专题02 一元二次方程中含参数问题有关的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程含参数问题，以五种模型为框架，系统覆盖定义、方程解、根的情况、根与系数关系及新定义题型，突出知识逻辑递进与解题方法迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义求参数|5题|考查二次项系数非零及最高次数为2|从概念本质出发，夯实参数取值前提| |方程解求参数|5题|利用方程解代入求参数或代数式值|直接应用方程解的定义，强化代入思想| |根的情况求参数|10题|结合判别式判断根的个数及参数范围|深化根的判别式应用，培养推理能力| |根与系数关系求参数|10题|运用韦达定理建立参数与根的关系|构建根与系数的数量模型，提升抽象能力| |新定义型问题|10题|以“邻根方程”等新定义考查综合应用|融合创新情境，发展模型意识与应用能力|

专题02 一元二次方程中含参数问题有关的五种模型 题型一 利用一元二次方程的定义求参数 题型二 一元二次方程的解求参数的值或代数式的值 题型三 根据一元二次方程根的情况求参数 题型四 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 题型五 一元二次方程中新定义型含参数问题 题型一：利用一元二次方程的定义求参数 1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为____________． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 4．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 5．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 题型二：一元二次方程的解求参数的值或代数式的值 6．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的一个解是，则的值是______． 8．（25-26八年级下·北京·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 9．（2026·福建福州·模拟预测）已知是方程的解，则________． 10．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 题型三：根据一元二次方程根的情况求参数 11．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 12．（2026·云南昆明·模拟预测）若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为________． 13．（2026·黑龙江大庆·二模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 14．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如果一元二次方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________． 15．（2026·四川成都·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 16．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 17．（25-26八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 18．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的一个根为2，求m的值． 19．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程有一个根是，求方程的另一个根及m的值． 20．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）关于的一元二次方程． (1)若原方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若原方程的一个根是1，求此时的值及方程的另外一个根． 题型四：利用一元二次方程根与系数的关系求参数 21．（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两个实根，且，求的值． 22．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 23．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 24．（25-26八年级下·北京平谷·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 25．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 26．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 27．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值． 28．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 29．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 30．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． 题型五：一元二次方程中新定义型含参数问题 31．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 32．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 33．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）对于关于x的代数式（a，b，c是常数，且），若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)下列x的取值：①，②，③，④；其中是关于x的代数式的“不动值”是______（填序号）； (2)判断关于x的代数式是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，请说明理由； (3)若关于x的代数式有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3倍，求c的值． 34．（2026·河南鹤壁·一模）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 35．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 36．（25-26九年级上·广东江门·期中）阅读材料：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个“连根方程”． (1)问题解决：请你判断方程是否是“连根方程”： (2)问题拓展：若关于的一元二次方程（是常数）是“连根方程”，求的值． 37．（25-26九年级上·四川自贡·期末）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”___________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根． 38．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）阅读以下材料： 材料一：若三个非零实数满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数构成“和谐三数组”． 材料二：若关于的一元二次方程的两根分别为，则有 问题解决： (1)下列四组数中能构成“和谐三数组”的有___________（填序号）； ①1，2，3；②；③；④． (2)若是关于的方程（a，b，c均不为0）的两根，是关于的方程（b，c均不为0）的解．求证：可以构成“和谐三数组”； (3)若三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数的值． 39．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则 (1)【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号） ①；②；③；④． (2)【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根． (3)【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． 40．（25-26九年级上·四川乐山·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为___________； (2)若关于的一元二次方程有衍生点． ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求的值； (3)已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程中含参数问题有关的五种模型 题型一 利用一元二次方程的定义求参数 题型二 一元二次方程的解求参数的值或代数式的值 题型三 根据一元二次方程根的情况求参数 题型四 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 题型五 一元二次方程中新定义型含参数问题 题型一：利用一元二次方程的定义求参数 1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为____________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，因此令，求解的值． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 故答案为：4． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 但，即． 故． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 5．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且， 解得：或，， ． 题型二：一元二次方程的解求参数的值或代数式的值 6．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 【答案】2 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， 将代入方程得：，解得：． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的一个解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的一个解， 满足一元二次方程， 将代入方程得， 整理得， 移项得． 8．（25-26八年级下·北京·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】 【分析】利用方程的根满足原方程，将已知根代入方程得到与的关系式，再整理后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将代入得， 整理得， 等式两边同除以得， 移项得， 变形得， 因此． 9．（2026·福建福州·模拟预测）已知是方程的解，则________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的解可得，再变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 即， 则． 10．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】2011 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，变形为，，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，， ∴． 题型三：根据一元二次方程根的情况求参数 11．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值. 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得. 12．（2026·云南昆明·模拟预测）若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，得到根的判别式小于0，列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项为， ∵该一元二次方程无实数根， ∴根的判别式， 代入得， 解得． 13．（2026·黑龙江大庆·二模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，分别根据方程有实数根求解，再综合得到的取值范围即可． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，方程有实数根，符合题意； 当时，方程是一元二次方程， ∵一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得且； 综上所述：的取值范围是． 14．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如果一元二次方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，可得二次项系数不为0，再结合方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，求解两个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是一元二次方程， ． 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上可得，实数的取值范围是且． 15．（2026·四川成都·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再结合“有两个不相等的实数根”的条件得到根的判别式大于0，解不等式后得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上，实数的取值范围是且． 16．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 17．（25-26八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 【答案】(1) (2)当时，， 【分析】（1）根据条件得出，即，即可得出结论； （2）任取一个符合条件的m的值，并代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知 ∴当时，一元二次方程为， 解得， 18．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的一个根为2，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及方程的根的定义． （1）利用一元二次方程根的判别式，列出关于m的不等式，求解m的取值范围； （2）将代入原方程，得到关于m的一元二次方程，求解该方程得到m的值． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：由题意知，将代入方程中得， 解得，， 经检验，，均满足． 19．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程有一个根是，求方程的另一个根及m的值． 【答案】(1)且 (2)方程的另一个根是，m的值是5 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和方程的根，掌握一元二次方程的根的判别式的含义是解题关键． （1）根据根的判别式列不等式计算即可； （2）代入方程的根，求出m，再解一元二次方程求方程的另一个根即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． 又∵， ∴m的取值范围是且． （2）解：∵方程有一个根是， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程，得，， ∴方程的另一个根是，m的值是5． 20．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）关于的一元二次方程． (1)若原方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若原方程的一个根是1，求此时的值及方程的另外一个根． 【答案】(1)且； (2)此时的值为2，方程的另外一个根为． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）把代入原方程，求得，得到，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，所以. ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围是且； （2）解：把代入原方程，得， 解得， 把代入原方程，得， 解得，. ∴此时的值为2，方程的另外一个根为． 题型四：利用一元二次方程根与系数的关系求参数 21．（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两个实根，且，求的值． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)2 【分析】（1）一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根； （2）关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】（1）略； （2）解：由题意可得，， ∵， ∴， 解得． 22．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 23．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 24．（25-26八年级下·北京平谷·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求出k的值． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵该方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ， ， ， ∴， 解得， ， ． 25．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1)证明：方程中，，，， ∴． ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定即可得证； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，，整体代入已知等式解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：关于的一元二次方程， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得． 26．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； （2）解：，，， ， 整理得， 解得或， ， ． 27．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合一元二次方程有实数根，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，得，故，又因为，则，解得或，由（1）得，即． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴ 解得， （2）解：∵方程的两实数根分别为， ∴， 则， ∵ ∴ ∴ 解得或， 由（1）得， ∴舍去， ∴． 28．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，不成立， 故不是方程的根． （2）证明：由题意，得， 则，即， 当时，方程，完全相同，不合题意， 当时，则，故（舍去），， 把代入，得． （3）解：由题意及一元二次方程根与系数的关系得，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 当时，，可得，， ∴， 此时，舍去． 当时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 29．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 30．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）直接根据材料给出的一元二次方程根与系数的关系计算即可； （2）由条件可知是方程的两个不相等实根，利用根与系数关系得到和的值，对所求式子因式分解后代入计算即可； （3）将第二个方程变形为，分和两种情况，分别计算所求式子的值即可． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 其中，， 根据根与系数的关系，可得， （2）解：由题意得，实数满足，，且 因此是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得， 所以 （3）解：将方程变形可得， 又， 分两种情况讨论：①当时， ②当时，和是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得 由，得， ∴， 综上，的值为或． 题型五：一元二次方程中新定义型含参数问题 31．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】(1)不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； (2)或0 (3)或 【分析】（1）解方程，根据题意即可判断； （2）解方程，根据题意列方程即可解答； （3）设方程的根为，根据根与系数的关系得到关于的方程，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； （3）解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 32．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 33．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）对于关于x的代数式（a，b，c是常数，且），若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)下列x的取值：①，②，③，④；其中是关于x的代数式的“不动值”是______（填序号）； (2)判断关于x的代数式是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，请说明理由； (3)若关于x的代数式有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3倍，求c的值． 【答案】(1)①④ (2)不存在，理由见解析 (3)3 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）由题意得方程，再由根的判别式求解即可； （3）由题意得，有两个实数根，且一个根是另一个根的3倍，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：①当时，，符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，，不符合题意； ④当时，，符合题意， ∴其中是关于x的代数式的“不动值”是①④； （2）解：不存在，理由如下： 若关于x的代数式存在“不动值”， 则， 整理得，， 此时， ∴此方程无实数根， 故关于x的代数式不存在“不动值”； （3）解：由题意得，有两个实数根，且一个根是另一个根的3倍， 整理得，， 设两个实数根为， 则由一元二次方程根与系数的关系得到，， 解得 ∴． 34．（2026·河南鹤壁·一模）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 【答案】(1)是 (2)0或3 (3)6，4 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到两根，然后根据“倍根方程”新定义进行判断； （2）先利用因式分解法解方程，设方程的两根分别为，，根据“倍根方程”的根的两倍关系列方程，再计算对应的的值； （3）设方程的两根分别为，，再根据根与系数的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， ∴，    ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或． （3）解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得． 35．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键． （1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）设直角三角形两直角边，根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可； 【详解】（1）解：① ，因式分解得根，，符合差根方程定义； ② ，因式分解得根，，不符合． 故答案为：①． （2）解：方程中，，， 因为是差根方程，所以， 平方得： ， 代入得，即， 解得． （3）解：设直角三角形两直角边， 由勾股定理得： ， 因为是差根方程的两根，所以， 平方得： ， 代入得： ， 解得． ， 因为，所以． 以为根的一元二次方程为， 即，验证得，符合差根方程定义． 36．（25-26九年级上·广东江门·期中）阅读材料：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个“连根方程”． (1)问题解决：请你判断方程是否是“连根方程”： (2)问题拓展：若关于的一元二次方程（是常数）是“连根方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程、根与系数之间的关系等知识点，掌握“连根方程”的定义是解题的关键． （1）先用因式分解法解方程，再根据“连根方程”的定义进行判断即可； （2）根据方程为“连根方程”，可解出其中一个根为2，则另一个根为，再根据“连根方程”的性质即可求解； 【详解】（1）解：， 得， 解得，， 其中， ∴方程是“连根方程”． （2）解： ∵ 得， 解得，， ∵该方程是“连根方程”， ∴，即， 解得或． 37．（25-26九年级上·四川自贡·期末）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”___________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2)，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数，证明见详解 (3)， 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用． （1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可； （3）先根据“友好方程”的根的特点得出，即的两根为，，将待求方程变形为，把看作整体即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． （2）解：一元二次方程的“友好方程”为， 解得，， 根据以上结论，的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数， 证明如下：∵一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根为，， ∴， ， ∴，， 即原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． 故答案为：，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． （3）解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”，即的两根为，， 则，即中或， ∴该方程的解为，． 38．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）阅读以下材料： 材料一：若三个非零实数满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数构成“和谐三数组”． 材料二：若关于的一元二次方程的两根分别为，则有 问题解决： (1)下列四组数中能构成“和谐三数组”的有___________（填序号）； ①1，2，3；②；③；④． (2)若是关于的方程（a，b，c均不为0）的两根，是关于的方程（b，c均不为0）的解．求证：可以构成“和谐三数组”； (3)若三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数的值． 【答案】(1)②③④ (2)见解析 (3)或或． 【分析】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据“和谐三数组”的定义进行判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可； （3）先求出三点的纵坐标，然后由“和谐三数组”可得之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果． 【详解】（1）解：∵1，2，3的倒数分别为， ∴1，2，3不是“和谐三数组”； ∵的倒数分别为， ∴是“和谐三数组”； ③∵的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，， ∴是“和谐三数组”； ④∵的倒数为，的倒数为，的倒数为，． ∴是“和谐三数组”． 故答案为：②③④； （2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， ∴，， ∴， ∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解， ∴，∴， ∴=， ∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）解：∵三个点均在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”， ∴或或， 即或或， 解得：或或． 39．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则 (1)【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号） ①；②；③；④． (2)【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根． (3)【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． 【答案】(1)②③ (2)①方程②的根为，  ；方程③的根为 ；② (3)或，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，理解“和差”二次方程的定义是解此题的关键． （1）根据“和差”的二次方程的定义判断即可； （2）①利用公式法和因式分解法求解即可； ②设方程的另一根是，利用韦达定理求解即可； （3）根据韦达定理以及“和差”的二次方程的定义列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①中，不是“和差”的二次方程； ②中，是“和差”的二次方程； ③中，是“和差”的二次方程； ④中，不是“和差”的二次方程； 故答案为：②③； （2）解：①解方程， ， ， ， ； 解方程， ， ； ②设方程的另一根是， 由韦达定理可得，． ， ， 即， 解得：； （3）解：∴      或   ． 理由：是“和差”二次方程的两个根， ， 又， ， ， ， ， 或， 或． 40．（25-26九年级上·四川乐山·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为___________； (2)若关于的一元二次方程有衍生点． ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求的值； (3)已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求的值． 【答案】(1) (2)①且；②或 (3)， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，求一次函数解析式，写出直角坐标系中点的坐标等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先求出方程的解，再写出方程的衍生点P的坐标； （2）①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个实数根，由根的判别式及一元二次方程的定义列出不等式组求解即可；②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系可得，进而得到，求出的值，即可得到的值； （3）先求出直线过的定点坐标，再根据衍生点得出方程的根，然后利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：， 方程左边分解因式，得， ∴或， 解得：，， ∴方程的衍生点P的坐标为， 故答案为：； （2）解：①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个实数根， 则， 即， 解得且； ②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为， 则， ∴， 解得， 当时，， 当时，， 综合，的值为或； （3）解：∵， ∴直线过定点， ∵关于x的方程的衍生点G始终在直线上， ∴方程的两个实数根为，， ∴， ， ∴，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程中含参数问题有关的五种模型 题型一 利用一元二次方程的定义求参数 题型二 一元二次方程的解求参数的值或代数式的值 题型三 根据一元二次方程根的情况求参数 题型四 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 题型五 一元二次方程中新定义型含参数问题 题型一：利用一元二次方程的定义求参数 1．4 2． 3． 4．1 5． 题型二：一元二次方程的解求参数的值或代数式的值 6．2 7．-1 8． 9． 10．2011 题型三：根据一元二次方程根的情况求参数 11． 12． 13． 14．且 15．且 16．【详解】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 17． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知 ∴当时，一元二次方程为， 解得， 18． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：由题意知，将代入方程中得， 解得，， 经检验，，均满足． 19． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． 又∵， ∴m的取值范围是且． （2）解：∵方程有一个根是， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程，得，， ∴方程的另一个根是，m的值是5． 20． 【详解】（1）解：由题意知，，所以. ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围是且； （2）解：把代入原方程，得， 解得， 把代入原方程，得， 解得，. ∴此时的值为2，方程的另外一个根为． 题型四：利用一元二次方程根与系数的关系求参数 21．【详解】(1)证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由题意可得，， ∵， ∴， 解得． 22． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 23．【详解】(1)证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 24． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵该方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ， ， ， ∴， 解得， ， ． 25．【详解】(1)证明：方程中，，，， ∴． ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：关于的一元二次方程， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得． 26． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； （2）解：，，， ， 整理得， 解得或， ， ． 27．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴ 解得， （2）解：∵方程的两实数根分别为， ∴， 则， ∵ ∴ ∴ 解得或， 由（1）得， ∴舍去， ∴． 28．【详解】（1）解：把代入， 得，不成立， 故不是方程的根． （2）证明：由题意，得， 则，即， 当时，方程，完全相同，不合题意， 当时，则，故（舍去），， 把代入，得． （3）解：由题意及一元二次方程根与系数的关系得，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 当时，，可得，， ∴， 此时，舍去． 当时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 29．【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 30． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 其中，， 根据根与系数的关系，可得， （2）解：由题意得，实数满足，，且 因此是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得， 所以 （3）解：将方程变形可得， 又， 分两种情况讨论：①当时， ②当时，和是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得 由，得， ∴， 综上，的值为或． 题型五：一元二次方程中新定义型含参数问题 31． 【详解】（1）不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； （2）解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； （3）解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 32． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 33． 【详解】（1）解：①当时，，符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，，不符合题意； ④当时，，符合题意， ∴其中是关于x的代数式的“不动值”是①④； （2）解：不存在，理由如下： 若关于x的代数式存在“不动值”， 则， 整理得，， 此时， ∴此方程无实数根， 故关于x的代数式不存在“不动值”； （3）解：由题意得，有两个实数根，且一个根是另一个根的3倍， 整理得，， 设两个实数根为， 则由一元二次方程根与系数的关系得到，， 解得 ∴． 34． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， ∴，    ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或． （3）解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得． 35． 【详解】（1）解：① ，因式分解得根，，符合差根方程定义； ② ，因式分解得根，，不符合． 故答案为：①． （2）解：方程中，，， 因为是差根方程，所以， 平方得： ， 代入得，即， 解得． （3）解：设直角三角形两直角边， 由勾股定理得： ， 因为是差根方程的两根，所以， 平方得： ， 代入得： ， 解得． ， 因为，所以． 以为根的一元二次方程为， 即，验证得，符合差根方程定义． 36． 【详解】（1）解：， 得， 解得，， 其中， ∴方程是“连根方程”． （2）解： ∵ 得， 解得，， ∵该方程是“连根方程”， ∴，即， 解得或． 37． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． （2）解：一元二次方程的“友好方程”为， 解得，， 根据以上结论，的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数， 证明如下：∵一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根为，， ∴， ， ∴，， 即原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． 故答案为：，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． （3）解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”，即的两根为，， 则，即中或， ∴该方程的解为，． 38． 【详解】（1）解：∵1，2，3的倒数分别为， ∴1，2，3不是“和谐三数组”； ∵的倒数分别为， ∴是“和谐三数组”； ③∵的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，， ∴是“和谐三数组”； ④∵的倒数为，的倒数为，的倒数为，． ∴是“和谐三数组”． 故答案为：②③④； （2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， ∴，， ∴， ∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解， ∴，∴， ∴=， ∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）解：∵三个点均在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”， ∴或或， 即或或， 解得：或或． 39． 【详解】（1）解：①中，不是“和差”的二次方程； ②中，是“和差”的二次方程； ③中，是“和差”的二次方程； ④中，不是“和差”的二次方程； 故答案为：②③； （2）解：①解方程， ， ， ， ； 解方程， ， ； ②设方程的另一根是， 由韦达定理可得，． ， ， 即， 解得：； （3）解：∴      或   ． 理由：是“和差”二次方程的两个根， ， 又， ， ， ， ， 或， 或． 40． 【详解】（1）解：， 方程左边分解因式，得， ∴或， 解得：，， ∴方程的衍生点P的坐标为， 故答案为：； （2）解：①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个实数根， 则， 即， 解得且； ②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为， 则， ∴， 解得， 当时，， 当时，， 综合，的值为或； （3）解：∵， ∴直线过定点， ∵关于x的方程的衍生点G始终在直线上， ∴方程的两个实数根为，， ∴， ， ∴，． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $