安徽安庆市部分校2025～2026学年第二学期期末考试高二数学试卷

**基本信息** 高二数学期末卷涵盖函数、数列、几何等核心知识，解答题结合新能源汽车研发、盲盒促销等现实情境，通过翻折几何、数列构造等创新题，考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|单选考双曲线离心率、等差数列公差，多选考正态分布、二项式定理|结合独立性检验考查数据意识| |填空题|3/15|导数切线方程、概率公式、函数斜率|注重数学符号表达| |解答题|5/77|等比数列求和、立体几何翻折、线性回归、概率分布、定积分证明|新能源汽车情境体现应用意识，数列构造题发展创新思维|

高二数学试卷参考答案与评分标准 1、 选择题:本小题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B A C D B A 9 10 11 AC ACD ABD 2、 选择题:本小题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 3、 填空题:本小题共3小题，每小题5分，共15分。 12．． 13. 14．9 四、解答题:本题共5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解答】解：（1）设的公比为，是，的等差中项， 所以，，即，解得 4分 所以 6分 （2）设的前项和为，，， 所以，① ，② 8分 ①②得：， 所以 13分 16．【解答】解：（1）证明：因为为的中点，△是边长为2的等边三角形，所以，且 2分 如图，连接，在等腰△中，，又， 满足，所以，即 5分 又，且平面，平面， 所以平面 7分 （2）由（1）知平面，， 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则 因为平面位于平面内，易知平面的一个法向量为 又 10分 设平面的法向量为， 则，则，得，令，得， 即平面的一个法向量为 12分 设平面与平面的夹角为． 因为， ， 所以． 故平面与平面夹角的余弦值为 15分 17．【解答】解：（1）证明：已知，即， ， 所以 4分 （2），， ， 6分 7分 又因为， 所以 又因为，则线性相关程度较强，所以研发投入与经济收益之间具有较强的线性相关性 10分 （3），则 12分 所以关于的线性回归方程为 14分 将代入线性回归方程，得， 所以预测研发投入10亿元时的经济收益为21.2亿元 15分 18．【解答】解：（1）设A1＝“消费者买到新款盲盒”，A2＝“消费者买到旧款盲盒”，B＝“盲盒中出现‘隐藏款’”， 所以 4分 （2）已知小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，则 则 7分 8分 （3）已知一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是'常规款'还是'隐藏款'时为止， 记取出盲盒的个数为Y，则Y的可能取值为2，3，4，5， ， 12分 ， 16分 则Y的分布列为 Y 2 3 4 5 P 17分 19．【解答】解：（1） 3分 （2）当时，恒成立， ， 4分 即当时，恒成立． 令，则． 当时，，在，上单调递增 6分 又，在，上恒成立， 当时，恒成立； 当时，对，有， 在上单调递减， 8分 当时，存在，使，不恒成立． 综上可知，，实数的取值范围为， 10分 （3）证明：是由曲线，直线，及轴所围成的曲边梯形的面积， 是图一中阴影所示的各矩形的面积和 11分 不等式左边得证 13分 是图二中阴影所示的各矩形的面积和， 不等式右边得证 16分 17分 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1.本试卷共6页，共150分。考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题 答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上.无效。 4.考试结束后，将答题卡交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知双曲线兰-x=1,则双曲线c的离心率为( ) A.√5 B.5 。吗 D. 2 2.在等差数列{a}中，若a+4=a,+2,a4=8,则{a}的公差为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知i,j,为空间两两垂直的单位向量，设空间向量ā=i-2j+2k,则向量2ā的模为() A.3 B.6 C.9 D.12 4.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到X2=3.531,依据a=0.01的独立性检验 (1=6.635),结论为() A.变量x与y独立 B.变量x与y不独立 C.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率超过0.01 D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 5.已知函数(x)=6lnx-f1)x2,则f'(1)=() A.0 B.1 C.2 D.3 第1页（共6页） 6.甲，乙，丙，丁，戊参加数学竞赛，决出了第一名到第五名的排名，甲和乙去询问成绩， 老师对甲说：很遗憾，你没有拿到第一名”，对乙说：你的名次和甲没有挨着一起”，则这5 人的名次排列不同的情况有()种. A.72 B.54 C.96 D.48 7.已知函数0=加+衣子片g=f-44,若对任意的无e0,,存在5=0，， 使f(:)≥8(x),则实数t的取值范围是() A.(-0,4] B.(-0,1] C.(-0,0] D.(0,-1] 8.数列{a}为1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4，，首先给出4=1，接着 复制该项后，再添加其后继数2，于是4=1,4=2，然后再复制前面所有的项1,1,2，再 添加2的后继数3，于是44=1,4=1,4=2,4=3，接下来再复制前面所有的项1,1,2， 1,1,2,3,再添加4，…，如此继续，则ao0=（) A.2 B.3 C.4 D.5 二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的有() A.设随机变量：服从正态分布N(4,2),若P(5<1)=P(5>9),则u=5 B.有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是4 C.若样本数据x1,x2,…,x的方差为4，则数据2x+1,2x2+1,…,2x+1的方差为 16 D.若事件A与事件B相互独立，P（A)=0.4,P(B)=0.5,则P(AB)=0.2 10.关于（⑤-x)的展开式，下列判断正确的是(） A.展开式共有6项 B.展开式的各二项式系数的和为64 C.展开式的第6项的系数为30 D.展开式中二项式系数最大的项是第4项 第2页（共6页） 11.已知动圆C:(x-x)?+(0y-)?=4的圆心在曲线y=x上运动，则下列结论正确的是() A.若圆C经过原点O,则实数，存在两个不同的值符合题意 B.若圆c被直线y=上x平分，则圆心的坐标为e,) C.存在，>1，使得圆C截两坐标轴所得的弦长相等 D.圆C上的点到直线y=x+3的距离的最小值为2W2-2 第IⅡ卷（非选择题） 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数f)=x+ax在点1,1+a)处的切线方程为y=5x+b,则a+2b=一· 13.对于事件A,B,PB)-}PM到-名PUD)=号，则P(A)-一· 14.己知函数f(w)=ax-x)x-为)x-x)(a>0),设曲线y=fx)在点(：，fs》处切线的斜率为 飞=1,2,3).若，x2,x3均不相等，且飞2=-1，则k+4k3的最小值为一 四、解答题：本题共5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知{a}为等比数列，a=1,2a,是4a,4,的等差中项. (1)求{a}的通项公式； （2)求数列{a}的前n项和. 16.(15分)如图1，在平面四边形ABCE中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形， ∠ABC=90°，△ACE是边长为2的等边三角形.现将△ACE沿AC翻折至△ACD的位置，使得 BD=2,如图2. D(E) (1)设O为AC的中点，证明：DO⊥平面ABC; B (2)求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值， B A 图1 图2 第3页（共6页） 17.(15分)近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展， 销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点.某车企通过市场调研，得到研发 投入x(亿元)与经济收益y(亿元)的数据，统计如下： 研发投入x(亿元) 2 3 经济收益y（亿元) 2.5 6.5 10.5 (1)x=1,2,3,4,5)的平均数记为元，证明：∑-}-∑x2-5x2: (2)依据表中统计数据，计算样本相关系数r(结果保留3位小数)，并判断研发投入x与经 济收益y之间是否有较强的线性相关性；（若0.3r<0.75,则线性相关程度一般，若1r>0.75, 则线性相关程度较强) (3)求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益. 参考数据： 2y-52=45,V45≈21.1 2(4-x0y-列 附：相关系数r三 x-y可 1=1 线性回归方程的斜率b= 含w 第4页（共6页） 18.(17分)盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象， 其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求.商家为了在电商平 台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现隐藏款的概率为上，旧款 盲盒中出现隐藏款”的概率为1，商家会以3：2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货. 12 (1)求消费者买到的某个盲盒中出现隐藏款”的概率： （2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现隐藏款的个数为X,求随机 变量X的数学期望和方差； (3)现有一箱装有4个常规款”和2个隐藏款的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆 开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是常规款还是隐藏款时为止，记取 出盲盒的个数为Y,求随机变量Y的分布列： 第5页（共6页） 19.(17分)一般地，设函数fx)在[a,)上连续，用分点a=x<x<<x-1<龙<<x=b将 [a,]分成n个小区间，每个小区间的长度为△x(△x=x-x),在每个小区间[x1,x]上任 取一点=1,2，，m,作和式3=立传)ax=立f传-.如果△x无限接近于0（亦 i-0 i-0 即n→+m)时，上述和式S无限趋近于常数S,那么称该常数s为函数f(x)在[a,b]上的定积 分，记S=fxdk.当f)≥0时，定积分f(e)k的几何意义表示由曲线y=fw),两直线x=a, x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积.如果f(x)是[a,b]上的连续函数，且F(x)=f(x),那么 ∫fdk=F(I日=F⑥)-F(a. (1)求值(cosx+k: （2)如果在a,创上连，统可设函数e=0 dasxsb,当e0时，若7中： x+1 恒成立，求实数m的取值范围； (3)若数列{a,}满足a,=1m∈N,利用定积分的几何意义，证明立4<hm<∑4· =2 第6页（共6页） 2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 注意事项: 1.本试卷共6页，共150分。考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上.无效。 4.考试结束后，将答题卡交回。 第I卷(选择题) 1、 选择题:本小题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C．3 D． 2．在等差数列中，若，则的公差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 4．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，结论为（　　） A．变量与独立 B．变量与不独立 C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率超过0.01 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 5．已知函数则（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．甲，乙，丙，丁，戊参加数学竞赛，决出了第一名到第五名的排名，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你没有拿到第一名”，对乙说：“你的名次和甲没有挨着一起”，则这5人的名次排列不同的情况有种． A．72 B．54 C．96 D．48 7．已知函数，，若对任意的，，存在，，使，则实数的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，，如此继续，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2、 选择题:本小题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的有（　　） A．设随机变量服从正态分布，若，则 B．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16 D．若事件与事件相互独立，（A），（B），则 10．关于的展开式，下列判断正确的是（　　） A．展开式共有6项 B．展开式的各二项式系数的和为64 C．展开式的第6项的系数为30 D．展开式中二项式系数最大的项是第4项 11．已知动圆的圆心在曲线上运动，则下列结论正确的是（　　） A．若圆经过原点，则实数存在两个不同的值符合题意 B．若圆被直线平分，则圆心的坐标为 C．存在，使得圆截两坐标轴所得的弦长相等 D．圆上的点到直线的距离的最小值为 第II卷(非选择题) 3、 填空题:本小题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数在点，处的切线方程为，则　　． 13．对于事件，，，，，则（A）　　 ． 14．已知函数，设曲线在点，处切线的斜率为，2，．若，，均不相等，且，则的最小值为　　 ． 四、解答题:本题共5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知为等比数列，，是，的等差中项． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16．（15分）如图1，在平面四边形中，△是以为斜边的等腰直角三角形，，△是边长为2的等边三角形．现将△沿翻折至△的位置，使得，如图2． （1）设为的中点，证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点．某车企通过市场调研，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 经济收益（亿元） 2.5 4 6.5 9 10.5 （1），2，3，4，的平均数记为，证明：； （2）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留3位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强） （3）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益． 参考数据：，． 附：相关系数，线性回归方程的斜率． 18．（17分）盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3：2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． （1）求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； （2）小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； （3）现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是'常规款'还是'隐藏款'时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列． 19．（17分）一般地，设函数在，上连续，用分点将，分成个小区间，每个小区间的长度为△△，在每个小区间，上任取一点，2，，，作和式．如果△无限接近于0（亦即时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在，上的定积分，记．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线，与轴所围成的曲边梯形的面积．如果是，上的连续函数，且，那么． （1）求； （2）如果在，上连续，可设函数，当时，若恒成立，求实数的取值范围； （3）若数列满足，利用定积分的几何意义，证明． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $