第1章 直线与方程（高效培优单元自测·强化卷）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学第1章“直线与方程”单元复习卷，覆盖倾斜角、垂直条件、距离公式等核心知识点，通过基础题与综合应用题梯度设计，培养运算能力、推理意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|倾斜角、垂直条件、平行距离|基础巩固，考查概念辨析| |多选题|3/18|直线定点、充要条件|能力提升，体现逻辑推理| |填空题|3/18|夹角余弦、参数求解、最值问题|综合应用，培养空间观念| |解答题|5/74|交点、对称、三角形面积|创新应用，融合数学思维与表达|

第1章 直线与方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．直线x-y+1=0的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角 【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解． 【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，，得． 故选B． 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题． 2．是直线与直线垂直的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直时，系数的关系，可求得的值，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】由直线与直线垂直， 故，解得或0. 所以是直线与直线垂直的充分不必要条件. 故选：B. 3．已知直线，相互平行，则、之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行得到关于a的方程，求出的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可. 【详解】因为直线，相互平行， 所以，解得， 所以，即， 所以、之间的距离. 故选：A. 4．一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、直线两点式方程及辨析 【分析】首先求出关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可； 【详解】设关于的对称点为， 则有， 解得：，即， 反射光线所在直线为， 整理得： 故选：B． 5．已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 6．点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】数形结合，利用当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点 与点 的距离为：. 当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段 的斜率为 ，直线 垂直于 ，直线 的斜率为 . 故选：C 7．直线：与：的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立两直线方程，求出交点坐标. 【详解】联立方程组解得， 故与的交点坐标为. 故选：A 8．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的性质分析判断. 【详解】∵直线与直线互相垂直 ∴，∴或， 而“”是“或”的充分不必要条件 ∴“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知两直线与，则（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．当时， D．当时，与之间的距离为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】对于A，运用消去参数，对于B，运用截距概念；对于C，运用两直线垂直时，斜率之积为；对于D，两直线平行时，斜率相等，结合平行线距离公式计算.我们将根据这些性质来逐一分析每个选项. 【详解】对于选项A，对于直线，当时，，解得. 所以直线过定点，选项A正确. 对于选项B，对于直线，令，则，解得. 所以直线在轴上的截距为，选项B错误. 对于选项C，直线，其斜率；直线，其斜率.当时，，即， ，解得，选项C正确. 对于选项D，当时，，解得. 此时，即. 两平行直线与之间的距离公式为. 对于与，距离，选项D错误. 故选；AC. 10．对于直线.以下说法正确的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、直线综合、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 11．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、基本不等式求积的最大值、求平面两点间的距离 【分析】首先求出点A，B的坐标，可判断选项A的正误；判断两条直线的位置关系可判断选项B的正误；根据基本不等式链可判断选项C，D的正误. 【详解】由，得． 因为，所以，得． 由，得． 因为，所以，得． 所以，A正确． 由直线：和直线：，知． 所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．直线和的夹角的余弦值为________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】两条直线的到（夹）角公式 【详解】设直线和的倾斜角分别为，两直线的夹角为， 则， 所以， 而，，，解得， 则直线和的夹角的余弦值为. 13．已知直线与垂直，则______． 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出的值. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 故． 故答案为：12 14．在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【详解】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线，所以. 故的最小值为6. 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知直线和的交点为P． (1)若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： (2)若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线的一般式方程及辨析、由两条直线平行求方程 【分析】（1）求出已知直线的交点坐标，根据直线的平行关系，即可求得答案； （2）设直线方程的截距式，由题意列出相应方程组，即可求得答案. 【详解】（1）联立，解得，即， 直线l经过点P且与直线平行， 故设直线l方程为，将代入得， 故直线l方程为； （2）由题意知直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5， 则其在坐标轴的截距不为0，设其方程为， 与两坐标轴的交点分别为，则， 解得或， 故直线m的方程为或， 即或. 16．已知直线及点. (1)若与垂直的直线过点，求与的值； (2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 【答案】(1)， (2)或 【难度】0.85 【知识点】已知点到直线距离求参数、直线的点斜式方程及辨析、已知直线垂直求参数 【分析】（1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可； （2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可. 【详解】（1）因为直线过点， 所以，解得， 因为与垂直， 所以. （2）因为点与点到直线的距离相等， 由点到直线的距离公式得. 解得， 当时，的斜截式方程为， 当时，的斜截式方程为. 17．已知的三个顶点为，，，D为的中点. (1)求边上中线所在直线的方程； (2)求边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1)； (2)； (3)17. 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离 【分析】（1）求出点的坐标及直线斜率，再利用直线的点斜式方程求解. （2）求出直线的斜率，再利用垂直关系及直线的点斜式方程求解. （3）求出点到直线的距离及边长，进而求出三角形面积. 【详解】（1）依题意，点，直线斜率，方程为， 所以边上中线所在直线的方程为. （2）直线的斜率，边的垂直平分线斜率为， 直线方程为，即， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为. （3）由（2）得直线的方程为，即， 点到直线的距离，而， 所以的面积. 18．已知点，，直线的方程为：． (1)求直线关于点对称的直线的方程； (2)求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求直线关于点的对称直线、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）设直线上任意一点关于点的对称点为，得到，代入即可求解； （2）设圆心，根据，求得，得到圆心和半径，即可求得圆的标准方程. 【详解】（1）解：设直线上任意一点关于点的对称点为，则， 因为，所以， 整理得，即直线的方程． （2）解：设圆心， 由，则，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为． 19．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：.    （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 直线与方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．直线x-y+1=0的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．是直线与直线垂直的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知直线，相互平行，则、之间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 7．直线：与：的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 8．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知两直线与，则（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．当时， D．当时，与之间的距离为 10．对于直线.以下说法正确的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 11．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．直线和的夹角的余弦值为________． 13．已知直线与垂直，则______． 14．在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知直线和的交点为P． (1)若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： (2)若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 16．已知直线及点. (1)若与垂直的直线过点，求与的值； (2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 17．已知的三个顶点为，，，D为的中点. (1)求边上中线所在直线的方程； (2)求边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)求的面积. 18．已知点，，直线的方程为：． (1)求直线关于点对称的直线的方程； (2)求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 19．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $