精品解析：北京市八一学校2025-2026学年高二下学期期末考试模拟练习数学试卷

2027届高二下学期期末考试模拟练习 数学 2026.06 本试卷共4页，共三道大题，19道小题，满分100分.考试时长90分钟.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则 为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知为等比数列，公比，则 （ ） A. 81 B. 27 C. 32 D. 16 4. 下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 从这本不同的文学读物中选出本分给甲、乙、丙名学生（每人一本）．如果甲不得读物，则不同的分法种数为（ ） A. 24 B. 18 C. 6 D. 4 7. 某工厂生产的产品分为优良品、合格品、次品三个等级，其中优良品率为，合格品率为，次品率为，现从该厂生产的所有产品中任取三件，则三个等级的产品恰好各取到1件的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于第行、第列的数记为，如.若，则 A. 20 B. 21 C. 29 D. 30 10. 已知函数．若函数有三个极值点，且，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知函数，则__________． 12. 若，则 ________（用数字作答）. 13. 已知函数在上是增函数，则的取值范围是________． 14. 随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务．某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元．已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为________万条时，该软件能获得最高收益． 15. 已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是________.①，均为等差数列，则中最多一个元素；②，均为等比数列，则中最多三个元素；③为等差数列，为等比数列，则中最多三个元素；④单调递增，单调递减，则中最多一个元素. 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知等差数列前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设，求数列的前项和． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 17. 随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展. 某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下： （1）从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率； （2）规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”. （i）现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望； （ii）为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”. 能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由. 18. 已知函数，曲线 在 处的切线方程为. （1）求的值； （2）证明：函数在区间 上存在唯一极大值点； （3）求函数 的零点个数. 19. 给定整数，对于数列定义数列 如下：，，其中表示，这个数中最小的数．记． （1）若数列为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列 ； （2）求证：若，则有； （3）若 ，常数使得恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二下学期期末考试模拟练习 数学 2026.06 本试卷共4页，共三道大题，19道小题，满分100分.考试时长90分钟.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义计算． 【详解】由已知， 故选：B． 2. 已知命题，则 为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】 为，. 故选：C. 3. 已知为等比数列，公比，则 （ ） A. 81 B. 27 C. 32 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】根据可得，所以或， 若，则不符合要求， 若，则符合要求，故， 故选：A 4. 下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解. 【详解】对于A，在上的平均变化率为， 对于B，在上的平均变化率为， 对于C, 在上的平均变化率为， 对于D，在上的平均变化率为， 由于，故在上的平均变化率最大， 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反例可判断AC，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD. 【详解】对于A，若，显然满足，但不能得到，故A错误， 对于B，由于，所以，又为单调递增函数，所以，故B错误， 对于C，若，显然满足，，故C错误， 对于D，若，则，函数在上单调递增，所以， 当，则，函数在上单调递增，所以， 当，则，综上可知D正确 ， 故选：D 6. 从这 本不同的文学读物中选出本分给甲、乙、丙名学生（每人一本）．如果甲不得 读物，则不同的分法种数为（ ） A. 24 B. 18 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】按照 读物是否被选出来进行分类讨论即可. 【详解】若 读物没被选出，则选出的读物直接全排列分给人，有种方法； 若 读物被选出，然后选其他的读物，有种，甲有种读物可选，其余两本书全排列分给乙丙有种方法，共种. 故一共有种. 故选：B 7. 某工厂生产的产品分为优良品、合格品、次品三个等级，其中优良品率为，合格品率为，次品率为，现从该厂生产的所有产品中任取三件，则三个等级的产品恰好各取到1件的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式及排列数公式计算即可. 【详解】从该厂生产的所有产品中任取三件，则三个等级的产品恰好各取到1件的概率为. 故选：D 8. 若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，按公比 的取值情况，结合单调性探讨等价条件，再利用充要条件的定义判断. 【详解】设等比数列的公比为 ，则， 由数列存在负数项，得或， 数列有最小项，当时， ， 若 ，则单调递增，随着的增大，无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 若，，数列是常数列，有最小项； 若 ，则单调递减，随着的增大，正数无限减小，有最小项， 因此； 当时，数列的项正负相间，若，则单调递增，随着的增大， 无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 当时，，数列有最小项； 当时，，单调递减，随着的增大，正数无限减小， 有最小项或，因此， 于是数列有最小项等价于； 数列有最大项：，数列是等比数列， 当时，无最大项，数列无最大项； 当时，，数列有最大项； 当时，单调递减，随着的增大，正数无限减小，数列有最大项， 因此数列有最大项等价于， 所以“数列有最小项”是“数列有最大项”的充分必要条件. 故选：C 9. 已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于第 行、第列的数记为，如.若，则 A. 20 B. 21 C. 29 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出248在第几行，再找出它在这一行中的第几列，可得m+n的值. 【详解】解：由题意可得第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，…第n行有n个偶数，则前n行共有个偶数，248在从2开始的偶数中排在第128位, 可得，，可得前15行共有个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列，所以. 【点睛】本题主要考查归纳推理和等差数列的性质意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，解答本题的关键是通过解不等式找到248所在的行. 10. 已知函数．若函数有三个极值点，且，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点的条件，先可推出 的关系，然后根据二次函数根的分布知识求出的范围，最后利用韦达定理求解. 【详解】，则， 由题意，得到，从而， 而， 故，令， 由， 于是 有两个根，满足， 注意到二次函数开口向上，对称轴为，故， 解得 ，于是 有两个根，满足，根据韦达定理，. 故选：D 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导后，代入即可. 【详解】，. 故答案为：. 12. 若，则 ________（用数字作答）. 【答案】15 【解析】 【分析】赋值法进行求解即可. 【详解】由题意得在中， 令，得 ， 令，得 ， 故 . 13. 已知函数在上是增函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将单调性转化为在上恒成立，构造函数利用导数求解最值即可求解. 【详解】由题意可知在上恒成立，所以在上恒成立， 记， 当单调递增，当单调递减，故当取极小值也是最小值，且， 故，即，所以， 故答案为： 14. 随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务．某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元．已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为________万条时，该软件能获得最高收益． 【答案】19 【解析】 【分析】由结合导数得出答案. 【详解】设收益为元，则，. 当时，；当时，. 即函数在上单调递增，在上单调递减. 即当收集的数据量为 万条时，该软件能获得最高收益． 故答案为：19 15. 已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是________.①，均为等差数列，则中最多一个元素；②，均为等比数列，则中最多三个元素；③为等差数列，为等比数列，则中最多三个元素；④单调递增，单调递减，则中最多一个元素. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对②，举例当为偶数时，说明；对①③④，根据等差数列、等比数列的图象特征逐项判断. 【详解】对于①，因为，均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确； 对于②，取，，则，均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误； 对于③，当时，若，则当 ，如图，直线与最多两个交点， 当，直线与最多一个交点（可参照图中图象），不可能出现三个交点； 若，则可以理解为直线与和交点个数的和， 如图可知，最多三个交点；同理可知时，最多三个交点；故③正确. 对于④，因为为单调递增，为递减数列， 前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知等差数列前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设，求数列的前项和． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解； （2）根据等比数列的基本量计算，等差等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解. 【小问1详解】 设等差首项和公差分别为， 由得， 所以； 【小问2详解】 设等比首项和公差分别为， 若选①②，由得； 由得， 所以公比为，故， 故， 故； 若选②③， 由可知公比不为1，所以， 由得， 所以， 故， 故； 若选①③，由可知公比不为1，所以， 由得； 所以， 故， 故. 17. 随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展. 某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下： （1）从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率； （2）规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”. （i）现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望； （ii）为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”. 能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）分布列见解析，数学期望为；（ii）无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算公式，结合所给的数据进行求解即可； （2）（i）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可； （ii）根据独立重复事件的概率公式，结合小概率事件的性质进行求解即可. 【小问1详解】 设事件A 为“从10所学校中选出的1所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人”．“自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以． 【小问2详解】 （i）X的所有可能取值为0，1，2，3， “单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所． 所以，. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以． （ii）设事件B 为“参训前，该同学考核为‘优秀’”， 则． 参考答案1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下： 比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 ． 参考答案2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下： 事件 是随机事件， 比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化． 18. 已知函数，曲线 在 处的切线方程为. （1）求的值； （2）证明：函数在区间 上存在唯一极大值点； （3）求函数 的零点个数. 【答案】（1） （2）证明：由（1）得，求导得， 设，则， 当 时， ， ，则，故函数在 上单调递减， 又 ，由零点存在定理，存在唯一的 ，使得 . 当 时，，即，则函数在 上单调递增； 当 时， ，即，即函数在 上单调递减. 故为函数在区间 上的唯一极大值点； （3）2 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线方程，对照系数即可求出的值； （2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理即可得证； （3）将按照定义域分成 ， ， 和 四部分，讨论函数的单调性，结合零点存在定理和端点函数值大小逐一判断零点个数即可. 【小问1详解】 由，可得 ， ，则 ， 因曲线 在 处的切线方程为，则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数 的定义域为 ，则 ， ①当 时，由（2）知，函数在 上单调递增，在 上单调递减. 又，即当 时， ，即， 故函数在 上单调递减，故函数在 上仅有零点； ②当 时，因 ，由（2）当时， 单调递增， 故 ，即在上单调递增， 当 时， 单调递减，因 ， 则在后面一段区间必有 ,单调递减,在 上先增后减， 又 ，则当 时， ，即函数无零点； ③当 时，若 ，则 ，则函数在 上单调递减， 又 ，由零点存在定理，函数存在唯一的零点 ； 若 ，则 ，而，则 恒成立，故函数在 上无零点. 综上，函数 共有与 两个零点. 19. 给定整数，对于数列定义数列 如下：，，其中表示，这个数中最小的数．记． （1）若数列 为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列 ； （2）求证：若，则有； （3）若 ，常数使得恒成立，求的最大值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，逐项计算，即可求得数列 ； （2）由时，可得，当且仅当时等号成立，结合，即可得证； （3）不妨设，当，得到取任意实数都满足条件；当时，转化为，假设，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，若数列 为， 可得，即数列 为：； 若数列 为， 可得，即数列 为：. 【小问2详解】 证明：由题设条件知，若时，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以当，则成立. 【小问3详解】 解：不妨设， 若，因为 ，所以，此时显然取任意实数都满足条件； 下面设，则的充分必要条件时， 假设， 因为 ，所以， 当时，由， 所以 ， 当时，有， 仍然有成立，所以， 因为，所以， 所以，取，所以， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $