专题02 数与式二（代数式、因式分解、分式，二次根式）（5年汇编）（福建专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编福建中考5年真题及模拟题，聚焦代数式、因式分解、分式等核心考点，基础题型与创新阅读探究题分层设计，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|基础小题|代数式（同底数幂乘除、合并同类项）|纯公式辨析，低难度，每年固定1道| |填空题|4分/道|因式分解（提公因式法、平方差公式）|基础送分题，强调分解彻底| |解答题|阅读探究大题|分式化简求值、代数推理|结合新定义（如科学记数法位数），材料长，侧重分类讨论与逻辑推导|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02数与式二 (代数式、因式分解、分式，二次根式) 5年真题1年模拟：答案版 五年真题分类园 考点01代数式 1.B 2.A 3.C 【详解】(1)解：(N2+=3+22=5+(22-2) ①5， (22+2=12+82=23+82-11, @82-1 0<V2a-b<1 :0<(2a-b<1 .m=4a2+2b2-1 4a2+2b2-1 即③ z.n=1-(V2a-b),1-V2a-b): (2)略 (3)由1)知，4a2+2b-(2a-b=m+n, 1/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k<v2a-b</k+1 其中人为整数，且k≥2， 2k<(V2a-b)<k+1 .n=k+1-(2a-b. m+n=4a2+2b2-(N2a-b月 :m+n=4a2+2b2-(k+)+(k+1）-(2a-b :.m+n=4a2+2b2-(k+1)+n .m=4a2+2b2-(k+1） 当k为偶数，且k≥2时，k+1为奇数， …4a2+2b2 为偶数， :.4口+22-(k+0为奇数，即m为奇数 当k为奇数，且k之2时，k+1为偶数， .4a2+2b2 为偶数， 、4如+2-（伥+1）为偶数，即m为偶数， 综上，当k为偶数，且k≥2时，m为奇数；当k为奇数，且k≥2时，m为偶数. 5【答案】1)小明的猜想不正确，反例：3×4=12 (2) >1, ab>b≥1， 证明：①1b 所以 ab ，所以 ，与(*)矛盾，不合题意； ≤1， 40≤a<10, 1<ab<10' @2>1,所以 >b>1,又 ab b<100,所以1<ob<100 b 由《4)知。=10，所以p=m+m ab 2/15 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A B)当4的数字大于或等于B的数字时，B的位数是m-n+1:当4的数字小于B的数字时，B的位数是 m-n 考点02因式分解 1.x+)x-y) 2x(x+1) 3.④ 4) 解：因为3m+n=名n= a b=a(3m+n),c=amn 所以 2-12ac=[a(3m+n)]-12a2mn 则 =a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn =a2(9m2-6mn+n2） =a2(3m-n)2 因为8m, 是实数，所以a(3m-m)2≥0 2-12ac 所以 为非负数 (2) m,n不可能都为整数。 理由如下：若m,n都为整数，其可能情况有：①m,n都为奇数；②m,”为整数，且其中至少有一个为偶数 ①当m,n都为奇数时，则3m+n必为偶数. 又3m+n= a,所以b=a(3m+n): 因为“为奇数，所以a(3m+m） 必为偶数，这与乃为奇数矛盾」 3/15 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当m,n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数 又因为n= a,所以c=amn 因为a为奇数，所以amn必为偶数，这与c为奇数矛盾. 综上所述，m,n不可能都为整数. 考点03分式的运算 1.1 2.1 1 √5 3.a+1,5 -1-V2 4.x+1,2 a 2+V2 5.a-1.2 一年摸拟练测园 1.B 2.D 3.A 4.B 5.A 6.A 7.A &.C 9.D 10.B 11.A 12.C 13.D 4/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.5 15.6 120 16.x 17.2026 18.4y(x-2y) 19. a(a+1) 20.111213 u号 22.4(答案不唯一) 23.0 24.0 25.5 26.1 27.13×62(答案不唯一) 28.-1 29.4 30.1 31.8 28 33.2+V5 34.2x-3,-2 35.4a2-3a-4 x-13-2V5 36.x+1,3 37 a-1,2 5/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3815 x-2:2 39.x-y2 40.9 41.-x+4: 42.(1)当a=b时，等号成立 证明：a+b=2k(a-b)?≥0 :a-b=a+-4ab=4h2-4b≥0 ab≤k2, (a-b矿≥0，当且仅当a=b时等号成立， ∴.当且仅当a=b时，不等式ab≤k2中等号成立. (2)解：a+b=2k, a2+b2=(a+b)2-2ab=4k2-2ab .由(1)得，当a≠b时，ab<k2, -2ab>-2k2, 42-2ab>4k2-2k2, .a2+b2>2k2 43. 【详解】(1)解：：(a+b)'=a+b (a+b)2-a2+2ab+b2 (a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 6/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :(a+b)-a+5a'b+IOa+IO@+5ab+b (2)解：：(a+b八=a+b,展开式中共有2=1+1项，系数和为1+1=2=2。 (a+b)=a2+2ab+b2 展开式中共有3=2+1项，系数和为1+2+1=4=22， (a+b)=a3+3a2b+3ab2+b ，展开式中共有4=3+1项，系数和为1+3+3+1=8=2， (a+b)=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 展开式中共有5=4+1项，系数和为1+4+6+4+1=16=2， :(a+b)的展开式共有+)项，系数和为2： (3)解：根据规律可知： 2-5×24+10×23-10×22+5×2-1 =2+5x24×(-1)+10×23×(-1}+10×22×(-1°+5×2×(-1)°+(-1)° =[2+(-1] =(2-1 =1 44. 【详解】(1)解：由题意知，若充电时间为的轿车先充电，则第一辆车完成充电的等候时间为， 第二辆车完成充电的时刻为 +）分钟，丙锈车等探的到间为石=644-+小分*。 :7-7=(24+4)小-(2，+4)=4-5 ,t<t2 :4-6<0,则I-3<0n7<红 ,则 ,即 要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电， 可猜想出问题1的解决方案为：按充满电所需时间从小到大的顺序安排充电即可. 7/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)略 (3)解：先将10辆车的充电时间从小到大排列为：30<40<45<50<60<65<70<80<90<100， 30+40+45+50+60+65+70+80+90+100=630(min) ∴.10辆轿车的充电时间总和为： 充电桩的充电效率均相同，总时间为各充电桩时间之和， ∴同时完成则各桩时间相等， 630÷3=210(min) 要使3台充电桩同时完成充电，则每台充电桩的总充电的理想时间为： 由问题1的结论可知，每台桩内的轿车需按充电时间的从短到长的顺序充电， .P,O,R桩存在以下情况（先后顺序不计）： A(30)→B(80)→C(100) G(50)→D(70)→F(90) ①P桩的顺序为： Q桩的顺序为： R桩的顺序为：1(40)→E(45)→H(60)→J65) ②P桩的顺序为： A0610→四→00.0箱的务.八+6)G00.R猪的 I(40)→B(80)→F(90) 顺序为： A(30)→E(45)→J(65)→D(70 ③P桩的顺序为： ,Q桩的顺序为： 140)→B(30)-→F90),R桩的顺 G(50)→H(60)-→C(100) 序为： 对于①：P桩等待时间为： 30x3+80×2+100x1=350(min）,2桩等待时间为： 50×3+70×2+90x1=380(miD）,R桩等特时间为： 40×4+45×3+60×2+65×1=480(min) 350+380+480=1210(min) 总等待时间为： 对于②：P桩等待时间为： 30×4+50×3+60×2+70×1=460(min) Q桩等待时间为： 45×3+65×2+100×1=365(min) R桩等待时间为： 40×3+80×2+90×1=370(min) 8/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 460+365+370=1195(min) 总等待时间为： 30×4+45×3+65×2+70×1=455(min) 对于③：P桩等待时间为： Q桩等待时间为： 40×3+80x2+90x1=370(mim）,R桩等待时间为： 50×3+60×2+100×1=370(min) 455+370+370=1195(min) 总等待时间为： 1195<1210, .可选择方案为：P桩：A→G→H→D,Q桩：E→J→C,R桩：I→B→F或P桩：A→E→J→D O桩：I→B→F,R桩：G→H→C. 45. 【详解】(1)解：根据题意得：①7=42-32：②20=62-42： (2)解：若正整数N为奇数时， 2×1-1=12-(1-1)月 2×2-1=22-(2-1)月 2×3-1=32-(3-1)2 2×4-1=42-(4-1月 2n-1=n2-(n-1)2 由此得出规律： 若正整数N为4的倍数时， 4×1=(1+1)2-(1-1)2 4×2=(2+1)2-(2-1)2 4×3=(3+1)2-(3-1)2 4×4=(4+1)2-(4-1)2 9/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由此得出规律： 4n=(+1-(n-」 (3)略. 46. 26,10) 【答案】(I) 是平方匹配数对 (2) (m,n) 是平方匹配数对， ∴.m+n=a2m-n=b2ab ，,为正整数， ,,n为正整数， m2+mn=m(m+n)>0 n2+mn=n(n+m)>0 ..(m2+mn,n2+mn 是正整数对， (m2+mn）+(n2+mn）=m2+2mn+n2=(m+n (m2+mn）-(n2+mn）=m2-n2=(m+n)(m-n）=a2b=(ab}2 又：m,n,a,b为正整数， ∴m+n,ab为正整数， ∴.（m2+mn,n2+n) 是平方匹配数对. 47, 【详解】(1)如图： 所以①的内容为6： 观察表格数据规律可知： ②的内容为m+n-1. 10/15 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)略 (3)满足条件的所有数对为： (6,1)(5,2)(4,3)(6,2)(6,3)(6,6) 理由如下： 当m,n互质时，m×n矩形的一条对角线穿过的单位正方形的个数为m+n-1。 m n m n 当，不互质时，设其最大公因数为P,则正整数P,P互质，故PP矩形的一条对角线穿过的单位 （m+”-1=m+n-p 正方形的个数为pp,从面+日 pP 依题意，分成四类： m=6 m=5 m=4 第一类，m,n互质，此时m+n-1=6,即m+n=7,共有n=1,n=2,n=3三种情形： m=6 第二类，m,n的最大公约数为2，此时m+n-2=6,则n=2; m=6 第三类，m,n的最大公约数为3，此时m+n-3=6,则n=3: 第四类，m,n的最大公约数为6，此时m=n=6 48. 【答案】(1) 解：小明的猜想不正确，理由如下： 15515 51 反例：5418,54“非法约分”后为4，而18≠4， ∴小明的猜想不正确： (2) 20a 解：①c=3a+2, 由c是整数知，a=1或2， 11/15 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [a=1[a-2 所以c=4或c=5, 故(a,6c为6,4或265) 或 10a ②c= =10-10 a+1 a+1, 由c是整数知，a+1=1,2,5,10, 因为l≤a≤c≤9,1≤b≤9， 所以a=1或4， a=1「a=4 所以c=5或c=8, 故a6c)为95到(4.98) 为 或 3) 解：正确，证明如下： n个 19…9 =10°+10”-1=2×10°-1=2×10-1=1 9…95 10×100-1+5101-55×2×10°-15 n n个 个 19.91991 而按“非法约分”规则，995 9955, n个 个 19.9 故9.95的“非法约分”正确. n个 【分析】(1)举反例即可判断求解； (2)仿照前面的推论补充证明过程即可； (3)求出 9·.9 …95 化简后的结果，再求出“非法约分”的结果即可求证： 49 【详解】(1)解：①根据题意可知，三位数226，割掉末位数字6得22， 12/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22-6×2=22-12=10, 10不是7的整数倍， ∴.226不是7的整数倍： ②略 n226 22 (2)解：根据题意可得，四位数 割掉末位数字6得 N=n226 四位自然数 能被7整除， ∴.三位自然数100n+2×10+2-2×6能被7整除， 即100n+10能被7整除， 100n+10=7(14n+1)+2n+3 ∴2n+3能被7整除， :1≤n≤9，且n为整数， 则可得n=2或9 50. 【答案】I) 证明：因为a-b=mn, 所以a=b+mn, 所以 a2-b2-2mnb _(b+mn)2-b2-2mnb b2+2mnb+m2n2-b2-2mnb =m2n2 =(0mn)2 mn)2≥0 因为 所以a2-b2-2mnb≥0， 所以a2-b2-2mb为非负数. (2) 证明：因为a-b=mn, 13/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 且m,n为两个连续的正整数，且m<n, 所以n-1=m,m+1=n, 所以C=Va-m-b+Va+n-b =√mn-m+Vmn+n =Vm(n-1)+n(m+1) vm +vn =m+n, 因为m,n为两个连续的正整数， 所以m+n是奇数， 所以c一定是奇数. 51. 【答案】1)是， 理由如下： 8=4×2, .8可以被4整除， 8=32-12 .8是特色数： (2)解：依题意，得m,n为整数，且1≤m≤9,0≤n≤9 m+n=4, .m的值为1,2,3,4，n的相应值为3,2,1,0. .这个两位数是13或22或31或40， 13,22,31不能被4整除， 13,22,31不是特色数， .mn=40 52 解：“和倍数”是3的倍数，证明如下： 14/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设“和倍数”为 bc=100a+10b+c 由题意得，a+c=2b, ..c=2b-a, ∴.100a+10b+c=100a+10b+2b-a=99a+12b=3(33a+4b) a,b是整数， .33a+4b是整数， 3(33a+4b) 是3的倍数， .“和倍数”是3的倍数. 15/15 专题02 数与式二 （代数式、因式分解、分式，二次根式） 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01代数式 2022 福建卷、 2023 福建卷、 2024 福建卷、 2025 福建卷、 2026 福建卷 1. 基础小题：出题形式选择题，考查同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，纯公式辨析，难度低； 2. 压轴阅读探究大题：结合二次根式、整数小数部分、科学记数法位数新定义，材料长、逻辑推导多，侧重代数推理、分类讨论； 3. 命题特点：每年固定 1 道基础幂运算选择 + 1 道创新材料探究大题，素材以代数新定义、规律探究为主，区分度集中在阅读大题。 考点02 因式分解 2026 福建卷 2024 福建卷 2022 福建卷 基础题型为填空题，分值 4 分，优先考查提公因式法、平方差公式因式分解，属于基础送分题；偶尔结合等式性质、代数证明综合设问，融合因式分解、分类讨论、奇偶性推理作为阅读探究题型；命题侧重两点：①因式分解规范书写（分解彻底）；②等式变形时不能随意除以可能为 0 的代数式，辨析推理漏洞。 考点03 分式的运算 2026 福建卷、 2025 福建卷、 2023 福建卷、 2022 福建卷 高频考查，分为两类题型：①填空类分式整体代换求值；②解答题「先化简，再求值」。化简求值以分式加减乘除混合运算为主，代入值常带二次根式；易错点：分式有意义的取值限制、去括号符号问题、约分不彻底；整体代换题型侧重等式变形，不直接求解未知数，技巧性较强。 考点01 代数式 1．（2024·福建·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则． 利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误． 【详解】解：，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项错误； 故选：B． 2．（2023·福建·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A选项计算正确，符合题意； B．，故B选项计算错误，不合题意； C．，故C选项计算错误，不合题意； D．与不是同类项，所以不能合并，故D选项计算错误，不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3．（2022·福建·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，熟知积的乘方计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 4．（2026·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如，．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）；（2） ① ； （3）；（4） ② ； （5）；（6）． 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数，满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为，， 所以，即． 又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为，均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． 拓展延伸 问题1若整数，满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； 问题2若整数，满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1； (3)解决问题2． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)不是奇数，证明如下： ，， ，即． 又，且， ． 又， ， ， ． 故． 又，均为整数， 为偶数，故不是奇数． (3)当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）先求出，根据，且，得到，由可得，则，求出，即可判断； （3）由（1）知，，根据，得到，进而得到，推出，即可判定． 【详解】（1）解：， ①； ， ②； ， ， ，即③ ，即④； （2）略 （3）由（1）知，， ，其中为整数，且， ， ， ， ， 当为偶数，且时，为奇数， 为偶数， 为奇数，即为奇数； 当为奇数，且时，为偶数， 为偶数， 为偶数，即为偶数， 综上，当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 5．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)小明的猜想不正确，反例： (2) 证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以． (3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是 【分析】（1）举反例即可； （2）①当且时，可得，得，不合题意； ②当且时，可得，可得，得，即得． （3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即． 【详解】（1）解：小明的猜想不正确． 反例：． （2）略 （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以； 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， 【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键． 考点02 因式分解 1．（2026·福建·中考真题）因式分解：__________． 【答案】 【详解】解：． 2．（2024·福建·中考真题）因式分解：x2+x=_____． 【答案】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可． 【详解】解： 3．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下： 设任意一个有理数为，令， 等式两边都乘以，得① 等式两边都减，得② 等式两边分别分解因式，得③ 等式两边都除以，得④ 等式两边都减，得⑤ 所以任意一个有理数都等于0． 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_________________． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的应用，等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，得到第④步出现错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴的两边不能除以； 故出现错误的是第④步； 故答案为：④ 4．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】(1) 解：因为， 所以． 则 ． 因为是实数，所以， 所以为非负数． (2) 不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当都为奇数时，则必为偶数． 又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解； （2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可． 【详解】（1）略 （2）略 考点03 分式的运算 1．（2026·福建·中考真题）已知实数，满足，则的值为____________． 【答案】1 【分析】对进行变形得到，再对代数式进行变形，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴ ． 2．（2023·福建·中考真题）已知，且，则的值为___________． 【答案】1 【分析】根据可得，即，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即． ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到是解答本题的关键． 3．（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 4．（2023·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答． 【详解】解： ． 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键． 5．（2022·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，因式分解−运用公式法，以及二次根式的性质与化简，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 【详解】 ， 当时，原式． 1．（2026·福建三明·三模）多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 多项式共有三项，分别为，，，各项次数依次为，， ∴ 该多项式最高次项的次数为，即多项式的次数是． 2．（2026·福建三明·三模）下面的计算正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，根据去括号法则，，A错误； 选项B，与不是同类项，不能合并，B错误； 选项C，根据去括号法则，， C错误； 选项D，根据合并同类项法则，，计算正确，D正确． 3．（2026·福建厦门·模拟预测）下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂运算法则与合并同类项法则，逐一判断选项即可． 【详解】选项：，计算正确； 选项：，计算错误； 选项：与不是同类项，不能合并，计算错误； 选项：，计算错误． 4．（2026·福建泉州·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ， A运算错误； 对选项B，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ， B运算正确； 对选项C，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ， C运算错误； 对选项D，与次数不同，不是同类项，不能合并， D运算错误. 5．（2026·福建福州·模拟预测）下列运算结果不为的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A 、，结果不为，符合题意； 选项B 、 ，结果为，不符合题意； 选项C 、 ，结果为，不符合题意； 选项D 、 ，结果为，不符合题意． 6．（2026·福建莆田·模拟预测）下列四个选项中，计算结果与其他三项不相同的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算，分别根据同底数幂的乘除法则和幂的乘方法则计算各选项结果，对比即可得到答案； 【详解】解：∵ A选项：； B选项：； C选项：； D选项：； ∴ 只有A选项的计算结果与其他三项不相同，故选A； 7．（2026·福建宁德·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的基本运算，需根据积的乘方、同底数幂乘法、合并同类项、单项式乘多项式的运算法则逐一判断选项． 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 8．（2026·福建厦门·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，即选项A错误； B． ，即选项B错误； C．，即选项C正确； D．，即选项D错误． 9．（2026·福建漳州·模拟预测）若 在实数范围内有意义，则实数的值可以是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件, 根据被开方数大于0, 分母不等于0求解的范围, 再判断选项即可． 【详解】要使在实数范围内有意义，二次根式的被开方数须非负, 且分母不能为0， ， 解得：， 选项中只有满足． 10．（2026·福建厦门·模拟预测）代数式在实数范围内有意义，则的值不可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式分母不为零得到x的取值限制，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于 ∴对代数式，可得 解得 因此的值不可以是． 11．（2026·福建泉州·模拟预测）已知实数，满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题可根据已知比例关系，设参数表示和，再代入所求分式计算结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 设，，其中， 将，代入，得． 12．（2026·福建漳州·模拟预测）估算 的值应在（     ） A．4050和4051之间 B．4000和5000之间 C．4051和4052之间 D．4051和4053之间 【答案】C 【分析】先展开化简原式，再利用平方数估算无理数的范围，即可得到结果． 【详解】解：展开原式：， ，且 ， ， 不等式同乘得：， 即 ， 不等式同加得：， 即 ， 原式的值在和之间． 13．（2026·福建泉州·一模）若在实数范围内有意义，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件为．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴实数的值可以为． 14．（2026·福建南平·二模）若，则________． 【答案】5 【分析】由得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，且， 将代入可得． 15．（2026·福建福州·模拟预测）若，，则的值为______． 【答案】 【分析】先将所求多项式因式分解，再把已知的和的值整体代入计算即可，用到提公因式法和完全平方公式； 【详解】解： ， 将，代入得：原式． 16．（2026·福建厦门·三模）某班开展“书香润心灵，阅读伴成长”读书活动，小华积极参与活动，选择了一本页的书，他计划用天读完这本书，则他平均每天需阅读的页数是________． 【答案】 【分析】根据平均每天阅读页数等于总页数除以阅读天数，据此列出对应代数式即可． 【详解】解：根据题意，已知书的总页数为，计划阅读天数为， 由平均每天阅读页数等于总页数除以阅读天数，可得：平均每天需阅读的页数为． 17．（2026·福建漳州·模拟预测）密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．小李利用数学知识进行密码编制，通过整式的乘除运算，取运算结果x，y，z的指数依次生成密码，如运算结果为对应的密码是1314，则对应的密码是________． 【答案】2026 【分析】先根据幂的乘方法则进行计算，再计算单项式除以单项式，得到x，y，z的指数，按顺序组合即可得到对应密码． 【详解】解：，按x，y，z的指数依次组合，得到密码为2026． 18．（2026·福建漳州·模拟预测）因式分解：_________． 【答案】 【详解】解：． 19．（2026·福建漳州·模拟预测）因式分解：_________． 【答案】 【详解】解：原式． 20．（2026·福建泉州·二模）生活中的有些密码，可以用数学的“因式分解”来生成．例如，把多项式，因式分解为，当时，求得各因式的值分别为20、11、11，将这三个数值按从小到大排列，生成六位数密码“”．用上述方法，把多项式进行因式分解，当时，可以生成的密码是_______________． 【答案】 【分析】先对多项式进行因式分解，再代入计算各因式的值，将结果按从小到大排列后拼接得到密码． 【详解】对多项式因式分解：， 当时， 计算各因式的值：，，， 将三个因式的值按从小到大排列，拼接得到六位数密码“”． 21．（2026·福建泉州·一模）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】根据分式的加减法则将化为求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 22．（2026·福建厦门·三模）若有意义，则的值可以是________．（任意写出一个符合条件的值即可） 【答案】（答案不唯一，任意满足的值均可） 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式，求出的取值范围，在取值范围内写出任意一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， ∴任取满足条件的一个值，如． 23．（2026·福建泉州·模拟预测）计算：______． 【答案】0 【详解】解：原式． 24．（2026·福建福州·一模）已知非零实数，满足，则的值是_____． 【答案】0 【分析】先将变形得到，然后代入所求的式子中化简求值即可． 本题考查了分式的化简求值．得到，用整体代入法求解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：0． 25．（2026·福建泉州·模拟预测）已知：，．若，，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先根据，把b表示出来，再根据多项式乘多项式法则把所求式子展开，再把，代入进行计算即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：5． 26．（2026·福建福州·一模）若，则的值为_______. 【答案】1 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：1． 27．（2026·福建厦门·模拟预测）观察下列算式： ①，，即； ②，即； ③，即； … 我们把具有上述规律的两位数乘法算式称为“回文乘式”，根据你发现的规律，请再写一个乘数的十位与个位上的四个数字互不相同的回文乘式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，两个两位数相乘，如果它们十位上两个数相乘的积等于个位数两个数相乘的积，那么把每个数的十位上的数字与它的个位上的数字交换位置，得到新的两个两位数的乘积与原来两个两位数的乘积相等，据此求解即可． 【详解】解：①，，即； ②，即； ③，即； ……， 以此类推，可知，如果它们十位上两个数相乘的积等于个位数两个数相乘的积，那么把每个数的十位上的数字与它的个位上的数字交换位置，得到新的两个两位数的乘积与原来两个两位数的乘积相等， ∴满足题意得式子可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 28．（2026·福建泉州·二模）已知，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负性的性质得到，据此求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（2026·广东云浮·一模）单项式的次数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，理解单项式的次数的定义是解题的关键．直接根据单项式的次数的定义得出答案，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：单项式的次数是， 故答案为：． 30．（2026·福建福州·三模）已知，则____________． 【答案】1 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 将原式提取公因式，再将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】∵，， 故答案为1． 31．（2026·福建厦门·三模）已知，则的值为______． 【答案】8 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据，可以得到，然后两式做差，即可得到所求式子的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：8． 32．（2026·福建厦门·二模）某镇为发展农业经济，对的农产品运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了分式减法的应用，用未扩建和重修前行驶的时间减去扩建和重修后的行驶时间即可． 【详解】解：根据题意可知：， 则该货车在该运输通道上行驶可节约的时间为：， 故答案为：． 33．（2026·福建泉州·模拟预测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 34．（2026·福建厦门·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 35．（2026·福建宁德·二模）化简：． 【答案】 【详解】解：原式= =． 36．（2026·福建莆田·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】首先根据分式混合运算的法则进行化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 37．（2026·福建泉州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 38．（2026·福建泉州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先计算括号内的，再将除法转化为乘法进行计算即可得到最简分式，最后代入x的值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 39．（2026·福建漳州·模拟预测）先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，分式有意义时，符合条件， 将代入得：原式． 40．（2026·福建泉州·模拟预测）计算：． 【答案】9 【分析】先分别计算负整数指数幂、立方根、二次根式的除法及绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解：原式 ． 41．（2026·福建漳州·一模）先化简 再求解当所得数值． 【答案】；3 【分析】先利用异分母分式的加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得，且， 解得且 ， ； 当时， 原式． 42．（2026·福建南平·二模）已知对任意实数a、b，有，当且仅当时等号成立．利用上述条件，解决以下问题： (1)已知实数a、b满足（k为常数），证明，并写出不等式中等号成立的条件； (2)当（k为常数）且，利用代数推理求出代数式的取值范围（用含k的式子表示）． 【答案】(1)当时，等号成立； 证明：∵，， ∴， ∴， ∵，当且仅当时等号成立， ∴当且仅当时，不等式中等号成立． (2) 【分析】（1）利用完全平方公式变形即可证明； （2）结合（1）中结论可得由（1）得，当时，，再利用不等式的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴由（1）得，当时，， ∴， ∴， ∴． 43．（2026·福建莆田·模拟预测）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)根据上面的规律，则的展开式为 ． (2)的展开式共有 项，系数和为 ． (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据，，，展开式的规律，即可求解； （2）根据，，，的项数、系数和的规律，即可求解； （3）根据规律得出原式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：∵，展开式中共有项，系数和为， ，展开式中共有项，系数和为， ，展开式中共有项，系数和为， ，展开式中共有项，系数和为， ∴的展开式共有项，系数和为； （3）解：根据规律可知： ． 44．（2026·福建漳州·模拟预测）阅读材料，回答问题． 主题 探“排序不等式”，寻资源匹配最优解 问题背景 排序不等式：若，为两组正实数组，为 的任意一种排列，分别称，，为反序和，乱序和，正序和，则． 利用排序不等式，我们合理安排工作顺序，可以提高某项工作的完成效率，实现资源匹配最优解，请看下面问题． 问题1：随着新能源汽车的普及，充电轿车走进了千家万户．某电车快速充电站同时有10辆轿车要充电，设第i辆轿车充满电需时间分钟 ，且这 10 辆轿车充满电量所需时间均不相同，如果充电站仅提供一台充电桩，应如何安排这10辆轿车的充电顺序，使所有轿车等候的总时间最短? 验证猜想证明 假设只有两辆充电轿车，且两辆车充满电量所需时间分别为，分钟，不妨设 ，若充电时间为的轿车先充电，则等候分钟，接着的轿车充电等候了分钟，两辆车等候的总时间分钟； 若充电时间为的轿车先充电，则两辆车等候的总时间 分钟． 所以 ，故③ （填“>”， “<”或“=”）． 所以要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电． 据此，猜测问题1求解方案为： ④ ． 拓展迁移 如果充电站有三台编号分别为P，Q，R的充电桩（充电效率相同）可供充电，且充电站管理员了解到这10辆轿车的充电时间如下表所示， 轿车编号 A B C D E F G H I J 充电时间 （单位：分钟） 30 80 100 70 45 90 50 60 40 65 问题2 如果你是充电站管理员，能否安排这10辆轿车分别在哪台充电桩充电和相应的充电顺序，使得这三台充电桩同时完成充电且这10辆轿车等候的总时间最短?若能，直接写出安排方案；若不能，请说明理由． (1)请把①②③④所缺的内容补充完整； (2)请利用排序不等式证明：问题1的求解方案能使这10辆轿车等候的总时间最短； (3)利用排序不等式解决问题2． 【答案】(1)①，②，③<，④将10辆轿车按照充电时间从小到大的顺序安排充电 (2)证明：设10辆轿车充满电的时间按从小到大的排序为：（均为正实数），充电顺序为（到的排序）， ∴第k辆轿车的等候时间为， 当时，总等候时间为， 由排序不等式可知，反序和乱序和顺序和， ∵是递减序列， 要使S最小，则为递增序列，即为反序和， ∴按充电时间从小到大安排充电，总等候时间最短． (3)解：能安排，可选择方案为：P桩：，Q桩：，R桩：或P桩：，Q桩：，R桩： 【分析】（1）先明确两辆车的等候时间构成，据此计算出总时间，再将两种顺序的总时间作差，从而求出结果，根据即可判断出大小关系，最终通过上述结论推导猜想出问题1的求解方案； （2）设10辆轿车充满电的时间按从小到大的排序为：（均为正实数），充电顺序为（到的排序），通过反序和最小的性质证明出结论； （3）根据（2）证明的结论先将10辆车的充电时间进行排序，计算出充电时间的总和，根据题意得出每台充电桩的总充电的理想时间为，通过枚举法进行对比计算得出最短时间即为优选方案． 【详解】（1）解：由题意知，若充电时间为的轿车先充电，则第一辆车完成充电的等候时间为， 第二辆车完成充电的时刻为分钟，两辆车等候的总时间为分钟， ∴， ∵， ∴，则，即， 要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电， 可猜想出问题1的解决方案为：按充满电所需时间从小到大的顺序安排充电即可． （2）略 （3）解：先将10辆车的充电时间从小到大排列为：， ∴10辆轿车的充电时间总和为：， ∵充电桩的充电效率均相同，总时间为各充电桩时间之和， ∴同时完成则各桩时间相等， 要使3台充电桩同时完成充电，则每台充电桩的总充电的理想时间为：， 由问题1的结论可知，每台桩内的轿车需按充电时间的从短到长的顺序充电， ∴P，Q，R桩存在以下情况（先后顺序不计）： ①P桩的顺序为：，Q桩的顺序为：， R桩的顺序为：； ②P桩的顺序为：，Q桩的顺序为：，R桩的顺序为：； ③P桩的顺序为：，Q桩的顺序为：，R桩的顺序为：， 对于①：P桩等待时间为：，Q桩等待时间为：，R桩等待时间为：， 总等待时间为：； 对于②：P桩等待时间为：，Q桩等待时间为：，R桩等待时间为：， 总等待时间为：； 对于③：P桩等待时间为：，Q桩等待时间为：，R桩等待时间为：， 总等待时间为：， ∵， ∴可选择方案为：P桩：，Q桩：，R桩：或P桩：，Q桩：，R桩：． 45．（2026·福建三明·三模）阅读材料，完成提出的任务． 九年级数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为，其中，均为自然数．”的问题． 素材：该兴趣小组的指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下为正整数： 奇数 的倍数 表示结果 ____①____ … ____②____ … 一般结论 ____③____ ____④____ 素材：该数学兴趣小组还猜测：像，，，，…，这些形如（为正整数）的正整数不能表示为． 任务： (1)按上表的规律，①的内容是 ，②的内容是 ； (2)根据素材，若正整数为奇数时，请写出它的一般结论，③的内容是 ；若正整数为的倍数时，请写出它的一般结论，④的内容是 （用含的等式表示）； (3)根据素材，请判断该兴趣小组的猜测是否正确，若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 【答案】(1)①；② (2)③；④ (3)该兴趣小组的猜测正确，证明如下： 对任意自然数，，因式分解得：， 是偶数， 和都是奇数或都是偶数， 形如的正整数可写成：， 它只能分解为一个偶数一个奇数，即两个因数一奇一偶， 与“和同奇偶”相矛盾， 不能表示为，猜测正确． 【分析】（1）观察奇数、4的倍数对应的例子中x、y与对应N的数值关系，按已有式子的规律补写即可； （2）对奇数的一般形式，利用平方差公式将其拆解为两个自然数的平方差形式，先写出4的倍数的一般含n的表达式，再类比已有例子的规律，利用平方差公式转化为两个自然数的平方差形式； （3）先将因式分解为，分析和的奇偶性，再判断是否满足的数的特征即可． 【详解】（1）解：根据题意得：①；②； （2）解：若正整数为奇数时， 由此得出规律：； 若正整数为的倍数时， 由此得出规律：； （3）略． 46．（2026·福建宁德·一模）若正整数对满足：，（，为正整数），则称为平方匹配数对．例：，，则为平方匹配数对． (1)判断是否为平方匹配数对； (2)若是平方匹配数对，求证：也是平方匹配数对． 【答案】(1)是平方匹配数对 (2) 是平方匹配数对， ，，，为正整数， ∵m，n为正整数， ∴，， 是正整数对， ， ， 又，，，为正整数， ，为正整数， 是平方匹配数对． 【分析】（1）根据“平方匹配数对”的定义分析判断即可； （2）首先根据“平方匹配数对”的定义可得，（，为正整数）， 结合，，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴是平方匹配数对； （2）略 47．（2026·福建三明·二模）阅读材料，回答问题． 将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的矩形称为“网格矩形”，水平方向边长为m，竖直方向边长为n的网格矩形称为“矩形”，例如，图1，图2，图3中的网格矩形分别称为“2×1矩形”“2×3矩形”“4×3矩形”．小海、小江和小河对“矩形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究．   小海分别画出图1，图2，图3中网格矩形的一条对角线，制作了下表： （表示矩形的一条对角线穿过单位正方形的个数） 2 1 3 2 2 3 5 4 4 3 7 ① 小海根据表中数据发现与之间满足等量关系：②．记这个等量关系为“*”． 小江、小河研究发现等量关系*可以推广，并分别提出观点． 小江的观点是：在矩形中，当正整数m，n中至少有一个为奇数时，等量关系*一定成立． 小河的观点是：在矩形中，当正整数m，n互质（m，n的公因数只有1）时，等量关系*一定成立． (1)①的内容是_______，②的内容是_______； (2)判断小江、小河的观点是否正确，并针对错误的观点举出反例； (3)m，n均为正整数，且，写出满足的所有数对． 【答案】(1)6； (2) 小河的观点正确，小江的观点不正确； 针对小江的观点，反例为矩形，如下图： ，而. (3)，，，，， 【分析】（1）通过画图和观察表格的数据规律即可获解； （2）通过构造矩形，即可作出正确判断； （3）按照，是否互质分类讨论，当，互质时，用上述规律列方程求解即可，当，不互质时，用公约数去约它们，转化为互质的情况讨论即可． 【详解】（1）如图： 所以①的内容为6； 观察表格数据规律可知： ②的内容为． （2）略 （3）满足条件的所有数对为： ，，，，，， 理由如下： 当m，n互质时，矩形的一条对角线穿过的单位正方形的个数为． 当m，n不互质时，设其最大公因数为p，则正整数，互质，故矩形的一条对角线穿过的单位正方形的个数为，从而． 依题意，分成四类： 第一类，m，n互质，此时，即，共有，  ，  三种情形； 第二类，m，n的最大公约数为2，此时，则； 第三类，m，n的最大公约数为3，此时，则； 第四类，m，n的最大公约数为6，此时． 48．（2026·福建南平·二模）阅读材料，回答问题． 主题 “错”中取义——“非法约分”的规律探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确的练习题：，，小明称之为“非法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等． 分析问题 问题. 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 解决问题 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为，，且该分数的“非法约分”表示为：． 提出并证明了以下命题． 命题：若分数，则必有或时，有序数对有且仅有对． 证明：依题意知，，整理，得…（*）， 当时，，显然成立； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，因为，所以不是9的倍数，由（*）得为的倍数，所以，或， 若，则由（*）得，，由得，不是整数，舍去； 若，则由（*）得， ① ； 若，则由（*）得， ② ． 综上所述，应满足或时，有序数对有且仅有对． 故命题成立． 推广延伸 问题.若把的分子、分母中相同数字“拉长”至个得到分数，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论． (1)解决问题； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题． 【答案】(1) 解：小明的猜想不正确，理由如下： 反例：，“非法约分”后为，而， ∴小明的猜想不正确； (2) 解：①， 由是整数知，或， 所以或， 故为或； ②， 由是整数知，，，，， 因为，， 所以或， 所以或， 故为或； (3) 解：正确，证明如下： ， 而按“非法约分”规则，， 故的“非法约分”正确． 【分析】（）举反例即可判断求解； （）仿照前面的推论补充证明过程即可； （）求出化简后的结果，再求出“非法约分”的结果即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 49．（2026·福建三明·一模）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是7的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的整数倍，则是7的整数倍． 注： 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的整数倍，所以364是7的整数倍． (1)①填空：226_____7的倍数．（填：“是”或“不是”） ②材料中的判断方法是“若是7的整数倍，则是7的整数倍”，请证明这种方法的正确性； (2)经论证，“割尾法”也能判断一个四位数是否为7的整数倍．若四位自然数能被7整除，求的所有可能取值． 【答案】(1)①不是； ②由题意，得：，， 是7的整数倍， 设（为整数）， ， ， 是7的整数倍． (2)或 【分析】（1）①按照已知条件的举例和方法进行解答即可； ②按照多位数的表示方法表示出和，利用是7的整数倍，设，得，再整体代入即可解决； （2）根据题意可得能被7整除，推出，则能被７整除，即可解答． 【详解】（1）解：①根据题意可知，三位数226，割掉末位数字6得22， ， 不是7的整数倍， 不是7的整数倍； ②略 （2）解：根据题意可得，四位数，割掉末位数字6得， 四位自然数能被7整除， 三位自然数能被7整除， 即能被7整除， ， 能被7整除， ，且为整数， 则可得或． 50．（2026·福建福州·模拟预测）已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 【答案】(1) 证明：因为， 所以， 所以 = = ， 因为， 所以， 所以为非负数． (2) 证明：因为， 且m，n为两个连续的正整数，且， 所以，， 所以 = = = ， 因为m，n为两个连续的正整数， 所以是奇数， 所以c一定是奇数． 【分析】（1）因为，所以，将这个式子代入到中，可得原式，据此证明以为非负数； （2）因为m，n为两个连续的正整数，且，所以，，所以，因为m，n为两个连续的正整数，所以是奇数，据此得证． 本题考查了整式的混合运算、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根，解决本题的关键是先将要计算的式子进行化简． 【详解】（1）略 （2）略 51．（2026·福建莆田·三模）定义：如果一个正整数可以被4整除，且可以表示为两个正整数的平方差，我们把这个数称为“特色数”．例如，16可以被4整除，且，所以16为“特色数”． (1)8是否为“特色数”？说明理由； (2)在数学上常用表示一个十位数字为，个位数字为的两位数．若是一个“特色数”，且，求． 【答案】(1)是， 理由如下： ， 可以被4整除， ， 是特色数； (2)40 【分析】本题考查了“特色数”的定义，平方差公式，正确理解“特色数”的定义是解此题的关键． （1）根据“特色数”的定义判断即可得解； （2）根据题意可得这个两位数是13或22或31或40，再结合“特色数”的定义判断即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：依题意，得m，n为整数，且，． ， 的值为1，2，3，4，的相应值为3，2，1，0． 这个两位数是13或22或31或40， ，，不能被4整除， ，，不是特色数， ． 52．（2026·福建泉州·一模）【观察发现】有些三位数，十位上的数字的两倍恰好等于百位上的数字与个位数字的和．如：345，147等，我们称这样的三位数为“和倍数”． 【猜想验证】猜想“和倍数”是哪个正整数（1除外）的倍数，并验证你的猜想． 【答案】 解：“和倍数”是3的倍数，证明如下： 设“和倍数”为， 由题意得，， ， ， 是整数， 是整数， 是3的倍数， “和倍数”是3的倍数． 【分析】本题考查了新定义、整式加减的应用，正确理解“和倍数”的定义是解题的关键．设“和倍数”为，根据“和倍数”的定义可得，整理可得，即可得出结论． 【详解】略 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数与式二 （代数式、因式分解、分式，二次根式） 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01代数式 2022 福建卷、 2023 福建卷、 2024 福建卷、 2025 福建卷、 2026 福建卷 1. 基础小题：出题形式选择题，考查同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，纯公式辨析，难度低； 2. 压轴阅读探究大题：结合二次根式、整数小数部分、科学记数法位数新定义，材料长、逻辑推导多，侧重代数推理、分类讨论； 3. 命题特点：每年固定 1 道基础幂运算选择 + 1 道创新材料探究大题，素材以代数新定义、规律探究为主，区分度集中在阅读大题。 考点02 因式分解 2026 福建卷 2024 福建卷 2022 福建卷 基础题型为填空题，分值 4 分，优先考查提公因式法、平方差公式因式分解，属于基础送分题；偶尔结合等式性质、代数证明综合设问，融合因式分解、分类讨论、奇偶性推理作为阅读探究题型；命题侧重两点：①因式分解规范书写（分解彻底）；②等式变形时不能随意除以可能为 0 的代数式，辨析推理漏洞。 考点03 分式的运算 2026 福建卷、 2025 福建卷、 2023 福建卷、 2022 福建卷 高频考查，分为两类题型：①填空类分式整体代换求值；②解答题「先化简，再求值」。化简求值以分式加减乘除混合运算为主，代入值常带二次根式；易错点：分式有意义的取值限制、去括号符号问题、约分不彻底；整体代换题型侧重等式变形，不直接求解未知数，技巧性较强。 考点01 代数式 1．（2024·福建·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·福建·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2022·福建·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如，．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）；（2） ① ； （3）；（4） ② ； （5）；（6）． 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数，满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为，， 所以，即． 又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为，均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． 拓展延伸 问题1若整数，满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； 问题2若整数，满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1； (3)解决问题2． 5．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 考点02 因式分解 1．（2026·福建·中考真题）因式分解：__________． 2．（2024·福建·中考真题）因式分解：x2+x=_____． 3．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下： 设任意一个有理数为，令， 等式两边都乘以，得① 等式两边都减，得② 等式两边分别分解因式，得③ 等式两边都除以，得④ 等式两边都减，得⑤ 所以任意一个有理数都等于0． 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_________________． 4．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 考点03 分式的运算 1．（2026·福建·中考真题）已知实数，满足，则的值为____________． 2．（2023·福建·中考真题）已知，且，则的值为___________． 3．（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 4．（2023·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 5．（2022·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1．（2026·福建三明·三模）多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建三明·三模）下面的计算正确的是（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·福建厦门·模拟预测）下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·福建泉州·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·福建福州·模拟预测）下列运算结果不为的是（     ）． A． B． C． D． 6．（2026·福建莆田·模拟预测）下列四个选项中，计算结果与其他三项不相同的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·福建宁德·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·福建厦门·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·福建漳州·模拟预测）若 在实数范围内有意义，则实数的值可以是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2026·福建厦门·模拟预测）代数式在实数范围内有意义，则的值不可以是（     ） A． B． C． D． 11．（2026·福建泉州·模拟预测）已知实数，满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 12．（2026·福建漳州·模拟预测）估算 的值应在（     ） A．4050和4051之间 B．4000和5000之间 C．4051和4052之间 D．4051和4053之间 13．（2026·福建泉州·一模）若在实数范围内有意义，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·福建南平·二模）若，则________． 15．（2026·福建福州·模拟预测）若，，则的值为______． 16．（2026·福建厦门·三模）某班开展“书香润心灵，阅读伴成长”读书活动，小华积极参与活动，选择了一本页的书，他计划用天读完这本书，则他平均每天需阅读的页数是________． 17．（2026·福建漳州·模拟预测）密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．小李利用数学知识进行密码编制，通过整式的乘除运算，取运算结果x，y，z的指数依次生成密码，如运算结果为对应的密码是1314，则对应的密码是________． 18．（2026·福建漳州·模拟预测）因式分解：_________． 19．（2026·福建漳州·模拟预测）因式分解：_________． 20．（2026·福建泉州·二模）生活中的有些密码，可以用数学的“因式分解”来生成．例如，把多项式，因式分解为，当时，求得各因式的值分别为20、11、11，将这三个数值按从小到大排列，生成六位数密码“”．用上述方法，把多项式进行因式分解，当时，可以生成的密码是_______________． 21．（2026·福建泉州·一模）已知，则的值为______． 22．（2026·福建厦门·三模）若有意义，则的值可以是________．（任意写出一个符合条件的值即可） 23．（2026·福建泉州·模拟预测）计算：______． 24．（2026·福建福州·一模）已知非零实数，满足，则的值是_____． 25．（2026·福建泉州·模拟预测）已知：，．若，，则的值为______． 26．（2026·福建福州·一模）若，则的值为_______. 27．（2026·福建厦门·模拟预测）观察下列算式： ①，，即； ②，即； ③，即； … 我们把具有上述规律的两位数乘法算式称为“回文乘式”，根据你发现的规律，请再写一个乘数的十位与个位上的四个数字互不相同的回文乘式：__________． 28．（2026·福建泉州·二模）已知，则的值是___________． 29．（2026·广东云浮·一模）单项式的次数是_______． 30．（2026·福建福州·三模）已知，则____________． 31．（2026·福建厦门·三模）已知，则的值为______． 32．（2026·福建厦门·二模）某镇为发展农业经济，对的农产品运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为________．（用含的代数式表示） 33．（2026·福建泉州·模拟预测）计算：． 34．（2026·福建厦门·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 35．（2026·福建宁德·二模）化简：． 36．（2026·福建莆田·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 37．（2026·福建泉州·二模）先化简，再求值：，其中． 38．（2026·福建泉州·二模）先化简，再求值：，其中． 39．（2026·福建漳州·模拟预测）先化简，再求值： ，其中． 40．（2026·福建泉州·模拟预测）计算：． 41．（2026·福建漳州·一模）先化简 再求解当所得数值． 42．（2026·福建南平·二模）已知对任意实数a、b，有，当且仅当时等号成立．利用上述条件，解决以下问题： (1)已知实数a、b满足（k为常数），证明，并写出不等式中等号成立的条件； (2)当（k为常数）且，利用代数推理求出代数式的取值范围（用含k的式子表示）． 43．（2026·福建莆田·模拟预测）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)根据上面的规律，则的展开式为 ． (2)的展开式共有 项，系数和为 ． (3)利用上面的规律计算：． 44．（2026·福建漳州·模拟预测）阅读材料，回答问题． 主题 探“排序不等式”，寻资源匹配最优解 问题背景 排序不等式：若，为两组正实数组，为 的任意一种排列，分别称，，为反序和，乱序和，正序和，则． 利用排序不等式，我们合理安排工作顺序，可以提高某项工作的完成效率，实现资源匹配最优解，请看下面问题． 问题1：随着新能源汽车的普及，充电轿车走进了千家万户．某电车快速充电站同时有10辆轿车要充电，设第i辆轿车充满电需时间分钟 ，且这 10 辆轿车充满电量所需时间均不相同，如果充电站仅提供一台充电桩，应如何安排这10辆轿车的充电顺序，使所有轿车等候的总时间最短? 验证猜想证明 假设只有两辆充电轿车，且两辆车充满电量所需时间分别为，分钟，不妨设 ，若充电时间为的轿车先充电，则等候分钟，接着的轿车充电等候了分钟，两辆车等候的总时间分钟； 若充电时间为的轿车先充电，则两辆车等候的总时间 分钟． 所以 ，故③ （填“>”， “<”或“=”）． 所以要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电． 据此，猜测问题1求解方案为： ④ ． 拓展迁移 如果充电站有三台编号分别为P，Q，R的充电桩（充电效率相同）可供充电，且充电站管理员了解到这10辆轿车的充电时间如下表所示， 轿车编号 A B C D E F G H I J 充电时间 （单位：分钟） 30 80 100 70 45 90 50 60 40 65 问题2 如果你是充电站管理员，能否安排这10辆轿车分别在哪台充电桩充电和相应的充电顺序，使得这三台充电桩同时完成充电且这10辆轿车等候的总时间最短?若能，直接写出安排方案；若不能，请说明理由． (1)请把①②③④所缺的内容补充完整； (2)请利用排序不等式证明：问题1的求解方案能使这10辆轿车等候的总时间最短； (3)利用排序不等式解决问题2． 45．（2026·福建三明·三模）阅读材料，完成提出的任务． 九年级数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为，其中，均为自然数．”的问题． 素材：该兴趣小组的指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下为正整数： 奇数 的倍数 表示结果 ____①____ … ____②____ … 一般结论 ____③____ ____④____ 素材：该数学兴趣小组还猜测：像，，，，…，这些形如（为正整数）的正整数不能表示为． 任务： (1)按上表的规律，①的内容是 ，②的内容是 ； (2)根据素材，若正整数为奇数时，请写出它的一般结论，③的内容是 ；若正整数为的倍数时，请写出它的一般结论，④的内容是 （用含的等式表示）； (3)根据素材，请判断该兴趣小组的猜测是否正确，若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 46．（2026·福建宁德·一模）若正整数对满足：，（，为正整数），则称为平方匹配数对．例：，，则为平方匹配数对． (1)判断是否为平方匹配数对； (2)若是平方匹配数对，求证：也是平方匹配数对． 47．（2026·福建三明·二模）阅读材料，回答问题． 将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的矩形称为“网格矩形”，水平方向边长为m，竖直方向边长为n的网格矩形称为“矩形”，例如，图1，图2，图3中的网格矩形分别称为“2×1矩形”“2×3矩形”“4×3矩形”．小海、小江和小河对“矩形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究．   小海分别画出图1，图2，图3中网格矩形的一条对角线，制作了下表： （表示矩形的一条对角线穿过单位正方形的个数） 2 1 3 2 2 3 5 4 4 3 7 ① 小海根据表中数据发现与之间满足等量关系：②．记这个等量关系为“*”． 小江、小河研究发现等量关系*可以推广，并分别提出观点． 小江的观点是：在矩形中，当正整数m，n中至少有一个为奇数时，等量关系*一定成立． 小河的观点是：在矩形中，当正整数m，n互质（m，n的公因数只有1）时，等量关系*一定成立． (1)①的内容是_______，②的内容是_______； (2)判断小江、小河的观点是否正确，并针对错误的观点举出反例； (3)m，n均为正整数，且，写出满足的所有数对． 48．（2026·福建南平·二模）阅读材料，回答问题． 主题 “错”中取义——“非法约分”的规律探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确的练习题：，，小明称之为“非法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等． 分析问题 问题. 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 解决问题 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为，，且该分数的“非法约分”表示为：． 提出并证明了以下命题． 命题：若分数，则必有或时，有序数对有且仅有对． 证明：依题意知，，整理，得…（*）， 当时，，显然成立； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，因为，所以不是9的倍数，由（*）得为的倍数，所以，或， 若，则由（*）得，，由得，不是整数，舍去； 若，则由（*）得， ① ； 若，则由（*）得， ② ． 综上所述，应满足或时，有序数对有且仅有对． 故命题成立． 推广延伸 问题.若把的分子、分母中相同数字“拉长”至个得到分数，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论． (1)解决问题； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题． 49．（2026·福建三明·一模）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是7的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的整数倍，则是7的整数倍． 注： 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的整数倍，所以364是7的整数倍． (1)①填空：226_____7的倍数．（填：“是”或“不是”） ②材料中的判断方法是“若是7的整数倍，则是7的整数倍”，请证明这种方法的正确性； (2)经论证，“割尾法”也能判断一个四位数是否为7的整数倍．若四位自然数能被7整除，求的所有可能取值． 50．（2026·福建福州·模拟预测）已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 51．（2026·福建莆田·三模）定义：如果一个正整数可以被4整除，且可以表示为两个正整数的平方差，我们把这个数称为“特色数”．例如，16可以被4整除，且，所以16为“特色数”． (1)8是否为“特色数”？说明理由； (2)在数学上常用表示一个十位数字为，个位数字为的两位数．若是一个“特色数”，且，求． 52．（2026·福建泉州·一模）【观察发现】有些三位数，十位上的数字的两倍恰好等于百位上的数字与个位数字的和．如：345，147等，我们称这样的三位数为“和倍数”． 【猜想验证】猜想“和倍数”是哪个正整数（1除外）的倍数，并验证你的猜想． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $