第一单元 专题二 追及、相遇问题 （Word学生用书）-【高考快车道】2027年高考物理大一轮总复习（通用版）

专题二　追及、相遇问题 例1　v0< [解析] 要使两车不相撞,临界情况为A车追上B车时其速度与B车相等.设A、B两车从相距x到A车追上B车时,A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t,B车的位移为xB、末速度为vB,两者的运动过程如图所示,现用三种方法解答如下: 方法一:临界条件法 利用位移公式、速度公式求解 对A车有xA=v0t+×(-2a)×t2,vA=v0+(-2a)×t 对B车有xB=at2,vB=at 对两车有x=xA-xB 追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB 联立解得v0= 所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0< 方法二:函数判断法 利用判别式求解,由方法一可知xA=x+xB 即v0t+×(-2a)×t2=x+at2 整理得3at2-2v0t+2x=0 这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式Δ=(-2v0)2-4×3a×2x<0时,t无实数解,即两车不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0< 例2　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s [解析] (1)解法一(临界条件法): 如图所示,汽车与自行车的速度相等时相距最远,设此时经过的时间为t1,汽车和自行车间的距离为Δx,则有v自=at1 所以t1==2 s Δx=v自t1-a=6 m. 解法二(相对运动法): 以自行车为参考系,则从开始到相距最远的这段时间内,汽车相对这个参考系的各个物理量为 初速度v0=v汽初-v自=0-6 m/s=-6 m/s 末速度vt=v汽末-v自=0 加速度a'=a-a自=3 m/s2-0=3 m/s2 所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为 t1==2 s 最大相对位移Δx==-6 m 负号表示汽车在后. 解法三(二次函数法): 设汽车在追上自行车之前经过时间t1汽车和自行车相距Δx,则Δx=v自t1-a 代入已知数据得Δx=6t1- 由二次函数求极值的条件知t1=2 s时,Δx有最大值6 m. 所以经过t1=2 s后,汽车和自行车相距最远,最远距离为Δx=6 m (2)当汽车与自行车位移相等时,汽车追上自行车,设此时经过的时间为t2,则有v自t2=a 解得t2==4 s 此时汽车的速度v1'=at2=12 m/s 例3　(1)18 m/s　(2)10 s　60 m/s　(3) m [解析] (1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小为 v1=at1=6×3 m/s=18 m/s. (2)设经t2时间追上安全车,由位移关系得 v0t2+x0=a 代入数值解得t2=10 s(另一结果不合题意,舍); 此时赛车的速度大小v=at2=6×10 m/s=60 m/s. (3)方法一　临界条件法 后面赛车加速运动,在v赛<v0时,两车距离变大,当v赛=v0时两车相距最远,当v赛>v0时两车靠近,即两车相距最远时有v0=at 则t== s= s 追上之前两车最远相距Δxmax=v0t+x0-at2= m= m 方法二　数学分析法 两车间的距离为 Δx=v0t+x0-at2=(10t+200-3t2) m 当t= s= s时,Δx有极值,即两车相距最远 将t= s代入解得Δxmax= m 方法三　图像法 由图像可知,当赛车速度等于安全车速度,即v0=at=10 m/s时,两车相距最远,得t= s,则Δxmax=v0t-t+x0= m. 变式　45 s [解析] 方法一　临界条件法 由上可知赛车刚追上安全车时速度为60 m/s 赛车刹车到停下,由v=v0+at得 时间t0= s=15 s 行驶位移x赛=×15 m=450 m 该过程中安全车位移x安=10×15 m=150 m 即赛车停下时,安全车在其后 Δx=450 m-150 m=300 m 则两车第二次再相遇时安全车继续行驶时间 t'= s=30 s 可知两车再经过45 s第二次相遇 方法二　图像法 由于赛车刹车的初速度v0=60 m/s,加速度为a=-4 m/s2,其v⁃t图像如图线Ⅰ所示,而安全车的v⁃t图像如图线Ⅱ所示;两车第二次相遇时,图线与t轴围成的面积相等,设该时间为t″,有×60×15=10t″,解得t″=45 s 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二　追及、相遇问题 　解决追及、相遇问题的一般方法 追及与相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系,只要满足两个物体在同时到达同一地点,即说明两个物体相遇. 分析思路 可概括为“一个临界条件”和“两个等量关系”. (1)一个临界条件:速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件,也是分析、判断问题的切入点; (2)两个等量关系:时间等量关系和位移等量关系.通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口. 例1　在水平轨道上有两列火车A和B相距为x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同.要使两车不相撞(未相遇),A车的初速度v0应满足什么条件? 例2　一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以a=3 m/s2的加速度开始行驶,恰在这一时刻一辆自行车以v自=6 m/s的速度匀速驶来,从旁边超过汽车. (1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少? (2)什么时候汽车能追上自行车?此时汽车的速度是多少? 【技法点拨】 (1)临界条件法:抓住“两物体能否同时到达空间同一位置”这一关键,认真审题,挖掘题目中的隐含条件,建立物体运动关系的情境图.(2)二次函数法:设运动时间为t,根据条件列方程,得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系,Δx=0时,表示两者相遇.①若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次;②若Δ=0,一个解,说明刚好追上或相遇;③若Δ<0,无解,说明追不上或不能相遇.当t=-时,函数有极值,代表两者距离的最大或最小值.(3)变换参考系法:一般情况下,我们习惯于选地面为参考系,但有时研究两个以上相对运动物体间运动时,如果能巧妙选取合适的参考系,会简化解题过程,起到化繁为简的效果.特别注意:若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动. 　图像法在追及、相遇问题中的综合应用 1.速度小者追速度大者 情景 图像 说明 匀加速 追匀速 ①t=t0以前,后面物体与前面物体间距离增大 ②t=t0时,两物体相距最远,为x0+Δx(x0为两物体初始距离) ③t=t0以后,后面物体与前面物体间距离减小 ④能追上且只能相遇一次 匀速追 匀减速 匀加速 追匀减速 特别提醒:若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动 2.速度大者追速度小者 情景 图像 说明 匀减速 追匀速 开始追赶时,两物体间距离为x0,之后两物体间的距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻: ①若Δx=x0,则恰能追上,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件 ②若Δx<x0,则不能追上,此时两物体最小距离为x0-Δx ③若Δx>x0,则相遇两次,设t1时刻Δx=x0,两物体第一次相遇,则t2时刻两物体第二次相遇(t2-t0=t0-t1) 匀速追 匀加速 匀减速 追匀加速 例3　某一平直的赛场上,一辆赛车前方200 m处的不同赛道上有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进,这时赛车由静止出发以6 m/s2的加速度起动.求: (1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小; (2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小; (3)追上之前两车间的最大距离. 变式　若当赛车刚追上安全车时,赛车手立即刹车,使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动,则两车再经过多长时间第二次相遇?(用临界条件法和图像法两种方法解题) 学科网（北京）股份有限公司 $