北京市第二中学2025-2026学年高二下学期第六学段考试（期末）数学试卷

北京二中2025一2026学年度第六学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第三册 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的，请将答案填在答题纸上) 1.已知集合A={x|x2<},B={x|0≤x≤2}，则AUB=() A.60,1) B.(-1,2] C.(1,2] D.(0,) 2.已知命题p:x∈R,|x+1>1;命题g:3x>0,x3=x,则() A.p和q都是真命题 B.一p和q都是真命题 C.p和9都是真命题 D.一p和一g都是真命题 3.设a,b∈R,则“a3=b3”是“3=30”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4,设a=3，b=令8，c=10ga,08,则ab,c的大小关系为) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a Dc<a<b 5.设函数f(x)=2-“在区间(0，)上单调递减，则a的取值范围是() A.（-o0,-2] &【-2,0) c.0,2] D.2,+∞) 6.下图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是() A.y=+3x B.y= x3-x x2+1 x2+1 C y=- xcosx 2sinx D y=- x2+1 x2+1 高二年级数学第六学段考试2026年7月第1页，共4页 7.“里氏展级”是反映地震释放出来的能量大小的一种度量.里氏震级M与地震释放的能量E(单位：焦耳 )之间的关系为：M=2gB-1乌.1988年云南澜洽发生地震为里氏7.6级，2003年四川汶川发生的地震为里 5 南调沧地震与四川地屣释放的能量分别为E,乙，则片 A.1006 B.10M C.104 D.106 8已知函数因=2-冈+ 则使得不等式f(2m)<f(m+1)成立的实数m的取值范围是() c(-0,-3U0,+o) D.(-c,-)U(I,+o0) 9.已知(x,y),，(x2y2)是函数y=2的图象上两个不同的点，则() A生学 B.0g,当t业>苦+五 2 2 C.1og,+五<x+3 D.1og,+业>x+x 2 2 10已知函数f网=号-径+n), 若x=2是函数∫(x)唯一的一个极值点，则实数k的取值范围为) &(o,e] B.[0,e] C.(-o,e) .[0,e) 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上） 11.函数f(x)=simx+n(x+1)的图象在点(0,0)处的切线方程是 12.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或兵乓球俱乐部，若已知某人报爬球 俱乐部。则其报兵乓球俱乐部的概率为 13.已知定义在实数集R上的函数)满足f(6+x)=f(x),且当0<x<3时，f(x)=2a+b(a>0,b>0), 若f023)=3,则+2的最小值为一一 14若不等式血x+二≥2b(a>0)对x>0恒成立，则的最大值为 a [2-1-1,0<x≤2 15.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，∫(x)= 5fc-2b>3 有下列结论： @函数f(x)在(-6，-5)上单调递增， ②函数f(x)的图象与直线y=x有且仅有2个不同的交点： ③若关于x的方程[f(x)-(a+1)fx)+a=0(a∈R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8： ④记函数在2k-马2keN)上的最大值为a4,则数列a,}的前7项和为2； 641 其中正确的有 高二年级数学第六学段考试2026年7月第2页，共4页 王、解答题：（本大题共85分，请将答泉在答题纸上） 16.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB=2a-bcos A. (1)求sinC的值： sin A (2)若b=3,从下列三个条件中选出一个条件作为日知，使得△4BC存在且唯一确定，求△ABC的面积. 条件0：0B=岩：条件@：如C= 4；条件③：△4BC的周长为9. 17.某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃攀种子在当地环境下的 发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所 频 示的频率分布直方图， 组距 6.0 企业对康乃黎的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定 4. 为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 4.0 级”，发芽率低尹0.636的种子定为“C级” 1.2 (1)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 0.4 0.4560.5360.5860.6360.6$60.7360.7860.8360.556发芽率 级”种子的概率； (2)该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15充、10 元。某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列 和数学期望； (3)企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨 的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变 大了还是变小了？（结论不霜要证明）· 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1, AD=2,AC=CD=√5. (1)求证：PD⊥平面PAB; (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD? 若存在，求 AM P 的值，若不存在，说明理由。 高二年级数学第六学段考试2026年7月第3页，共4页 1a已知精圆C学+号=6>0的施点在：锁上，且经注友0》，左顶直点为D,右施点为P。 (I)求椭圆C的离心率和△DEF的面积： (Ⅱ)已知直线y=c+1与椭圆C交于A,B两点.过点B作直线y=化>√5)的垂线，垂足为G判断是否存 在常数t,使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求t的值：若不存在，请说明理由. 20.已知函数f(x)=e2“-ax-1(aeR): (1)求f()的单调区间： (2)若f(x)>0对x∈(0，+o)恒成立，求a的取值范围： (3)证明：若f(x)在区间(0，∞)上存在唯一零点，则<a-2. 21.已知数列：4,42，…，aw(W>3)的各项均为正整数设集合T={x|x=41-a,1≤i<W,记 T的元紫个数为P(T), (1)若数列A:1,2,4,3,求集合T,并写出P(T)的值： (2)若A是递增数列.求证：“P(T)=W-1”的充要条件是“A为等差数列”： (3)若N=2n+1,数列A由1,2,3，"，n,2m这n+1个数组成，且这n+1个数在数列A中每个至少 出现一次，求P(T)的取值个数. 高二年级数学第六学段考试2026年7月第4页，共4页 北京二中2025一2026学年度第六学段高二年级学段考试答案 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上) 1.B 2.B 3.C4.D 5.D6.A7.A 8.c 9.B 10.A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上) 8 11.y=2x 12号 13.3 14.3 15.①④ 2 三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 16.(本小题13分) 【答案】(I)解：因为acosB=2a-bcosA, 由正弦定理得sin Acos B=2sinA-cosAsin B, 2sin A=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B), 又因为A+B=π-C,可得sin(A+B)=sin(n-C)=sinC, 所以2sinA=sinC,可得sinC =2 sinA (2)解：由()得sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a, 若选条件O:由余弦定理得c0sB=0+C-公，即心+4a2-9山 2ac 4a216 又由a>0,解得a=2,则c=4,此时△ABC存在且唯一确定， 因为cs8=名0，则80引，可得s血8=小-B3酒 16 16 所以S。Bc= cm8=*2x423, 164 若选条件②：由sinC=√正 ,因为c>a,即C>A, 4 若C为锐角，则cosC=V-sinC= 4 2a6c，即1=Q+9-4o2 由余弦定理cosC=+-c2, 4 6a 3 整理得2a2+a-6=0,且a>0,解得a=二，则c=3: 若C为钝角，则cosC=-V-inC=- 4, 2abC，即-=Q+9-4o 由余弦定理得cosC=。+b-c2 46a 整理得2a2-a-6=0,且a>0,解得a=2，,则c=4: 综上所述，此时△ABC存在但不唯一确定，不合题意： 第1页，共7页 若条件③：因为a+b+c=9,即a+3+2a=9,解得a=2,则c=4, 所以此时△ABC存在且唯一确定， 由余弦定理得c0sB=+c-B-4+16-9=>0, 2ac 2×2×416 因为Be0),可得s咖B=-orB=3店 16 所以Sm=)sinB=x2x4x3_3压 1 2 164 17.(本小题13分) 【答案】解：(I)设事件M为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是C 级种子”， 由图表，得(0.4+1.2+a+4.0+6.0+4.4+1.2+0.4)×0.05=1,解得a=2.4. 由图表，知“C级”种子的频率为(0.4+1.2+2.4)×0.05=0.2， 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C级”的概率为02， ,事件M与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是C级种子”为对立事 件， ∴.事件M的概率P(M)=1-0.2=0.8. (Ⅱ)由题意，任取一种种子，恰好是“A级”康乃馨的概率为 (4.4+1.2+0.4)×0.05=0.3, 恰好是“B级”康乃馨的概率为(4.0+6.0)×0.05=0.5， 恰好是“C级”的概率为(0.4+1.2+2.4)×0.05=0.2. 而随机变量X的可能取值有20,25,30,35,40， ∴.P(X=20)=0.2×0.2=0.04, P(X=25)=0.2×0.5+0.5×0.2=0.2, P(X=30)=0.5×0.5+0.3×0.2+0.2×0.3=0.37, P(X=35)=0.3×0.5+0.5×0.3=0.3, P(X=40)=0.3×0.3=0.09 所以X的分布列为： 20 25 30 35 40 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 第2页，共7页 故数学期望E(X)=20×0.04+25×0.2+30×0.37+35×0.3+40×0.09=31. (血)与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. 18.(本小题14分) 【答案】(I)证明平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD, AB⊥AD,ABc平面ABCD,AB⊥平面PAD. PD∈平面PAD,.AB⊥PD 又PA⊥PD,PAOAB=A,PA,ABC平面PAB, ∴.PD⊥平面PAB. (2)解：取AD中点O,连接CO,PO,PA=PD,∴.PO⊥AD.又：POc平面 PAD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,∴.PO⊥平面 ABCD.,COC平面ABCD,∴.PO⊥CO..AC=CD,∴.CO⊥AD. 以O为原点建立如图所示空间直角坐标系， 易知P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0). 则PB=(1,1,-1),PD=(0,-1,-1),PC=（2,0,-1),CD=(-2-1,0) 设元=(o,0,1)为平面PDC的一个法向量， 由了 P西=0，得 元.Pd=0 {8{0-(传- 30=-1, 设PB与平面PCD所成角为O, 则sin0=lcos(元，P 浏P / 3 V+1+1 ÷直线P8与平面PCD所成角的正弦值为 3 (3)解：假设存在，设M是棱PA上一点，则存在九∈[0，使得AM=2AP, 因此点M(0,1-入，)，B=(-1,-入，).BM4平面PCD, 要使BM∥平面PCD,当且仅当BM.元=0， 第3页，共7页 即(-1，-A)-(合-1=0，解得=4 ~在棱PA上存在点M,使得BM∥平面PCD,此时4=号 19.(本小题15分) 【答案】解（1依愿意，子+子1，解得a=2. 因为c2=a2-b2=4-3=1,即c=1, 所以D(-2,0),F(1,0), 后行△DEF的面积5-分3×号-是 所以离心率e=S=上 24 J7=x+1 茅+兰到 清法7，月()X年8kx-8一 诊，)cx7)4=的4)③)>0 则tk 化许) 冰品 或 *,机%杠 X-Xr a(x),5 hs -也 a-t 心（影为+ 外来九 怕：，=x0) 八∞，t= X(+ XI-XY 2能-60水 二为-出 -3上 ,-X ~L 二域-(t0 本培。智 -知 水-必 印2t=6tDx) 名- 2-262-七-1 古2↓时 xtkv=kki7 小7永，-水-C+) 水49过袖主上(o,2) 丸-水2 6-)X1-2以2 XI-X 多6-2，y时， 五>AG代过种上%之(，2) 第4页，共7页 20.(本小题15分) 【答案】解：()因为fx)=e2r-ar-l(xeR),所以f"(x)=2e2-a. ①若a≤0，则f"(x)>0,所以f(x)在区间(-∞，+∞)上单调递增. ②若a>0,令f=0,得x=n号 当x∈(-0，ln号时，了()<0，所以了)在区间（←o,2n上单调递减 1 22 22 当xe分n号+树)时，了)>0，所以)在区间n号，四)上单调递猫， 2 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(-∞，+o; 当a>0时，的单调递减区间为(h学，单调递增区间为兮n宁+@ (2)①若a≤2，当x>0时，2e2r>2,f"(x)=2e2x-a>0,则f(x)在区间(0，+o)上单调递 增。 所以f(x)>f(0)=0.所以a≤2符合题意. ②若a>2,则5n>0 由0可知w在区间Q,h学上单调递减。 所以当xe0n时，f)<了0=0，综上，a的取值范围为(-心，2斗 (3)由(2)知：a≤2时，在(0，+∞)恒有 f(x)>0,故不可能有零点； a>2时，fa在(0，分h)上递减，在 (合h分+o）上递增，且0=0， 所以(0，如)上a)<0,无零点，即 f(合h分)<0，且趋向于正无穷时)趋向 正无穷， 所以，在（合n分+o∞上存在唯-0，使 fx0）=e2zo-ac0-1=0, 要证x0<a-2,只需 f(a-2)=e2a-2)-a(a-2)-1>0在a>2上恒 成立即可， 令t=a-2>0,若h(d=e2-t(t+2)-1,则 h'(e)=2(e2-t-1), 令p(e)=e2t-t-1,则p'()=2e2-1>0,即 p(t)在(0，+o∞)上递增，故p(t)>p(0)=0, 所以h'()>0,即h(t)在(0，+o∞)上递增，故 h(t)>h(0)=0, 所以f(a-2)=e2a-2)-a(a-2)-1>0在a>2 上恒成立，得证； 故x0<a-2,得证. 第5页，共7页 法二：(3)若f(x)在区间(0，+)上存在唯一零点x。, 则a>2,>0且e-a此，-1=0，即a=e-」 Xo 欲证：x,<a-2只需证： x。 e2-1-2 xo 只需证：e2>(x。+1)2, 即证：e>x。+1. 由(2)知，e2r-2x-1>0在区间(0，+∞)上恒成立， 所以e-x-1>0在区间(0，+∞)上恒成立. 所以e>x。+1. 所以x<a-2. 21.（本小题15分) 【答案】(I)解：因为a,=1,a2=2,43=4,a4=3, 所以T={1,2,3,-1},P(T)=4: (Ⅱ)证明：充分性：若A是等差数列，设公差为d. 因为数列A是递增数列，所以d>0. 则当j>i时，a-a,=(U-i)d. 所以T={d,2d,…,(N-1)d},P(T)=N-1, 必要性：若P(T)=N-1. 因为A是递增数列，所以a2-41<a3-4<…<aw-a1, 所以a2-4,43-a1,…,aw-41∈T,且互不相等. 所以T={a2-4,43-a,…,aw-a} 义43-42<a4-a2<…<aw-1-a2<aw-a2<aw-a1, 所以a3-a2,a4-a2,…,aw-a2,aw-a1∈T,且互不相等. 所以43-a2=42-a1，a4-a2=a3-41，…，aw-2=aN-1-a1 所以a2-41=43-42=…=aw-aw-1, 所以A为等差数列： (Ⅲ)解：因为数列A由1,2,3，…，n,2n这n+1个数组成，任意两个不同的数作差， 差值只可能为±1，2，±3，…，(n-1)和(21-1)，±(2n-2),…,±n. 共2(n-1)+2n=4n-2个不同的值： 且对任意的m=1,2,3,…,n-1,n,…,2n-1,m和-m这两个数中至少有一个在 集合T中， 第6页，共7页 又因为1,2,3，…，n,2n这n+1个数在数列A中共出现N=2n+1次，所以数列A中 存在4，=a(i≠j),，所以0eT. 综上，P(T)≤4n-1,且P(T)≥2 设数列A:1,1,2,2,3,3,4,4,…,n,n,21,此时T=0,1,2,…,2n-1}, P(T)=2n. 现对数列A,分别作如下变换： 把一个1移动到2,3之间，得到数列：1,2,2,1,3,3,4,4，…，n,n,2n, 此时T={0,1,2,3,…,2n-1,-1},P(T)=2n+1. 把一个1移动到3,4之间，得到数列：1,2,2,3,3,1,4,4，…，n,n,2, 此时T={0,1,2,3,…,2n-1,-1,-2},P(T)=2n+2. 把一个1移动到n-1,n之间，得到数列：1,2,2,3,3,4,4，，n-1,n-1,1, n,n,2n, 此时T=0,1,2,3,…,2n-1,-1,-2,…,2-m},P(T)=2n+n-2=3n-2. 把一个1移动到n,2n之间，得到数列：1,2,2,3,3,4,4，…，n,n,1,2n, 此时T=0,1,2,3,…,2n-1,-1,-2,…,1-n},P(T)=2n+n-1=3n-1. 再对数列A,依次作如下变换： 把个1移为2n的后一项，得到数列A:1,2,2,3,3,4,4,…,n,n,2n,1, 此时T={0,1,2,3,…,2n-1,-1,-2,…,1-n,1-2n,P(T)=3n: 再把一个2移为2n的后一项：得到数列A2:1,2,3,3,4,4,…,,n,2n,2,1, 此时T=0,1,2,3,…,2n-1,-1,-2,…,1-n,1-2n,2-2n仍， P(T)=3n+1: 依此类推… 最后把一个n移为2n的后一项：得到数列An:1,2,3,4,…,n,2n,,n-1,…, 2,1, 此时T=0,1,2,3,…,2n-1,-1,-2,…,1-n,1-2n,2-2n,…,-n}, P(T)=4n-1. 综上所述，P(T)可以取到从2n到4n-1的所有2n个整数值，所以P(T)的取值个数为 2n. 第7页，共7页