字母0表示。 2.圆的位置与什么有关？ A 半径：连接圆心和圆上任息一点的线段，用字母r表示， 圆心确定在平面内的某个位直 圆的位置由圆心决定。 直径：通过图心并且两端都在圆上的线段，用字母d表示。 国就确定了它的位直 在同-个圆里，d=2r,r=d+2, 第二单元圆 三、练一练 五、探索活动 圆的认识（一） 1.画-个半径是1.5cm的图，并用字母0、下、d标出它的圆心、半径和直径 2.填表。 1.想一想，愿种方式公平？如果有更多人同时参加套圆活动呢？ 半径 2 dm 0.6cm 1.8dm 直径 5m 8.32m 3.填一填 2.结合前面的探素活动，你觉得圆有哪些特征？说一说。 圆上的点到中入 我国古代名若《墨经》中记我： “国，一中问长也。”你知道 四、拓展思考 的距离相等… 图的半径是()cm, 圆的半径是（）cm, 长方形的长是(）cm 是什么意思吗？ 人 直径是（)cm, 直径是（)cm, 宽是(）cm, 3.用因规画圆，认一认，说一说. 4.在没有园规的情况下，你能用哪些方法画园？ 同一个因中，所 网一个园中。直径是车径时 5.你能用圆的知识解释吗？想一想，说一说。 点0是圆心： 的半相等一 2倍。用字母表示 线段OA是半径，通常用字母r表示 井盖为什么 水滴落到水里形成的 线段BC是直径，通常用字母d表示。 做成圆形？ 随清为什么是圈的？ 想一想，为什么用图规可以画图呢 第2页共14页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 新知总结技巧点拨 探究活动：车轮为什么是圆的？ 1.实验发现 圆的车轮没有棱角， 这个图形也没 容易滚动。 有棱角呀。 看来要再找一找 圆和其他图形的 不同。 我发现圆形车轮滚动时，车轴 圆无论怎样对折 到地面的距离是一样的，而其 都能重合 他形状的车轮，比如… A⊙⊙⊙ 通过将圆形、正方形、正六边形等硬纸板沿直尺滚动，观察中心点（车轴）留下的痕迹： 圆形：滚动时，中心点留下的痕迹是一条直线。这说明圆心到地面的距离（即半径）始终保持不变，车子 行驶平稳。 其他图形（如正方形）：滚动时，中心点留下的痕迹是波浪线（起伏不平）。这说明中心到地面的距离在 不断变化，车子行驶颠簸。 第3页共14页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) A 圆滚动时，，点A留下 是不是正多边形的 的痕迹是一条直线。 正方形和正六边形… 边数越多，滚动就 越平稳？ 2.结论 车轮做成圆形，是因为圆心到圆上任意一点的距离都相等。当车轮在平面上滚动时，车轴（圆心）到地面 的距离始终等于半径，从而保证车辆行驶平稳。车轴应安装在圆心的位置。 3.生活中的圆及其应用解释 井盖为什么做成圆形？ 因为圆形的直径长度处处相等。无论井盖怎样翻转，其直径都大于井口的直径（或弦长），所以井盖不会 掉进井里，保障了安全。此外，圆形井盖便于滚动运输，且受力均匀。 水滴落到水里形成的涟漪为什么是圆的？ 第4页共14页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 水波向四周扩散的速度是相同的。在相同的时间内，水波传播的距离（即半径）相等，因此形成了圆形的 波纹。 其他应用：人们利用圆的特征设计了各种机械零件（如齿轮、轴承）和生活用品，利用了圆容易滚动、受 力均匀等特点。 画圆的方法 工具画圆：使用圆规。定圆心、定半径、旋转一周。 实物画圆：利用圆柱形物体（如杯子底）描边。 绳子画圆：固定绳子一端为圆心，拉直绳子另一端旋转（适用于画较大的圆）。 手指画圆：以手指关节为圆心旋转（适用于画较小的圆）。 新知学习 知识点一圆的特征与定义 1.圆的本质特征 我国古代名著《墨经》中 圆上的点到中心的 记载：“圆，一中同长也。” 距离相等… 你知道是什么意思吗？ “一中”指圆心：“同长”指圆上任意一点到圆心的距离都相等。 第5页共14页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 8 8 公平性原理：在套圈游戏中，只有当参与者围成圆形时，每个人到中心目标的距离才相等，游戏才是公平 的。这体现了圆“圆上的点到中心的距离相等”这一核心特征。 2.圆的各部分名称及表示 点O是圆心； 线段OA是半径，通常用字母r表示： 线段BC是直径，通常用字母d表示。 同一个圆中所有 同一个圆中，直径是半径的 想一想，为什么用 的半径都相等… 2倍，用字母表示… 圆规可以画圆呢？ 圆心(Center):画圆时，针尖固定的一点，通常用字母O表示。圆心决定了圆的位置。 半径(Radius):连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用字母r表示。半径决定了圆的大小。 直径(Diameter):通过圆心并且两端都在圆上的线段，通常用字母d表示。 3.同圆或等圆中半径与直径的关系 数量关系：在同一个圆里，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 第6页共14页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 公式表示：d=2rr= 性质：同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。 知识点二圆的决定因素 圆的位置：由圆心决定。圆心在哪里，圆就在哪里。 圆的大小：由半径（或直径）决定。半径越长，圆越大；半径越短，圆越小。 优选题型考点讲练 考点一圆的概念 【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课前预习)生活中除了车轮，井盖通常也是圆形的，这是因为圆 的所有直径都_一一一，井盖不会掉进井里。 【变式训练1】(25-26六年级下·辽宁沈阳·阶段检测)六年的数学学习中，我们认识了很多著名的中 外数学家，请你写出一位你了解的数学家的名字( ),它的杰出成就是( ）。 【变式训练2】(24-25六年级下·河北唐山·期末)下面是古希腊数学著作《几何原本》第一卷中的命 题1.1。请完成推理过程，说明三角形ABC是等边三角形。 要求：已知线段AB,以A为圆心AB为半径作圆①，以B为圆心AB为半径作圆②（如图）。 因为：A点是圆①的圆心，所以AB=()。 又因为：B点是圆②的圆心，所以AB=()。 所以：( )=( )。 所以：三条线段( )相等，三角形ABC是等边三角形。 C ①A B② 【变式训练3】(24-25六年级下·浙江台州·期末)师生玩游戏，为了使每个同学与老师的距离都相等， 同学们应该排成( )。 A.直线 B.正方形 C.圆形 D.长方形 第7页共14页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 考点二直径与半径的关系 【典例精讲】(25-26六年级上·陕西延安·期末)用圆规在一个长8cm,宽5cm的长方形纸上画一个尽 可能大的圆，圆规两脚间的距离应是( ）。 A.8cm B.4cm C.5cm D.2.5cm 【变式训练1】(25-26六年级上·福建泉州·期末)故宫博物院现有藏品乾隆款白套红玻璃莲瓣纹钵（如 图)，它的口径（钵圆口的直径）是10厘米，那么该钵圆口的半径是( )厘米。 【变式训练2】(2025-2026学年山西省吕梁市孝义市北师大版六年级上测期末测试数学试卷)研究圆时， 我们可以用这种方法找直径（如图），这个圆的直径是( )厘米。 T中中平 3cm45678910 【变式训练3】(25-26六年级上·陕西西安·期末)从一张长为30厘米，宽为20厘米的长方形纸上剪 一个最大的圆，剪下的圆的半径是( )厘米。 A.20 B.18 C.15 D.10 考点三圆的直径与半径关系的应用 【典例精讲】(25-26六年级下·北京延庆·期末)在下面的长方形中画一个最大的圆，圆规两脚张开的 距离是( )cmo 4cm 6cm A.2 B.3 C.4 D.6 【变式训练1】(25-26六年级上·吉林长春·期末)用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离保持3厘米 不变，但将针尖从点A移动到了点B,那么画出的两个圆( )。 A.大小相同，位置相同 B.大小不同，位置相同 C.大小不同，位置不同 D.大小相同，位置不同 第8页共14页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练2】(25-26六年级上·陕西咸阳·期末)圆规两脚之间的距离为4cm,那么画出的圆的直径 是( )cm。 A.2 B.4 C.8 D.12.56 【变式训练3】(25-26六年级上·广东清远·期中)如图是一面圆形铜镜残片。如果想画一个和铜镜大 小一样的圆，圆规两脚之间张开的距离是( 考点四画圆 【典例精讲】(24-25六年级上·陕西咸阳·期中)画一个直径是3厘米的圆，圆心为0，线段0A(点A 已给出)是这个圆的一条半径。 【变式训练1】(25-26六年级上·陕西西安·期末)画出一个直径为5厘米的圆，再在圆内画出最大正 方形。 【变式训练2】(25-26六年级上·广东深圳·期末)按要求画图。 请在长方形中画一个最大的半圆，并标出半圆的圆心与半径。 第9页共14页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练3】(24-25六年级上·辽宁·课后作业)操作与发现。 ①在不同的位置画两个大小相等的圆。 0 02 ②在同一位置画两个大小不相等的圆。 ·0 在画圆的过程中，我的发现：圆的( )决定了圆的位置，圆的（ )决定了圆的大小。 考点五圆的概念的探究 【典例精讲】(25-26六年级上·福建南平·期中)实践课上，老师布置大家在操场上画圆。因为没有足 够大的圆规，要想办法画出一个半径是5米的大圆，用于后续模拟操场游戏区域的规划。如果是你打算怎 么做？ 【变式训练1】(24-25六年级上·浙江金华·期末)画圆的方法有很多种，除了用圆规画圆外，还可以 用其他材料画圆，请你列举两种画圆的方法，并说明这两种画圆的方法和圆规画圆有什么共同的地方？ 【变式训练2】(24-25六年级上·辽宁·课后作业)体育老师想在操场上画一个半径是10米的圆，但 没有这么大的圆规，你能帮助老师想出画这个圆的办法吗？说一说，写一写。 第10页共14页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练3】如何在操场上画出一个半径是10米的圆？简要说说你的方法。 真题汇编 能力强化 【基础通关能力提升】 1.(26-27六年级上·全国·课前预习)古代人们运送大石料时，在石料下面放几根圆木，这利用了圆的 ）特征。 A.容易滚动且省力B.面积大 C.周长长 D.颜色好看 2.(2026·湖北·小升初真题)下列传统剪纸图案中，对称轴数量最多的是( )。 A.正方形 B.长方形 C.圆 D.等边三角形 3.(25-26六年级下·河南漯河·期末)下面图形中，对称轴条数最多的是( )。 A.正方形 B.圆 C.等边三角形 D.平行四边形 4.(24-25六年级下·河北保定·期末)战国时期《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也。”这表示圆 上任意一点到( )的距离相等，也就是同一个圆的( ）都相等。 5.(25-26六年级下·四川广安·期末)平行四边形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴。 6.(24-25六年级下·浙江宁波·期末)如图有3个相同的半圆，并已知一些线段的长度，半圆的直径是 27厘米。( )(判断对错) 9cm 12cm 24cm 7.(25-26六年级上·广东深圳·阶段检测)为了跳兔子舞，乐乐和小朋友们一起在地上画了一个半径是 5米的圆，你知道乐乐他们是怎样画圆的吗？请你用写一写、画一画的方式说明你的想法。 第11页共14页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 8.(24-25六年级上·广东惠州·期末)如图，放学后，明明和小丽以同样的速度沿直线回家，他们两个 谁先到家？说说为什么？ 学校 明明家 小丽家 9.(26-27六年级上·全国·课前预习)数学日记分析：小明在数学日记中写道：“我发现正方形的中心 点到顶点的距离比到边中点的距离长。”请问小明的发现对解释“为什么正方形做车轮会颠簸”有什么帮 助？ 10.(25-26六年级下·山东菏泽·期末)把左边的圆平移，使平移后的圆与右边的线段组成轴对称图形。 (1)圆应向右平移( )格。 (2)画出组成的轴对称图形的对称轴。 (3)对称轴通过圆心吗？它与已知线段有什么关系？ 【思维拓展拔尖训练】 1.(24-25六年级下·江苏南京·期末)在如图大长方形中画圆，圆的直径等于4个小正方形边长。这个 长方形中最多能画( ）个这样的圆。 第12页共14页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) A.8 B.9 C.10 D.11 2.(25-26六年级上·湖北孝感·期末)用一块长24cm,宽12cm的铁皮剪半径为3cm的圆，最多可以剪 )个。 A.32 B.16 C.8 D.4 3.(24-25六年级下·辽宁鞍山·期末)一张长方形纸长26cm,宽20cm,用它剪半径3cm圆，最多可以剪 )个。 4.(25-26六年级下·江苏徐州·期末)小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和一个中间有 圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直 径至少为( )厘米。 4厘米 5厘米 3厘米 5.（25-26六年级下·河南新乡·期末)如果一个等腰三角形中，有一个角是55°，那么这个三角形是 角三角形（填“锐”或“钝”）。一张长方形纸长20cm、宽12cm,用它剪半径2cm的圆，最多可以剪 个。 到0点。下面的右图可以描述蚂蚁与0点距离变化。()（判断对错) 距离 时间 第13页共14页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 18cm 8.(26-27六年级上·全国·课前预习)生活应用：杂技演员表演“独轮车走钢丝”，为什么独轮车的轮 子必须是圆的？如果换成三角形的轮子，演员还能平稳表演吗？为什么？ 9.(26-27六年级上·全国·课前预习)简答题：为什么椭圆形不能做车轮？请结合圆心（或中心）到边 缘距离的特点进行解释。 作图与解释：请在纸上画一个圆和一个正方形，分别标出中心点。如果让它们沿直线滚动一圈，请描述中 心点运动轨迹的区别。 10.（25-26六年级上·陕西渭南·期末)按要求涂一涂，画一画。 以点0为圆心，在下面方格纸中画一个直径为4厘米的圆，再在所画的圆中画一个圆心角为130°的扇形。 0 第14页共14页2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 六年级/上册（新教材） 小学数学 第五讲 圆的认识（一） 北师大版 分层训练 思维导图+新知学习+五大考点讲练+难度分层练 （共40题） 【解析版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 思维导图 新知学习 真题汇编 闯关达标 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以预习北师大版数学新教材六年级上册内容为主，讲义包含思维导图，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图、知识卡片内容学习（导图，卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 探究活动：车轮为什么是圆的？ 1. 实验发现 通过将圆形、正方形、正六边形等硬纸板沿直尺滚动，观察中心点（车轴）留下的痕迹： 圆形：滚动时，中心点留下的痕迹是一条直线。这说明圆心到地面的距离（即半径）始终保持不变，车子行驶平稳。 其他图形（如正方形）：滚动时，中心点留下的痕迹是波浪线（起伏不平）。这说明中心到地面的距离在不断变化，车子行驶颠簸。 2. 结论 车轮做成圆形，是因为圆心到圆上任意一点的距离都相等。当车轮在平面上滚动时，车轴（圆心）到地面的距离始终等于半径，从而保证车辆行驶平稳。车轴应安装在圆心的位置。 3.生活中的圆及其应用解释 井盖为什么做成圆形？ 因为圆形的直径长度处处相等。无论井盖怎样翻转，其直径都大于井口的直径（或弦长），所以井盖不会掉进井里，保障了安全。此外，圆形井盖便于滚动运输，且受力均匀。 水滴落到水里形成的涟漪为什么是圆的？ 水波向四周扩散的速度是相同的。在相同的时间内，水波传播的距离（即半径）相等，因此形成了圆形的波纹。 其他应用：人们利用圆的特征设计了各种机械零件（如齿轮、轴承）和生活用品，利用了圆容易滚动、受力均匀等特点。 画圆的方法 工具画圆：使用圆规。定圆心、定半径、旋转一周。 实物画圆：利用圆柱形物体（如杯子底）描边。 绳子画圆：固定绳子一端为圆心，拉直绳子另一端旋转（适用于画较大的圆）。 手指画圆：以手指关节为圆心旋转（适用于画较小的圆）。 新知学习 知识点一 圆的特征与定义 1. 圆的本质特征 “一中”指圆心；“同长”指圆上任意一点到圆心的距离都相等。 公平性原理：在套圈游戏中，只有当参与者围成圆形时，每个人到中心目标的距离才相等，游戏才是公平的。这体现了圆“圆上的点到中心的距离相等”这一核心特征。 2. 圆的各部分名称及表示 圆心 (Center)：画圆时，针尖固定的一点，通常用字母 表示。圆心决定了圆的位置。 半径 (Radius)：连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用字母 表示。半径决定了圆的大小。 直径 (Diameter)：通过圆心并且两端都在圆上的线段，通常用字母 表示。 3. 同圆或等圆中半径与直径的关系 数量关系：在同一个圆里，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的一半。 公式表示： 性质：同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。 知识点二 圆的决定因素 圆的位置：由圆心决定。圆心在哪里，圆就在哪里。 圆的大小：由半径（或直径）决定。半径越长，圆越大；半径越短，圆越小。 考点一 圆的概念 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课前预习）生活中除了车轮，井盖通常也是圆形的，这是因为圆的所有直径都______，井盖不会掉进井里。 【答案】相等 【思路引导】圆的基本性质：圆的所有直径长度都相等，无论怎么转动井盖，它的直径都不会比井口的直径小，所以圆形井盖不会掉进井里。 【规范解答】生活中除了车轮，井盖通常也是圆形的，这是因为圆的所有直径都相等，井盖不会掉进井里。 【变式训练1】（25-26六年级下·辽宁沈阳·阶段检测）六年的数学学习中，我们认识了很多著名的中外数学家，请你写出一位你了解的数学家的名字( )，它的杰出成就是( )。 【答案】 祖冲之 把圆周率精确到小数点后第7位 【思路引导】小学阶段学过的数学家很多，六年级上册《圆》这一节内容中有一位数学家叫祖冲之，他在数学上的成就是把圆周率精确到小数点后第7位，即，这项纪录保持近千年世界第一。（答案不唯一） 【规范解答】六年的数学学习中，我们认识了很多著名的中外数学家，请你写出一位你了解的数学家的名字祖冲之，它的杰出成就是把圆周率精确到小数点后第7位。（答案不唯一） 【变式训练12】（24-25六年级下·河北唐山·期末）下面是古希腊数学著作《几何原本》第一卷中的命题1.1。请完成推理过程，说明三角形ABC是等边三角形。 要求：已知线段AB，以A为圆心AB为半径作圆①，以B为圆心AB为半径作圆②（如图）。 因为：A点是圆①的圆心，所以AB＝( )。 又因为：B点是圆②的圆心，所以AB＝( )。 所以：( )＝( )。 所以：三条线段( )相等，三角形ABC是等边三角形。 【答案】 AC BC AC BC 都 【思路引导】在同一个圆中，所有的半径都相等，通过这个性质得出三角形三边都相等，三角形ABC是等边三角形。 【规范解答】因为：A点是圆①的圆心，所以AB＝AC； 又因为：B点是圆②的圆心，所以AB＝BC； 所以：AC＝BC； 所以：三条线段都相等，三角形ABC是等边三角形。 【变式训练3】（24-25六年级下·浙江台州·期末）师生玩游戏，为了使每个同学与老师的距离都相等，同学们应该排成（    ）。 A．直线 B．正方形 C．圆形 D．长方形 【答案】C 【思路引导】圆形中圆心到圆上的距离处处相等，据此解答。 【规范解答】师生玩游戏，为了使每个同学与老师的距离都相等，同学们应该选择圆形。 考点二 直径与半径的关系 【典例精讲】（25-26六年级上·陕西延安·期末）用圆规在一个长8cm，宽5cm的长方形纸上画一个尽可能大的圆，圆规两脚间的距离应是（    ）。 A．8cm B．4cm C．5cm D．2.5cm 【答案】D 【思路引导】长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；圆规两脚之间的距离等于圆的半径，据此解答。 【规范解答】5÷2＝2.5（cm） 圆规两脚间的距离应是2.5cm。 【变式训练1】（25-26六年级上·福建泉州·期末）故宫博物院现有藏品乾隆款白套红玻璃莲瓣纹钵（如图），它的口径（钵圆口的直径）是10厘米，那么该钵圆口的半径是( )厘米。 【答案】5 【思路引导】圆的直径是半径的2倍，半径是直径的一半，即半径＝直径÷2。据此计算。 【规范解答】10÷2＝5（厘米），因此该钵圆口的半径是5厘米。 【变式训练2】（2025-2026学年山西省吕梁市孝义市北师大版六年级上测期末测试数学试卷）研究圆时，我们可以用这种方法找直径（如图），这个圆的直径是( )厘米。 【答案】3 【思路引导】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，直径是圆中最长的线段，由图可知，测量直径时起点是5厘米，终点是8厘米，所以这个圆的直径是（8－5）厘米。 【规范解答】8－5＝3（厘米） 【变式训练3】（25-26六年级上·陕西西安·期末）从一张长为30厘米，宽为20厘米的长方形纸上剪一个最大的圆，剪下的圆的半径是（    ）厘米。 A．20 B．18 C．15 D．10 【答案】D 【思路引导】要在长方形纸上剪一个最大的圆，圆的直径长度受限于长方形的短边。已知长方形的长和宽，需先确定圆的直径，圆的半径等于直径除以2。 【规范解答】在长方形纸上剪一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 已知长方形的宽为20厘米，则圆的直径为20厘米。 20÷2＝10（厘米） 因此，剪下的圆的半径是10厘米。 考点三 圆的直径与半径关系的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·北京延庆·期末）在下面的长方形中画一个最大的圆，圆规两脚张开的距离是（    ）cm。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【思路引导】在长为cm，宽为cm的长方形中画一个最大的圆，圆的直径是长方形的宽，据此求出半径。 【规范解答】（cm） 圆规两脚张开的距离就是圆的半径，也就是cm。 【变式训练1】（25-26六年级上·吉林长春·期末）用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离保持3厘米不变，但将针尖从点A移动到了点B，那么画出的两个圆（    ）。 A．大小相同，位置相同 B．大小不同，位置相同 C．大小不同，位置不同 D．大小相同，位置不同 【答案】D 【思路引导】画圆时，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 【规范解答】题目中，针尖从点A移动到了点B，圆心移动了，圆的位置就移动了；圆规两脚间的距离保持3厘米不变，两个圆的半径长度相等，圆的大小相同。所以，画出的两个圆大小相同，位置不同。 【变式训练2】（25-26六年级上·陕西咸阳·期末）圆规两脚之间的距离为4cm，那么画出的圆的直径是（    ）cm。 A．2 B．4 C．8 D．12.56 【答案】C 【思路引导】画圆时，圆规两脚之间的距离是半径，半径×2＝直径。 【规范解答】4×2＝8（cm） 画出的圆的直径是8cm。 【变式训练3】（25-26六年级上·广东清远·期中）如图是一面圆形铜镜残片。如果想画一个和铜镜大小一样的圆，圆规两脚之间张开的距离是( )cm。 【答案】4 【思路引导】根据圆的画法可知：圆规两脚之间张开的距离是圆的半径；已知铜镜的直径，求圆的半径，由d＝2r，代入数值计算，据此解答。 【规范解答】8÷2＝4（cm） 所以，圆规两脚之间张开的距离是4cm。 考点四 画圆 【典例精讲】（24-25六年级上·陕西咸阳·期中）画一个直径是3厘米的圆，圆心为O，线段OA（点A已给出）是这个圆的一条半径。 【答案】 【思路引导】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以3÷2＝1.5厘米为半径画圆，并标出圆心、半径和直径即可。 【规范解答】略 【变式训练1】（25-26六年级上·陕西西安·期末）画出一个直径为5厘米的圆，再在圆内画出最大正方形。 【答案】见详解 【思路引导】先确定一点为圆的圆心，以2.5厘米（5÷2＝2.5厘米）为半径画圆；要在圆内画最大正方形，该正方形的对角线需等于圆的直径，先画出圆的两条互相垂直的直径，再依次连接直径与圆的四个交点，即可得到圆内最大正方形。 【规范解答】5÷2＝2.5（厘米） 如图： 【变式训练2】（25-26六年级上·广东深圳·期末）按要求画图。 请在长方形中画一个最大的半圆，并标出半圆的圆心与半径。 【答案】见详解 【思路引导】这道题的核心考点是“在长方形内构造最大半圆”，需要利用长方形的长、宽与半圆直径、半径的关系来确定半圆的尺寸。确定半圆的直径：要在长方形内画最大的半圆，需以长方形的长为半圆的直径（宽大于或等于长的一半）。半圆的半径等于长方形长的一半。确定圆心：圆心是长方形长的中点。作图步骤：找到长方形长的中点，标记为圆心O；以圆心O到长方形长的一端的距离为半径；以O为圆心，用圆规画出半圆；标注圆心O和半径r。 【规范解答】根据分析： 如图： 【变式训练3】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）操作与发现。 ①在不同的位置画两个大小相等的圆。 ②在同一位置画两个大小不相等的圆。 在画圆的过程中，我的发现：圆的（    ）决定了圆的位置，圆的（    ）决定了圆的大小。 【答案】①②作图见详解；圆心；半径 【思路引导】①圆规画圆：将两脚分开定好两脚之间的距离，有针尖的一只脚固定在圆心，装有笔的一只脚旋转一周画出个圆。分别以O1和O2为圆心，画出半径相同的两个圆。 ②同心圆：圆心相同，半径不同。以O为圆心，分别画半径不同的两个圆。 圆心是圆的中心，所有点到圆上的距离都相等，这个点决定了圆的位置。半径则是从圆心到圆上任意一点的距离，它决定了圆的大小。 【规范解答】①在不同的位置画两个大小相等的圆。 （答案不唯一） ②在同一位置画两个大小不相等的圆。 （答案不唯一） 在画圆的过程中，我的发现：圆的圆心决定了圆的位置，圆的半径决定了圆的大小。 考点五 圆的概念的探究 【典例精讲】（25-26六年级上·福建南平·期中）实践课上，老师布置大家在操场上画圆。因为没有足够大的圆规，要想办法画出一个半径是5米的大圆，用于后续模拟操场游戏区域的规划。如果是你打算怎么做？ 【答案】准备一根5米长的绳子，一端固定当作圆心，另一端绑一根粉笔，拉直后绕着圆心转动一圈，就可以画出一个半径是5米的大圆。 【思路引导】要画出半径5米的大圆，核心是利用圆的定义（平面内到定点距离等于定长的点的集合）：定点是圆心，定长是半径5米，需找到替代圆规的工具来固定“定点”和“定长”。 【规范解答】取一根长度为5米的绳子（保证绳长等于圆的半径），一端绑住固定物（如木桩），另一端绑粉笔（或其他画线工具）。将绑有固定物的一端放在操场选定的位置（作为圆心），拉直绳子（确保绳长始终为5米，即半径固定），手持绑粉笔的一端绕圆心转动一周，粉笔留下的轨迹就是半径5米的大圆。 答：准备一根5米长的绳子，一端固定当作圆心，另一端绑一根粉笔，拉直后绕着圆心转动一圈，就可以画出一个半径是5米的大圆。 【变式训练1】（24-25六年级上·浙江金华·期末）画圆的方法有很多种，除了用圆规画圆外，还可以用其他材料画圆，请你列举两种画圆的方法，并说明这两种画圆的方法和圆规画圆有什么共同的地方？ 【答案】见详解 【思路引导】根据圆的特征：圆心到圆上任意一点的距离相等；据此列举两种画圆方法：①用一根线和一支笔画圆；②用圆形物体画圆（答案不唯一）。 根据两种圆的画法以及圆规画圆法，找出共同点。 【规范解答】①用一根线和一支笔，把线的一端固定住，另一端系在笔上，然后拉直，用笔绕着固定的一端画一圈，就画成圆了。 ②用圆形物体，如瓶盖，按住瓶盖在纸上描一圈，就画出圆了。 所有画圆的方法都围绕“固定圆心”和“半径不变”这两点展开，也就是圆的定义的体现。 【变式训练2】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）体育老师想在操场上画一个半径是10米的圆，但没有这么大的圆规，你能帮助老师想出画这个圆的办法吗？说一说，写一写。 【答案】见详解 【思路引导】圆规作圆的依据是两脚之间的距离不变，即半径不变，作到定点距离相等的图形。根据这一规律，也可以将圆规换成绳子等物体，只要到定点的距离相等即可。 【规范解答】可以找一根10米长的绳子，把绳子的一头固定在地上，拉直绳子，在绳子的另一头绑上作图工具，绕固定的绳头绕一圈，就可以得到一个半径是10米的圆。（答案不唯一） 【变式训练3】如何在操场上画出一个半径是10米的圆？简要说说你的方法。 【答案】见详解。 【思路引导】因为圆是动点绕定点做的圆周运动，所以可以找一个同学，站定在圆心处，再找根10米的软绳，这个同学抓住绳子的一端，另一端固定粉笔来划线即可画出半径是10米的圆。 【规范解答】具体操作如下： 1、找一根绳长长于10米的绳子，在绳子上标记好10米长的一段； 2、在操场上确定好圆心的位置，然后叫一个同学站定在圆心处，抓住绳子的一头； 3、另一个同学在绳子的另一头将绳子拉紧，然后绕着圆心的同学做圆周运动。在运动的过程中，沿着移动的路径画线； 4、绕着圆心转动一周就可以得到一个半径为10米的圆。 【考点剖析】此题的解题关键是理解圆的特征以及掌握画圆的方法。 【基础通关能力提升】 1．（26-27六年级上·全国·课前预习）古代人们运送大石料时，在石料下面放几根圆木，这利用了圆的（    ）特征。 A．容易滚动且省力 B．面积大 C．周长长 D．颜色好看 【答案】A 【规范解答】根据圆的几何特征，圆心到圆上任意一点的距离相等，使得圆具有容易滚动的特性。在运送重物时，利用圆木滚动可以减小阻力，达到省力的目的。 2．（2026·湖北·小升初真题）下列传统剪纸图案中，对称轴数量最多的是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆 D．等边三角形 【答案】C 【思路引导】根据轴对称图形的定义，沿一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这条直线就是对称轴。根据正方形、长方形、圆和等边三角形的特点，找出它们对称轴的数量，再通过比较数量多少来确定对称轴最多的图形。 【规范解答】A．正方形有横竖和两个对角线共4条对称轴； B．长方形有横竖2条对称轴； C．任何过圆心的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴； D．等边三角形有3条对称轴，是其三条高所在的直线。 综上所述，对称轴数量最多的是圆。 3．（25-26六年级下·河南漯河·期末）下面图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A．正方形 B．圆 C．等边三角形 D．平行四边形 【答案】B 【思路引导】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 【规范解答】A．正方形有4条对称轴； B．圆有无数条对称轴； C．等边三角形有3条对称轴； D．平行四边形不是轴对称图形，有0条对称轴。 因为无数条＞4＞3＞0，所以对称轴条数最多的是圆。 4．（24-25六年级下·河北保定·期末）战国时期《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也。”这表示圆上任意一点到( )的距离相等， 也就是同一个圆的( )都相等。 【答案】 圆心 半径 【思路引导】本题考查圆的特征及数学文化常识。“一中”指圆的中心点，“同长”指从中心到圆上任意一点的距离相等。 【规范解答】“一中”表示圆有一个中心点，在数学中该点称为圆心。 “同长”表示从圆心到圆上任意一点的线段长度相等。 连接圆心和圆上任意一点的线段定义为半径。 因此，这句话表示圆上任意一点到圆心的距离相等，也就是同一个圆的半径都相等。 5．（25-26六年级下·四川广安·期末）平行四边形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴。 【答案】 0 无数 【思路引导】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。据此分析平行四边形和圆的特征即可。 【规范解答】一般的平行四边形沿着任何一条直线对折，两侧的图形都不能完全重合，因此它不是轴对称图形，对称轴的数量是0条。 圆沿着任意一条直径所在的直线对折，两侧的图形都能完全重合，因此圆是轴对称图形。因为圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴。 6．（24-25六年级下·浙江宁波·期末）如图有3个相同的半圆，并已知一些线段的长度，半圆的直径是27厘米。( ) 【答案】√ 【思路引导】设半圆的直径是x厘米，根据上下两部分长度相等列方程计算，完成判断即可。 【规范解答】解：设半圆的直径是x厘米。 12＋x＋24＝2x＋9 x＋36＝2x＋9 x＝27 所以半圆的直径是27厘米，原题说法正确。 故答案为：√ 7．（25-26六年级上·广东深圳·阶段检测）为了跳兔子舞，乐乐和小朋友们一起在地上画了一个半径是5米的圆，你知道乐乐他们是怎样画圆的吗？请你用写一写、画一画的方式说明你的想法。 【答案】 用一根绳子，一端固定在圆心，另一端绑上粉笔，拉直绳子并绕圆心旋转一周，画出半径5米的圆。 【思路引导】画圆需要确定圆心和半径。由于圆的半径是5米，普通圆规无法完成，需借助工具固定圆心并保持半径长度不变。根据圆的定义（所有点到圆心距离相等），用绳子固定圆心后，拉直绳子旋转一周即可画出符合要求的圆。 【规范解答】1. 确定圆心：在地面选定一点作为圆心，用木桩或标记固定。 2. 准备工具：取一根长度大于5米的绳子，一端固定在圆心，另一端绑上粉笔。 3. 量取半径：将绳子拉直，从圆心开始量出5米，并在该处做标记。 4. 画圆：保持绳子拉直且长度固定，绕圆心旋转一周，粉笔会在地面画出半径为5米的圆。 （原理：圆周上每一点到圆心的距离均为5米，符合圆的定义。） 8．（24-25六年级上·广东惠州·期末）如图，放学后，明明和小丽以同样的速度沿直线回家，他们两个谁先到家？说说为什么？ 【答案】小丽；理由见详解 【思路引导】通过圆心并且两端都在圆上的线段都叫做直径。在同一个圆内，所有直径相等，且圆内的所有线段中，直径最长。 根据题意，明明和小丽的速度相同，那么距离短的，用的时间就少，先到家。 【规范解答】答：小丽先到家。因为学校到明明家的距离等于圆的直径，学校到小丽家的距离是圆内一条不是直径的线段，根据“圆内的所有线段中，直径最长”可知，学校到小丽家的距离比学校到明明家的距离短，所以小丽先到家。 9．（26-27六年级上·全国·课前预习）数学日记分析：小明在数学日记中写道：“我发现正方形的中心点到顶点的距离比到边中点的距离长。”请问小明的发现对解释“为什么正方形做车轮会颠簸”有什么帮助？ 【答案】小明的发现直接解释了正方形做车轮会颠簸的原因。因为中心点到顶点的距离（长）和到边的距离（短）不一样，当正方形滚动时，就会交替以“顶点”和“边”接触地面，导致车身高度不断改变，从而产生颠簸。 【思路引导】小明的发现指出了正方形中心到不同边缘点（顶点与边中点）的距离存在差异，这直接提供了正方形滚动时中心高度无法保持恒定的证据，从而解释了颠簸的原因。 【规范解答】小明的发现直接解释了正方形做车轮会颠簸的原因。因为中心点到顶点的距离（长）和到边的距离（短）不一样，当正方形滚动时，就会交替以“顶点”和“边”接触地面，导致车身高度不断改变，从而产生颠簸。 10．（25-26六年级下·山东菏泽·期末）把左边的圆平移，使平移后的圆与右边的线段组成轴对称图形。 (1)圆应向右平移( )格。 (2)画出组成的轴对称图形的对称轴。 (3)对称轴通过圆心吗？它与已知线段有什么关系？ 【答案】(1)5 (2) (3)通过，它与已知线段互相垂直且平分已知线段 【思路引导】圆的对称轴是过圆心的直线，要让平移后的圆和线段关于该对称轴对称，所以平移后圆的圆心需在这条对称轴上，根据原圆心的位置，计算原圆心到对称轴的水平距离，就是圆需要向右平移的格数； 两个图形组成轴对称图形，那么对称轴到两个图形的对应点距离相等，找到右边线段的垂线并且平分这条线段，该线就是图形的对称轴； 画出该对称轴后，再根据对称轴、圆心、线段的位置关系，判断对称轴是否过圆心，以及它和线段的位置、数量关系。 【规范解答】（1）确定原圆圆心，平移后要让圆和右侧线段组成轴对称图形，平移后圆心在对应位置，数出圆心向右平移了5格。 （2）过平移后圆的圆心，作已知线段的垂线，这条垂线就是该轴对称图形的对称轴，图略。 （3）对称轴通过圆心，它与已知线段互相垂直且平分已知线段。 【思维拓展拔尖训练】 1．（24-25六年级下·江苏南京·期末）在如图大长方形中画圆，圆的直径等于4个小正方形边长。这个长方形中最多能画（    ）个这样的圆。 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【思路引导】根据题意，可先确定长方形的长可以画几个圆，宽可以画几个圆，然后根据在长方形的长与宽上各画的圆的个数进行相乘，即可求出答案。 【规范解答】15÷4＝3（个）……3（格） 12÷4＝3（个） 3×3＝9（个） 这个长方形中最多能画9个这样的圆。 2．（25-26六年级上·湖北孝感·期末）用一块长24cm，宽12cm的铁皮剪半径为3cm的圆，最多可以剪（    ）个。 A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【思路引导】先求出圆的直径，再分别计算长方形长和宽方向能容纳的圆的数量，最后相乘得总个数。 【规范解答】先计算出圆的直径：圆的半径为3cm，直径为（cm） 长方形长方向能剪的圆的数量：（个） 长方形宽方向能剪的圆的数量：（个） 最多可以剪（个） 3．（24-25六年级下·辽宁鞍山·期末）一张长方形纸长26cm，宽20cm，用它剪半径3cm圆，最多可以剪( )个。 【答案】12 【思路引导】求一个长方形里可以剪几个圆，需先利用求出圆的直径，再用长方形的长和宽分别除以圆的直径求出长里面有几个这样的直径，宽里面有几个这样的直径，再将长和宽里面的直径数量相乘。 【规范解答】 4（个）…… 3（个）…… 最多能剪的圆的数量：（个） 4．（25-26六年级下·江苏徐州·期末）小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和一个中间有圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直径至少为( )厘米。 【答案】2.4/ 【思路引导】只要直角三角形最短的高比空心圆孔的直径小，那么直角三角形塑料片就能从空心圆孔中穿过去。最短的高是斜边上的高，可以通过两条直角边的长算出三角形的面积，再求出斜边上的高，即可得到答案。 【规范解答】直角三角形的面积为4×3÷2＝6（平方厘米） 由三角形的面积求斜边上的高，高＝三角形的面积×2÷底 6×2÷5＝12÷5＝2.4（厘米） 圆孔直径至少等于三角形最短的高2.4厘米。 5．（25-26六年级下·河南新乡·期末）如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形是______角三角形（填“锐”或“钝”）。一张长方形纸长20cm、宽12cm，用它剪半径2cm的圆，最多可以剪______个。 【答案】 锐 15 【思路引导】当55°角是顶角时，根据三角形内角和是180°及等腰三角形特征，求出另外两个底角，再根据最大角来判断三角形的形状；当55°角是底角时，根据等腰三角形特征，另一个底角也是55°，根据三角形内角和是180°，求出三角形顶角度数，再根据最大角来判断三角形的形状。 求一个长方形里可以剪几个圆，需先利用半径用乘法求出圆的直径；再用长方形的长和宽，分别除以圆的直径，求出长里面有几个这样的直径，宽里面有几个这样的直径，再将长和宽里面的直径数量相乘。 【规范解答】当顶角是55°时，等腰三角形的底角为 （180－55°）÷2 ＝125°÷2 ＝62.5° 最大角62.5°＜90° 当底角是55°时，等腰三角形的顶角为 180°－55°－55°＝70° 最大角70°＜90° 综上可知：这个三角形是锐角三角形。 直径：2×2＝4（cm） 20÷4＝5（个） 12÷4＝3（个） 5×3＝15（个） 6．（24-25六年级下·山东枣庄·期末）如下图，一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回到O点。下面的右图可以描述蚂蚁与O点距离变化。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】蚂蚁爬行的过程可分为三段，分别是从O点爬到圆弧、爬半个圆弧、从圆弧爬回O点。而在这三段运动中，从O点爬到圆弧时与O点距离逐渐变大；爬半个圆弧时因为O点为圆心，圆上的点到O点的距离相同，所以此时蚂蚁到O点的距离不变；从圆弧爬到O点时与O点距离逐渐变小。根据三段爬行中的距离变化关系判断折线图是否正确。 【规范解答】观察折线图中的三条线段： 从O点爬到圆弧时与O点距离逐渐变大，对应从O点出发直至与横线相交的第一段线段； 爬半个圆弧时与O点距离不变，对应中间平行于时间轴的第二段线段； 从圆弧爬回O点时与O点距离逐渐变小，对应从横线右端向右下方延伸直至归O的第三段线段。 所以折线图可以描述蚂蚁与O点距离变化。 故答案为：√ 7．（25-26六年级上·福建泉州·阶段检测）计算长方形的周长。 【答案】48cm 【思路引导】由图可知，长方形的长等于3个圆的直径之和，已知长方形的长是18cm，所以圆的直径为18÷3＝6cm。长方形的宽等于圆的直径，所以长方形的宽为6cm。根据长方形周长公式C＝（a＋b）×2（a为长，b为宽），把数据代入计算即可。 【规范解答】18÷3＝6（cm） （18＋6）×2 ＝24×2 ＝48（cm） 长方形的周长是48cm。 8．（26-27六年级上·全国·课前预习）生活应用：杂技演员表演“独轮车走钢丝”，为什么独轮车的轮子必须是圆的？如果换成三角形的轮子，演员还能平稳表演吗？为什么？ 【答案】必须是圆的。因为钢丝很细，需要车轮提供稳定的支撑点。如果是三角形轮子，滚动时重心会剧烈起伏，演员根本无法保持平衡，更无法平稳前行。 【思路引导】当独轮车的轮子是圆形时，轮子滚动时，车轴到钢丝的距离始终保持不变，所以车身平稳，演员能平稳表演。如果换成三角形轮子，滚动过程中，车轴到钢丝的距离会不断变化，所以演员不能平稳表演。 【规范解答】答：必须是圆的。因为钢丝很细，需要车轮提供稳定的支撑点。如果是三角形轮子，滚动时重心会剧烈起伏，演员根本无法保持平衡，更无法平稳前行。 9．（26-27六年级上·全国·课前预习）简答题：为什么椭圆形不能做车轮？请结合圆心（或中心）到边缘距离的特点进行解释。 作图与解释：请在纸上画一个圆和一个正方形，分别标出中心点。如果让它们沿直线滚动一圈，请描述中心点运动轨迹的区别。 【答案】 椭圆形中心到边缘距离不相等；圆心轨迹是直线，正方形中心轨迹是曲线 【思路引导】圆的定义，即圆心到圆上任意一点的距离相等（半径），而椭圆形和正方形的中心到边缘的距离不相等。通过对比不同图形滚动时中心到地面距离的变化情况，确定中心点的运动轨迹。 在纸上画一个圆和一个正方形，分别标出圆心和中心点。圆沿直线滚动一圈，圆心到地面的距离始终等于半径，保持不变，圆心运动轨迹是一条直线；正方形沿直线滚动一圈，中心点到地面的距离在不断变化，中心点运动轨迹是一条曲线。 10．（25-26六年级上·陕西渭南·期末）按要求涂一涂，画一画。 以点O为圆心，在下面方格纸中画一个直径为4厘米的圆，再在所画的圆中画一个圆心角为130°的扇形。 【答案】见详解 【思路引导】解答这道题需明确画圆的步骤：确定圆心；确定半径；用圆规画圆。题目中已知圆的直径为4厘米，先用厘米求出圆的半径。图中已确定了圆心O，且图中的一格代表1厘米，以O为圆心，2格的长度为半径，用圆规画圆即可。画好圆后，画一条半径，作为扇形圆心角的一边，以画好的半径为起点用量角器画出130°角的另一边，即可得到圆心角为130°的扇形，画好后给扇形涂色，并标上角度。据此画图。 【规范解答】如图： 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 六年级/上册（新教材） 小学数学 第五讲 圆的认识（一） 北师大版 分层训练 思维导图+新知学习+五大考点讲练+难度分层练 （共40题） 【原卷版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 思维导图 新知学习 真题汇编 闯关达标 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以预习北师大版数学新教材六年级上册内容为主，讲义包含思维导图，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图、知识卡片内容学习（导图，卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 探究活动：车轮为什么是圆的？ 1. 实验发现 通过将圆形、正方形、正六边形等硬纸板沿直尺滚动，观察中心点（车轴）留下的痕迹： 圆形：滚动时，中心点留下的痕迹是一条直线。这说明圆心到地面的距离（即半径）始终保持不变，车子行驶平稳。 其他图形（如正方形）：滚动时，中心点留下的痕迹是波浪线（起伏不平）。这说明中心到地面的距离在不断变化，车子行驶颠簸。 2. 结论 车轮做成圆形，是因为圆心到圆上任意一点的距离都相等。当车轮在平面上滚动时，车轴（圆心）到地面的距离始终等于半径，从而保证车辆行驶平稳。车轴应安装在圆心的位置。 3.生活中的圆及其应用解释 井盖为什么做成圆形？ 因为圆形的直径长度处处相等。无论井盖怎样翻转，其直径都大于井口的直径（或弦长），所以井盖不会掉进井里，保障了安全。此外，圆形井盖便于滚动运输，且受力均匀。 水滴落到水里形成的涟漪为什么是圆的？ 水波向四周扩散的速度是相同的。在相同的时间内，水波传播的距离（即半径）相等，因此形成了圆形的波纹。 其他应用：人们利用圆的特征设计了各种机械零件（如齿轮、轴承）和生活用品，利用了圆容易滚动、受力均匀等特点。 画圆的方法 工具画圆：使用圆规。定圆心、定半径、旋转一周。 实物画圆：利用圆柱形物体（如杯子底）描边。 绳子画圆：固定绳子一端为圆心，拉直绳子另一端旋转（适用于画较大的圆）。 手指画圆：以手指关节为圆心旋转（适用于画较小的圆）。 新知学习 知识点一 圆的特征与定义 1. 圆的本质特征 “一中”指圆心；“同长”指圆上任意一点到圆心的距离都相等。 公平性原理：在套圈游戏中，只有当参与者围成圆形时，每个人到中心目标的距离才相等，游戏才是公平的。这体现了圆“圆上的点到中心的距离相等”这一核心特征。 2. 圆的各部分名称及表示 圆心 (Center)：画圆时，针尖固定的一点，通常用字母 表示。圆心决定了圆的位置。 半径 (Radius)：连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用字母 表示。半径决定了圆的大小。 直径 (Diameter)：通过圆心并且两端都在圆上的线段，通常用字母 表示。 3. 同圆或等圆中半径与直径的关系 数量关系：在同一个圆里，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的一半。 公式表示： 性质：同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。 知识点二 圆的决定因素 圆的位置：由圆心决定。圆心在哪里，圆就在哪里。 圆的大小：由半径（或直径）决定。半径越长，圆越大；半径越短，圆越小。 考点一 圆的概念 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课前预习）生活中除了车轮，井盖通常也是圆形的，这是因为圆的所有直径都______，井盖不会掉进井里。 【变式训练1】（25-26六年级下·辽宁沈阳·阶段检测）六年的数学学习中，我们认识了很多著名的中外数学家，请你写出一位你了解的数学家的名字( )，它的杰出成就是( )。 【变式训练2】（24-25六年级下·河北唐山·期末）下面是古希腊数学著作《几何原本》第一卷中的命题1.1。请完成推理过程，说明三角形ABC是等边三角形。 要求：已知线段AB，以A为圆心AB为半径作圆①，以B为圆心AB为半径作圆②（如图）。 因为：A点是圆①的圆心，所以AB＝( )。 又因为：B点是圆②的圆心，所以AB＝( )。 所以：( )＝( )。 所以：三条线段( )相等，三角形ABC是等边三角形。 【变式训练3】（24-25六年级下·浙江台州·期末）师生玩游戏，为了使每个同学与老师的距离都相等，同学们应该排成（    ）。 A．直线 B．正方形 C．圆形 D．长方形 考点二 直径与半径的关系 【典例精讲】（25-26六年级上·陕西延安·期末）用圆规在一个长8cm，宽5cm的长方形纸上画一个尽可能大的圆，圆规两脚间的距离应是（    ）。 A．8cm B．4cm C．5cm D．2.5cm 【变式训练1】（25-26六年级上·福建泉州·期末）故宫博物院现有藏品乾隆款白套红玻璃莲瓣纹钵（如图），它的口径（钵圆口的直径）是10厘米，那么该钵圆口的半径是( )厘米。 【变式训练2】（2025-2026学年山西省吕梁市孝义市北师大版六年级上测期末测试数学试卷）研究圆时，我们可以用这种方法找直径（如图），这个圆的直径是( )厘米。 【变式训练3】（25-26六年级上·陕西西安·期末）从一张长为30厘米，宽为20厘米的长方形纸上剪一个最大的圆，剪下的圆的半径是（    ）厘米。 A．20 B．18 C．15 D．10 考点三 圆的直径与半径关系的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·北京延庆·期末）在下面的长方形中画一个最大的圆，圆规两脚张开的距离是（    ）cm。 A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练1】（25-26六年级上·吉林长春·期末）用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离保持3厘米不变，但将针尖从点A移动到了点B，那么画出的两个圆（    ）。 A．大小相同，位置相同 B．大小不同，位置相同 C．大小不同，位置不同 D．大小相同，位置不同 【变式训练2】（25-26六年级上·陕西咸阳·期末）圆规两脚之间的距离为4cm，那么画出的圆的直径是（    ）cm。 A．2 B．4 C．8 D．12.56 【变式训练3】（25-26六年级上·广东清远·期中）如图是一面圆形铜镜残片。如果想画一个和铜镜大小一样的圆，圆规两脚之间张开的距离是( )cm。 考点四 画圆 【典例精讲】（24-25六年级上·陕西咸阳·期中）画一个直径是3厘米的圆，圆心为O，线段OA（点A已给出）是这个圆的一条半径。 【变式训练1】（25-26六年级上·陕西西安·期末）画出一个直径为5厘米的圆，再在圆内画出最大正方形。 【变式训练2】（25-26六年级上·广东深圳·期末）按要求画图。 请在长方形中画一个最大的半圆，并标出半圆的圆心与半径。 【变式训练3】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）操作与发现。 ①在不同的位置画两个大小相等的圆。 ②在同一位置画两个大小不相等的圆。 在画圆的过程中，我的发现：圆的（    ）决定了圆的位置，圆的（    ）决定了圆的大小。 考点五 圆的概念的探究 【典例精讲】（25-26六年级上·福建南平·期中）实践课上，老师布置大家在操场上画圆。因为没有足够大的圆规，要想办法画出一个半径是5米的大圆，用于后续模拟操场游戏区域的规划。如果是你打算怎么做？ 【变式训练1】（24-25六年级上·浙江金华·期末）画圆的方法有很多种，除了用圆规画圆外，还可以用其他材料画圆，请你列举两种画圆的方法，并说明这两种画圆的方法和圆规画圆有什么共同的地方？ 【变式训练2】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）体育老师想在操场上画一个半径是10米的圆，但没有这么大的圆规，你能帮助老师想出画这个圆的办法吗？说一说，写一写。 【变式训练3】如何在操场上画出一个半径是10米的圆？简要说说你的方法。 【基础通关能力提升】 1．（26-27六年级上·全国·课前预习）古代人们运送大石料时，在石料下面放几根圆木，这利用了圆的（    ）特征。 A．容易滚动且省力 B．面积大 C．周长长 D．颜色好看 2．（2026·湖北·小升初真题）下列传统剪纸图案中，对称轴数量最多的是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆 D．等边三角形 3．（25-26六年级下·河南漯河·期末）下面图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A．正方形 B．圆 C．等边三角形 D．平行四边形 4．（24-25六年级下·河北保定·期末）战国时期《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也。”这表示圆上任意一点到( )的距离相等， 也就是同一个圆的( )都相等。 5．（25-26六年级下·四川广安·期末）平行四边形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴。 6．（24-25六年级下·浙江宁波·期末）如图有3个相同的半圆，并已知一些线段的长度，半圆的直径是27厘米。( )（判断对错） 7．（25-26六年级上·广东深圳·阶段检测）为了跳兔子舞，乐乐和小朋友们一起在地上画了一个半径是5米的圆，你知道乐乐他们是怎样画圆的吗？请你用写一写、画一画的方式说明你的想法。 8．（24-25六年级上·广东惠州·期末）如图，放学后，明明和小丽以同样的速度沿直线回家，他们两个谁先到家？说说为什么？ 9．（26-27六年级上·全国·课前预习）数学日记分析：小明在数学日记中写道：“我发现正方形的中心点到顶点的距离比到边中点的距离长。”请问小明的发现对解释“为什么正方形做车轮会颠簸”有什么帮助？ 10．（25-26六年级下·山东菏泽·期末）把左边的圆平移，使平移后的圆与右边的线段组成轴对称图形。 (1)圆应向右平移( )格。 (2)画出组成的轴对称图形的对称轴。 (3)对称轴通过圆心吗？它与已知线段有什么关系？ 【思维拓展拔尖训练】 1．（24-25六年级下·江苏南京·期末）在如图大长方形中画圆，圆的直径等于4个小正方形边长。这个长方形中最多能画（    ）个这样的圆。 A．8 B．9 C．10 D．11 2．（25-26六年级上·湖北孝感·期末）用一块长24cm，宽12cm的铁皮剪半径为3cm的圆，最多可以剪（    ）个。 A．32 B．16 C．8 D．4 3．（24-25六年级下·辽宁鞍山·期末）一张长方形纸长26cm，宽20cm，用它剪半径3cm圆，最多可以剪( )个。 4．（25-26六年级下·江苏徐州·期末）小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和一个中间有圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直径至少为( )厘米。 5．（25-26六年级下·河南新乡·期末）如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形是______角三角形（填“锐”或“钝”）。一张长方形纸长20cm、宽12cm，用它剪半径2cm的圆，最多可以剪______个。 到O点。下面的右图可以描述蚂蚁与O点距离变化。( )（判断对错） 8．（26-27六年级上·全国·课前预习）生活应用：杂技演员表演“独轮车走钢丝”，为什么独轮车的轮子必须是圆的？如果换成三角形的轮子，演员还能平稳表演吗？为什么？ 9．（26-27六年级上·全国·课前预习）简答题：为什么椭圆形不能做车轮？请结合圆心（或中心）到边缘距离的特点进行解释。 作图与解释：请在纸上画一个圆和一个正方形，分别标出中心点。如果让它们沿直线滚动一圈，请描述中心点运动轨迹的区别。 10．（25-26六年级上·陕西渭南·期末）按要求涂一涂，画一画。 以点O为圆心，在下面方格纸中画一个直径为4厘米的圆，再在所画的圆中画一个圆心角为130°的扇形。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null