1.5 相似三角形的性质课件 2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质，先回顾对应角相等、对应边成比例的基础，通过“三角形还有哪些几何量”的问题引导，逐步探究对应高、中线、角平分线的比等于相似比，再延伸到周长和面积的性质，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动推理，通过证明高、角平分线、中线性质培养推理能力，结合例1距离计算、例2面积求解等实例发展模型意识与应用意识。总结时用条目清晰呈现性质，学生能提升逻辑思维与应用能力，教师可借助系统流程和例题提高教学效率。

1.5 课时1 相似三角形对应高、中线、角平分线的性质 A C B A1 C1 B1 对应角相等、 对应边成比例 1.已知△ABC∽ △A1B1C1，那么它有什么性质呢？ 2.三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 A' B' D' C' A B C D A' B' C' E' A B C E A' B' D' C' A B C D 思考：如图，相似三角形的对应线段之间有什么数量上的关系呢？ 问题1：如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AH，A′H′分别为对应边BC，B′C′上的高， 那么 = 吗？你能得到什么结论？ 解：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′. 又∠AHB=∠A′H′B′=90°， ∴△ABH∽△A′B′H′. ∴= ． 相似三角形对应高的比等于相似比. 例1 如图，AB∥PQ，AB=100m，PQ=120 m. 点 P，A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上．若AB与PQ的距离是40m，求点C到直线PQ的距离. 解：∵ AB∥PQ， ∴ △CAB∽△CPQ. 过点C作CD⊥PQ，垂足为点 D. 设 CD 交AB 的延长线于点 E， ∴CE⊥AB，DE=40 m. 由 “相似三角形对应高的比等于相似比” 可得， = = . 又AB=100 m，PQ=120 m，DE=40 m，∴ CD=240 m. 问题2：如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ， AT， A′ T′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线=吗？ 解：∵ △ABC∽△A′B′C′ ，∴ ∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′. 又 AT， A′T′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线， ∴ ∠BAT=∠BAC=∠B′A′C′=∠B′A′T′， ∴ △ABT∽△A′B′T′， ∴ = . 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 问题3：已知△ABC∽△A′B′C′ ，若AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线，则 = 成立吗？ 由此你能得出什么结论？ 解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴ = = , ∠B=∠B′. ∵ AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线， ∴BD=BC， B′D′=B′C′，∴ = = = . 又∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′. ∴ = ． 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE=1∶2，点M，N分别是BC，EF的中点，则AM∶DN=　 　.  1:2 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 1.如图,已知点D,E分别是AB,AC边上的点,且△ADE∽△ABC,相似比为1∶3, AG⊥BC交DE于点F.则AF∶AG=( ) A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1 A 2.如图,在△ABC中点D,E分别在AB,AC上,AF平分∠BAC交DE于点G若AE=3,EC=1,AD=2,BD=4.则AC:AF 等于( ) A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.3:5 B 3.如图,在△ABC中,D,E分别是△ABC的AB,AC边.上的点，DE//BC,CF,EG分别是△ABC与AADE的中线.已知AD : DB=4 : 3,EG=4 cm,则CF的长为　 　． 7 4.如图，△ABC∽△ABC，AD，BE分别是△ABC的高和中线，AD，BE分别是△ABC的高和中线，且AD＝4，AD＝3，BE＝6，求BE的长． 解：∵△ABC∽△ ABC ，∴ = = = ， = = = ， ∴ = =， ∴ BE= . 1.5 课时2 相似三角形对应周长和面积的性质 问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ A B C A1 B1 C1 问题1：图(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形，它们都相似吗？ (1) (2) (3) 1 2 3 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的周长比=______， (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的周长比=______. 1∶2 结论： 相似三角形的周长比等于______． 相似比 都相似 1∶3 1∶2 1∶3 有什么规律吗？ 证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k， 求证：相似三角形的周长比等于相似比. A B C A1 B1 C1 想一想：怎么证明这一结论呢？ (1)与(2)的相似比= ______, (1)与(2)的面积比=______ (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的面积比=______ 1 2 3 1∶2 （1） （2） （3） 1∶4 1∶3 1∶9 问题2：图(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形，回答问题： 结论：相似三角形的面积比等于____________． 相似比的平方 有什么规律吗？ 证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k, 如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′. ∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′. A B C A′ B′ C′ D D′ 想一想：怎么证明这一结论呢？ 求证：相似三角形的面积比等于相似比的平方. A B C A′ B′ C′ D D′ ∵△ABC∽△A′B′C′. 相似三角形周长、面积的比 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似三角形周长的比等于相似比. 例1 如图，在△ABC中，EF∥BC， =，S四边形BCFE=8，求S△ABC． 解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC． 又= ， ∴=. ∴=()2= ，即= . ∵S四边形BCFE=8， ∴ =1. ∴ S△ABC=9. 解：∵ △ABC与△A′B′C′的相似比为， ∴=()2=，即S△ABC= S△A′B′C′. 又 S△ABC+S△A′B′C′=91， ∴ S△A′B′C′+S△A′B′C′= 91， ∴ S△A′B′C′=63. 例2 已知△ABC与△A′B′C′的相似比为，且S△ABC+S△A′B′C′=91， 求△A′B′C′的面积. 相似三角形的性质 相似三角形周长之比等于相似比 相似三角形面积之比等于相似比的平方 1.如果两个相似三角形的周长之比为5：7，那么这两个三角形的面积之比为（　　） A．5：7 B．7：5 C．25：49 D．49：25 C 2.如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．若的面积为1，则平行四边形的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 A 3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=2AD，CE=2AE，则下列结论：①△ABC∽△ADE；②DE∥BC；③DE：BC=1：2；④S△ABC=9S△ADE中成立的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 4.如图，在中，，分别与、相交于点D、E，若，，则的值为　 　． 5.有一个直角三角形的边长分别为 3， 4， 5， 另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7， 则另一个直角三角形的周长和面积分别是多少？ 解：由题易知两直角三角形相似比为,则周长比为，面积比为， 故另一个三角形的周长为×(3+4+5)=28， 面积为××3×4=. $