2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一第三章 函数的概念与性质单元测试卷

**基本信息** 高中数学第三章“函数的概念与性质”单元测试卷，覆盖定义域、单调性、奇偶性等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，结合实际应用与抽象推理，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|定义域、单调性、奇偶性、幂函数|单选基础巩固，多选综合考查奇偶性与周期性| |填空题|3/15|函数最值、奇函数解析式、偶函数性质|聚焦性质应用，强化符号意识| |解答题|5/77|奇函数解析式、二次函数单调性、贮水池造价优化|结合基本不等式解决实际问题，体现数学建模与推理能力|

第三章 函数的概念与性质单元测试卷+答案解析 第三章 函数的概念与性质单元测试卷 一、选择题（共 11 小题，58 分。1 - 8 为单选题，每题 5 分；9 - 11 为多选题，每题 6 分，全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分） 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则等于（ ） A. B. C. D. 函数，的值域是（ ） A. B. C. D. 幂函数的图象过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 若函数是上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 已知函数满足，且当时，，则等于（ ） A. B. C. D. （多选）下列函数中，是偶函数的有（ ） A. B. C. D. （多选）已知函数，，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 的最大值为 D. 的最小值为 （多选）设函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 二、填空题（共 3 小题，每题 5 分，共 15 分） 函数，的最大值为______。 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的表达式为______。 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是______。 三、解答题（共 5 小题，共 77 分） （12 分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求在上的解析式。 （15 分）已知函数，。 (1) 当时，求函数的值域； (2) 若函数在上单调递增，求实数的取值范围。 （15 分）已知函数。 (1) 判断函数在上的单调性，并证明； (2) 若在上恒成立，求实数的取值范围。 （17 分）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为。如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ （18 分）已知函数是定义在上的增函数，且满足，。 (1) 求的值； (2) 求不等式的解集。 第三章 函数的概念与性质单元测试卷答案解析 一、选择题 答案：B 解析：要使函数有意义，则分母且，即，解得，所以定义域为。 答案：C 解析： 选项A，在上单调递减。 选项B，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增。 选项C，指数函数在上单调递增。 选项D，的图象开口向下，在上单调递减。 答案：D 解析：因为函数是奇函数，所以。已知当时，，则，所以。 答案：A 解析：对函数，其对称轴为，开口向上。，当时，取得最小值；当时，，所以值域是。 答案：B 解析：幂函数的图象过点，将点代入函数可得，即，所以。 答案：C 解析：因为函数的定义域为，对于，则，解得，解得，取交集得，所以的定义域为。 答案：B 解析：因为是偶函数，则。又在上单调递增，且，所以，即。 答案：A 解析：由可得，所以函数的周期为。则。因为是偶函数，所以。当时，，所以，即。 答案：ACD 解析： 选项A，对于，，所以是偶函数。 选项B，对于，，所以是奇函数。 选项C，对于，，所以是偶函数。 选项D，对于，，所以是偶函数。 答案：ABC 解析： 函数，其图象开口向下，对称轴为。 选项A，时，函数单调递增，A正确。 选项B，时，函数单调递减，B正确。 选项C，当时，取得最大值，C正确。 选项D，，，所以最小值为，D错误。 答案：ABCD 解析： 选项A，由可得，所以函数的周期为。，则。因为是奇函数，所以，当时，，所以，则，A正确。 选项B，设，则，。因为是奇函数，所以，B正确。 选项C，因为，且是奇函数，所以，用代替得，所以的图象关于直线对称，C正确。 选项D，因为且是奇函数，所以，即，所以的图象关于点对称，D正确。 二、填空题 答案： 解析：因为，所以，则，所以函数的最大值为。 答案： 解析：已知函数是定义在上的奇函数，当时，则。 因为当时，，所以。 又因为是奇函数，即，所以。 答案： 解析：因为是上的偶函数，所以，即。 又因为在上单调递增，且，所以。 即，解这个不等式组： ，得到。 所以实数的取值范围是。 三、解答题 答案： 解析：因为是定义在上的奇函数，所以。 当时，。 当时，则，所以。 由于是奇函数，，那么。 综上，在上的解析式为。 答案： (1) 当时，，。 函数对称轴为，开口向上。 当时，取得最小值； 当时，。 所以函数的值域是。 (2) 函数的对称轴为，图象开口向上。 因为函数在上单调递增，所以对称轴应在区间的左侧（包括端点），即。 所以实数的取值范围是。 答案： (1) 函数在上单调递增。 证明：任取，则 。 因为，所以，，，则，即，所以。 所以函数在上单调递增。 (2) 由(1)知在上单调递增，所以在上的最小值为。 因为在上恒成立，所以，即。 所以实数的取值范围是。 答案 设水池底面一边的长度为，因为长方体容积，深，根据长方体体积公式（为底面积），可得底面面积为，则底面另一边的长度为。 计算总造价函数 池底造价：池底面积为，池底每平方米造价元，所以池底造价为元。 池壁造价：水池深，则四周池壁的面积为，池壁每平方米造价元，所以池壁造价为元。 总造价（单位：元）与底面一边长的函数关系为：。 求总造价的最小值 根据基本不等式（，当且仅当时等号成立），对于，这里，，则有： 当且仅当时，等号成立，此时可求出的值： 即当时，取得最小值。 所以总造价的最小值为：（元），此时底面另一边的长度为。 综上，当水池底面是边长为的正方形时，总造价最低，最低总造价是元。 答案： (1) 已知，。 则。 (2) 由，，则不等式可化为，即。 因为是定义在上的增函数，所以 解得； 解得，即，。 综上，不等式的解集为。 |（注：部分内容可能由 AI 生成） 学科网（北京）股份有限公司 $