动量守恒定律的应用：非完全弹性碰撞问题、完全非弹性碰撞问题 专项训练-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 聚焦动量守恒定律应用，构建非完全与完全非弹性碰撞问题的系统性方法体系，以恢复系数为核心纽带，串联定义、方程与能量分析，强化物理观念与科学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |非完全弹性碰撞|3例+3变式|恢复系数定量条件，动量守恒与能量损失联立方程|定义→恢复系数（0<e<1）→速度求解→能量转化| |完全非弹性碰撞|3例+3变式|共同速度模型，动量守恒简化式，最大动能损失计算|定义→恢复系数（e=0）→共速方程→能量损失极值|

动量守恒定律的应用：非完全弹性碰撞问题、完全非弹性碰撞问题专项训练 动量守恒定律的应用：非完全弹性碰撞问题、完全非弹性碰撞问题专项训练 考点目录 非完全弹性碰撞问题 完全非弹性碰撞问题 考点一 非完全弹性碰撞问题 核心知识点 1. 定义：碰撞后两物体分离，存在动能损失，但没有粘在一起； 1. 能量特点：，损失的动能转化为内能、形变能； 1. 恢复系数 （核心定量条件） · ：碰撞前两物体接近速度；：碰撞后两物体分离速度； 取值范围： · ：弹性碰撞（无动能损失）； · ：完全非弹性碰撞（无分离速度，共速）。 1. 联立方程组 · 可解出碰后速度 。 例1．（25-26高二下·浙江温州·期末）某游戏装置如图所示，AB是半径R1=1.25m的圆弧轨道，圆心O与A等高，水平传送带长度L=0.9m，以v0=0.8m/s的速率逆时针转动，EF是半径R2=10m的圆弧轨道，F端距水平面DE的高度h=0.024m，该处有一垂直于轨道的挡板P，传送带两端分别通过水平地面BC、DE与两圆弧轨道最低点相切，DE的长度L0=0.8m。现有质量为m=0.2kg的物块a从A处静止释放，经圆弧轨道AB、水平地面BC、传送带后与静置在水平面DE中点处质量为4m的物块b碰撞，碰后粘在一起记作物块c。物块均可看成质点，物块与传送带间的滑动摩擦因数均为μ=0.5，其它接触面均光滑，不计空气阻力。求： (1)物块a第一次经过圆弧轨道上的B点时轨道对其支持力的大小FN； (2)物块a第一次通过传送带产生的热量Q； (3)物块c与挡板碰前瞬间的速度大小vF； 例2．（2026·河北沧州·三模）如图所示，在光滑水平面上，小球A的质量为，小球B的质量为。现给A一个初速度，使其与静止的B发生正碰。碰撞后，B小球冲上一个半径为R=0.8m的光滑竖直圆管轨道（轨道由一个四分之一圆管连接一个半圆管再接一个四分之一圆管组成，圆管内径远小于R）。竖直轨道固定在平板车上，平板车开始时是锁定的，其左端紧挨水平面，平板车上表面与光滑水平面平齐，已知小球B运动至轨道最高点C时，对下侧壁的压力为2.5N。重力加速度 (1)求碰撞后瞬间A、B各自的速度大小； (2)判断A、B碰撞过程中机械能是否有损失，若有，则计算损失的能量； (3)若解除锁定的平板车，且平板车可以在车轮所在水平面上无摩擦运动。小车（含其上固定的轨道）的质量为M。其他条件不变，小球A、B碰撞后，为保证小球B能从圆管轨道右侧滑出，求M需要满足的条件。 例3．（2026·河北衡水·二模）如图所示，一截面为等腰直角三角形的棱柱质量为，被约束在一光滑的水平轨道上，边只能沿光滑轨道滑动。现有一质量相同的光滑小球，在与同一水平面内垂直于轨道方向，以速度与处于静止的发生碰撞。 (1)若碰撞为弹性碰撞，求碰后棱柱的速度和小球的速度的大小； (2)若碰撞为一般碰撞，碰后相对速度大小是碰前相对速度大小的，求碰后棱柱的速度和小球的速度的大小。 变式1．（2026·湖北孝感·模拟预测）如图所示，半径为R=0.45m的四分之一光滑曲面AB位于竖直平面内，其底端与水平传送带BP上表面平滑连接，传送带总长度为X=3m，以v＝5m/s的速度顺时针匀速运动，右端与倾角为30°的斜面的底端P通过一小段圆弧平滑连接。将一质量m1＝2kg的小物块D（可看作质点）从光滑曲面顶端A点静止释放，与静止在B点的质量为m2=1kg的物块E（可看作质点）碰撞，D与E碰撞时机械能损失为碰前D物块动能的25%，碰后立刻取走D；已知物块E与传送带间动摩擦因数μ1＝0.5，与斜面间的动摩擦因数，取重力加速度g＝10 m/s2，求 (1)E相邻两次（沿斜面上滑经过P点与沿斜面下滑经过P点）经过P点时速率之比； (2)碰后E从B点第一次到达P点的时间； (3)从E滑上传送带到最终停止运动，电动机多消耗的电能。 变式2．（25-26高三下·陕西商洛·期中）游乐场的碰碰车是游客喜爱的项目。如图，在某次游戏中，三辆质量分别为、、的碰碰车A、B、C在水平地面上沿直线排列，A静止，B以大小的速度向左与A发生弹性正碰，碰后B立即与向左运动的C发生正碰。已知C碰前瞬间的速度大小，三车碰撞时间均极短，碰后每一辆车均无动力滑行，各车受到的阻力大小均为车重力的，碰后C向左运动，经时间停下，重力加速度取。求： (1)B与A碰后瞬间A、B的速度大小。 (2)B与C碰撞过程中损失的机械能。 (3)最终A、B间的距离。 变式3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，质量为的滑块P静止放置在光滑水平面上，其右侧面QG为半径的四分之一光滑圆弧面；为圆心，圆弧面的上端为Q点，水平，水平面上紧靠G点静止放置滑块B。光滑圆弧轨道固定在水平面右侧，N点与倾斜的传送带相切，；传送带NE长度，恒以速度顺时针匀速运动。现将木块A从Q点以速度竖直下抛，沿滑块P下滑进入水平面，与滑块B碰撞后立即粘在一起；A、B整体经过右侧固定圆弧轨道的N点时速度；轨道MN的半径，随后滑上传送带，最后离开传送带抛出。已知A、B的质量，A、B与传送带间动摩擦因数，重力加速度；A、B均可视为质点，，，求： (1)木块A滑上水平面时与滑块B的距离； (2)木块A初速度的大小； (3)木块A离开传送带时的速度大小。 考点二 完全非弹性碰撞问题 核心知识点 1. 定义：碰撞后两物体粘合在一起，以共同速度运动； 2. 恢复系数 ，分离速度 ，即 ； 3. 动量守恒简化式： 4. 动能损失计算 初总动能： 末总动能： 损失动能： 5. 特点：相同初速度条件下，完全非弹性碰撞动能损失最大。 例1．（2026·贵州黔西南·二模）某个游戏装置的结构简图如图所示，解除弹簧的锁定，小球从P点射出，射出时的初速度方向和水平面的夹角为，小球运动到最高点时刚好击中位于水平桌面（厚度不计）上最左端的滑块A或木板B（滑块A叠放在木板B的最左端），只要木板B右侧能运动到桌面上的Q点或Q点右侧，就赢得了游戏。已知P点和桌面最左端的水平距离为，小球和滑块A的质量均为0.3kg且均视为质点，木板B的长度为0.9m、质量为0.2kg、厚度不计且右侧固定有挡板，木板B右侧距Q点1.3m，滑块A和木板B、木板B和桌面间的动摩擦因数分别为0.5和0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞时间极短，不计空气阻力，重力加速度g大小取，，求： (1)P点和水平桌面上最左端间的高度差h； (2)若小球与木板B碰后立即粘在一起，通过计算判断能否赢得游戏； (3)若小球与滑块A发生弹性正碰，且之后可能的碰撞均为弹性碰撞： ①求滑块A和木板B碰撞后，滑块A和木板B的速度大小； ②通过计算判断能否赢得游戏。 例2．（25-26高一下·陕西西安·期末）如图所示，光滑水平地面上并排放置着两个平台A、B，平台A上固定一根竖直轻杆，杆的顶端通过长的轻质不可伸长细线悬挂一质量为的小球D。现有一玩家从左侧将一块质量为的橡皮泥C置于小球D左侧，给橡皮泥C水平向右的速度，使得C立即与静止的小球D发生碰撞，碰后C、D瞬间粘在一起形成整体E。已知平台A的质量，平台B的质量，重力加速度，忽略空气阻力，所有物体均可视为质点。求： (1)橡皮泥C与小球D碰撞形成E的过程损失的机械能； (2)整体E第一次向右摆动时上升的最大高度及整体E第一次向右摆动到最高点的过程中，平台B对平台A的冲量I的大小； (3)当整体E第一次回到最低点时，轻质细线对整体E的拉力大小。 例3．（25-26高三下·河南·阶段检测）如图所示，一足够长的固定光滑斜面倾角为，底部有一垂直斜面的挡板，质量为m的物块B和质量为4m的物块A分别与劲度系数为k的轻弹簧两端拴接，物块B紧靠挡板，系统处于静止状态。质量为2m的物块C从斜面上与A相距的位置由静止释放，与A碰撞后粘连在一起成为一个整体。物块均看作质点，碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g，弹性势能（其中k为轻弹簧的劲度系数、x为轻弹簧的形变量）。求： (1)C与A碰撞后瞬间整体的速度大小； (2)碰后A、C整体做简谐运动的振幅； (3)B对挡板的最大压力与最小压力之差。 变式1．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）如图所示，固定在竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，半径，其底端与水平传送带相切于点，传送带左、右两端的距离，以的速度沿顺时针方向转动，足够长的光滑水平面与传送带相切于点。一轻质弹簧右端与固定于点的挡板拴接，左端与一质量的物块连接。质量的物块从圆弧轨道顶端由静止滑下，运动到点与物块发生碰撞，每次发生的都是完全非弹性碰撞，但碰后并不粘连，第一次碰撞前物块静止于平衡位置，且每次回到平衡位置时物块都会立即被锁定，而在它们再次碰撞前锁定被解除。弹簧的最大压缩量不超过其弹性限度。已知物块与传送带间的动摩擦因数，两物块均可视为质点，忽略它们经过衔接点时的机械能损失。求： (1)物块从轨道顶端下滑至底端时对轨道的压力的大小； (2)物块和物块第一次碰撞后物块的速度的大小； (3)全过程中，物块与传送带间因摩擦而产生的热量。 变式2．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）倾角的传送带以的速度顺时针转动，某时刻将质量的小物块A轻放在传送带顶端，与此同时另一质量的小物块B从传送带底端以初速度沿传送带上滑，当物块B上滑至最大位移时恰与物块A发生碰撞粘在一起，碰撞时间。已知两物块与传送带之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，，，求： (1)物块B沿传送带上滑过程的划痕； (2)物块A从释放到与物块B相碰的过程中，物块A与传送带因摩擦产生的热量； (3)物块A与B碰撞的过程中，A对B的平均作用力的大小。 变式3．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）如图所示，在竖直平面内，长度L=1m的粗糙水平轨道MN左侧与半径R=0.9m的四分之一光滑圆弧轨道（固定）相切，右侧与一足够长的倾斜传送带通过一小段圆弧（图中未画出）平滑连接。传送带与水平方向的夹角，以大小恒为的速度逆时针转动。将物块A从圆弧轨道的最高点由静止释放，物块A与静止在N处的物块B碰撞并粘在一起（碰撞时间极短），A、B的质量均为m=1kg。两物块与水平轨道MN间的动摩擦因数均为，物体与传送带间的动摩擦因数均为，取重力加速度大小g=10，，，两物块均视为质点。求： (1)物块A与物块B碰撞后瞬间的速度大小v； (2)物块A沿传送带上滑的最大距离x； (3)物块A在水平轨道MN上运动的总路程s。 2 学科网（北京）股份有限公司 $动量守恒定律的应用：非完全弹性碰撞问题、完全非弹性碰撞问题专项训练 动量守恒定律的应用：非完全弹性碰撞问题、完全非弹性碰撞问题专项训练 考点目录 非完全弹性碰撞问题 完全非弹性碰撞问题 考点一 非完全弹性碰撞问题 核心知识点 1. 定义：碰撞后两物体分离，存在动能损失，但没有粘在一起； 1. 能量特点：，损失的动能转化为内能、形变能； 1. 恢复系数 （核心定量条件） · ：碰撞前两物体接近速度；：碰撞后两物体分离速度； 取值范围： · ：弹性碰撞（无动能损失）； · ：完全非弹性碰撞（无分离速度，共速）。 1. 联立方程组 · 可解出碰后速度 。 例1．（25-26高二下·浙江温州·期末）某游戏装置如图所示，AB是半径R1=1.25m的圆弧轨道，圆心O与A等高，水平传送带长度L=0.9m，以v0=0.8m/s的速率逆时针转动，EF是半径R2=10m的圆弧轨道，F端距水平面DE的高度h=0.024m，该处有一垂直于轨道的挡板P，传送带两端分别通过水平地面BC、DE与两圆弧轨道最低点相切，DE的长度L0=0.8m。现有质量为m=0.2kg的物块a从A处静止释放，经圆弧轨道AB、水平地面BC、传送带后与静置在水平面DE中点处质量为4m的物块b碰撞，碰后粘在一起记作物块c。物块均可看成质点，物块与传送带间的滑动摩擦因数均为μ=0.5，其它接触面均光滑，不计空气阻力。求： (1)物块a第一次经过圆弧轨道上的B点时轨道对其支持力的大小FN； (2)物块a第一次通过传送带产生的热量Q； (3)物块c与挡板碰前瞬间的速度大小vF； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）a从的过程，根据机械能守恒定律有 解得 在B点，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 （2）物块a滑上传送带后，做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 设物块a第一次通过传送带的时间为，根据运动学公式有 结合题意代入数据解得 此过程中传送带的位移大小为 代入数据解得 物块a与传送带的相对位移大小为 推导可得 物块a第一次通过传送带产生的热量为 代入数据解得 （3）物块a到达D点时的速度大小为，根据速度时间公式有 解得 物块a与物块b发生碰撞，设碰后物块c的速度为，规定向右为正方向，根据动量守恒定律有 解得 物块c在水平面DE上做匀速直线运动，到达E点后滑上圆弧轨道EF，此过程根据机械能守恒定律有 代入数据解得 例2．（2026·河北沧州·三模）如图所示，在光滑水平面上，小球A的质量为，小球B的质量为。现给A一个初速度，使其与静止的B发生正碰。碰撞后，B小球冲上一个半径为R=0.8m的光滑竖直圆管轨道（轨道由一个四分之一圆管连接一个半圆管再接一个四分之一圆管组成，圆管内径远小于R）。竖直轨道固定在平板车上，平板车开始时是锁定的，其左端紧挨水平面，平板车上表面与光滑水平面平齐，已知小球B运动至轨道最高点C时，对下侧壁的压力为2.5N。重力加速度 (1)求碰撞后瞬间A、B各自的速度大小； (2)判断A、B碰撞过程中机械能是否有损失，若有，则计算损失的能量； (3)若解除锁定的平板车，且平板车可以在车轮所在水平面上无摩擦运动。小车（含其上固定的轨道）的质量为M。其他条件不变，小球A、B碰撞后，为保证小球B能从圆管轨道右侧滑出，求M需要满足的条件。 【答案】(1)4.5m/s，6m/s (2)有损失，6.75J (3)M>4kg 【详解】（1）在最高点C、B对下侧壁压力为，由牛顿第三定律，轨道对B的支持力，方向向上，重力向下，合力提供向心力 解得 B从最低点到最高点上升高度为，机械能守恒 解得 碰撞前后系统动量守恒 解得 （2）碰撞前总动能 碰撞后总动能 因，故有机械能损失 （3）假设小球B运动到轨道最高点时刚好与车共速，根据水平方向动量守恒 根据机械能守恒可得 解得 要使小球B能从圆管轨道右侧滑出，则需 例3．（2026·河北衡水·二模）如图所示，一截面为等腰直角三角形的棱柱质量为，被约束在一光滑的水平轨道上，边只能沿光滑轨道滑动。现有一质量相同的光滑小球，在与同一水平面内垂直于轨道方向，以速度与处于静止的发生碰撞。 (1)若碰撞为弹性碰撞，求碰后棱柱的速度和小球的速度的大小； (2)若碰撞为一般碰撞，碰后相对速度大小是碰前相对速度大小的，求碰后棱柱的速度和小球的速度的大小。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）设轴垂直于（入射方向），轴沿方向，棱柱只能沿方向运动，速度只有分量，小球碰撞后分解为，由于系统方向不受外力，方向动量守恒，碰撞过程中系统动量守恒即 接触面光滑，小球平行于方向不受力，平行方向速度分量不变，由倾角为，可得 碰前两者相对速度 碰后两者相对速度 若碰撞为弹性碰撞，则 即 联立解得， （2）一般碰撞，碰后相对速度大小是碰前相对速度大小的 即 得 ， 变式1．（2026·湖北孝感·模拟预测）如图所示，半径为R=0.45m的四分之一光滑曲面AB位于竖直平面内，其底端与水平传送带BP上表面平滑连接，传送带总长度为X=3m，以v＝5m/s的速度顺时针匀速运动，右端与倾角为30°的斜面的底端P通过一小段圆弧平滑连接。将一质量m1＝2kg的小物块D（可看作质点）从光滑曲面顶端A点静止释放，与静止在B点的质量为m2=1kg的物块E（可看作质点）碰撞，D与E碰撞时机械能损失为碰前D物块动能的25%，碰后立刻取走D；已知物块E与传送带间动摩擦因数μ1＝0.5，与斜面间的动摩擦因数，取重力加速度g＝10 m/s2，求 (1)E相邻两次（沿斜面上滑经过P点与沿斜面下滑经过P点）经过P点时速率之比； (2)碰后E从B点第一次到达P点的时间； (3)从E滑上传送带到最终停止运动，电动机多消耗的电能。 【答案】(1) (2)0.68s (3) 【详解】（1）设E从传送带到达P点时速率为，从斜面返回P点时速率为，沿斜面上滑距离为x，有 返回过程 代入已知量可得 （2）对D从A点到B点，由动能定理得 D与E碰撞时系统动量守恒，设碰后D、E速率分别为v1、v2， 能量关系有 联立解得， 碰后E先做匀加速运动，与传送带共速后再匀速运动到P点。匀加速时间为t1，匀速运动时间为t2，有 解得加速度 有， 代入v2的值得s1=1.6m，t1=0.4s 此后匀速运动有 总时间为t=t1+t2 得t=0.68s （3）设物块E从P点第一次滑上传送带到最终静止于P点，在传送带上运动总时间为T。 物块E第一次从P点滑上传送带时速率为，此后每次滑上传送带速率都是上一次的一半。设第一次从P点滑上传送带到再次返回P点用时为tp1，返回时的速度仍为，则 同理第二次从P点滑上传送带到再次返回P点用时为tp2，则 可得 同理可得总时间 则电动机多消耗的电能为 联立解得 变式2．（25-26高三下·陕西商洛·期中）游乐场的碰碰车是游客喜爱的项目。如图，在某次游戏中，三辆质量分别为、、的碰碰车A、B、C在水平地面上沿直线排列，A静止，B以大小的速度向左与A发生弹性正碰，碰后B立即与向左运动的C发生正碰。已知C碰前瞬间的速度大小，三车碰撞时间均极短，碰后每一辆车均无动力滑行，各车受到的阻力大小均为车重力的，碰后C向左运动，经时间停下，重力加速度取。求： (1)B与A碰后瞬间A、B的速度大小。 (2)B与C碰撞过程中损失的机械能。 (3)最终A、B间的距离。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）规定向左为正方向，由题意知，B以的速度向左与A发生弹性正碰，系统动量守恒，满足 碰撞前后，系统动能总和不变，满足 解得， 其中负号表示B的速度方向向右，故B与A碰后瞬间，A、B的速度大小分别为和 （2）由题意知，C碰前瞬间的速度 B与A碰后，B与C发生碰撞，碰后C做匀减速运动，所受阻力大小为 由牛顿第二定律可知，碰碰车C的加速度大小为 碰后C向左运动，故C的速度 B与C发生碰撞过程，B、C系统动量守恒，设碰后B的速度为，则 解得 故B与C碰撞过程中损失的机械能满足 （3）与A碰后，B立即与C发生碰撞，碰撞结束后，A、B均向左做匀减速直线运动，最终停下，两车初始位置相同，各车受到的阻力大小均为车重力的，故各车坐减速运动的加速度大小均相同，满足 其中A车运动的距离 B车运动的距离 A、B间的距离 变式3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，质量为的滑块P静止放置在光滑水平面上，其右侧面QG为半径的四分之一光滑圆弧面；为圆心，圆弧面的上端为Q点，水平，水平面上紧靠G点静止放置滑块B。光滑圆弧轨道固定在水平面右侧，N点与倾斜的传送带相切，；传送带NE长度，恒以速度顺时针匀速运动。现将木块A从Q点以速度竖直下抛，沿滑块P下滑进入水平面，与滑块B碰撞后立即粘在一起；A、B整体经过右侧固定圆弧轨道的N点时速度；轨道MN的半径，随后滑上传送带，最后离开传送带抛出。已知A、B的质量，A、B与传送带间动摩擦因数，重力加速度；A、B均可视为质点，，，求： (1)木块A滑上水平面时与滑块B的距离； (2)木块A初速度的大小； (3)木块A离开传送带时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）木块A在P上滑动，水平方向动量守恒，适用人船模型，，即 其中 解得 木块A滑上水平面时与滑块B的距离 （2）A与滑块B碰撞后立即粘在一起，速度为，从G点运动到N点过程中，动能定理 解得 A与滑块B碰撞，动量守恒 木块A从P上滑下过程中，动量守恒 机械能守恒 解得 （3）A与滑块B碰撞后立即粘在一起，由于，受到沿斜面向下滑动摩擦力 根据牛顿第二定律 加速度沿斜面向下，减速运动，根据运动学关系，沿传送带向上滑动位移 与传送带共速后，受到沿斜面向上滑动摩擦力 根据牛顿第二定律 向上减速，由运动学关系， 解得 考点二 完全非弹性碰撞问题 核心知识点 1. 定义：碰撞后两物体粘合在一起，以共同速度运动； 2. 恢复系数 ，分离速度 ，即 ； 3. 动量守恒简化式： 4. 动能损失计算 初总动能： 末总动能： 损失动能： 5. 特点：相同初速度条件下，完全非弹性碰撞动能损失最大。 例1．（2026·贵州黔西南·二模）某个游戏装置的结构简图如图所示，解除弹簧的锁定，小球从P点射出，射出时的初速度方向和水平面的夹角为，小球运动到最高点时刚好击中位于水平桌面（厚度不计）上最左端的滑块A或木板B（滑块A叠放在木板B的最左端），只要木板B右侧能运动到桌面上的Q点或Q点右侧，就赢得了游戏。已知P点和桌面最左端的水平距离为，小球和滑块A的质量均为0.3kg且均视为质点，木板B的长度为0.9m、质量为0.2kg、厚度不计且右侧固定有挡板，木板B右侧距Q点1.3m，滑块A和木板B、木板B和桌面间的动摩擦因数分别为0.5和0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞时间极短，不计空气阻力，重力加速度g大小取，，求： (1)P点和水平桌面上最左端间的高度差h； (2)若小球与木板B碰后立即粘在一起，通过计算判断能否赢得游戏； (3)若小球与滑块A发生弹性正碰，且之后可能的碰撞均为弹性碰撞： ①求滑块A和木板B碰撞后，滑块A和木板B的速度大小； ②通过计算判断能否赢得游戏。 【答案】(1) (2)能赢得游戏 (3)①，；②不能赢得游戏 【详解】（1）设小球从P点射出时，初速度沿水平方向的分速度大小为，小球从P点运动到水平桌面上最左端的过程看成反向的平抛运动，由平抛运动公式 竖直方向有， 水平方向有 且有 解得，， （2）设小球的质量，木板B的质量，木板B和桌面间的动摩擦因数，小球与木板B碰后立即粘在一起，共同速度为v，以水平向右为正，由动量守恒定律，有 得 依题意，碰撞时间极短，滑块A视为质点，则碰撞结束时，滑块A速度仍然为零，A将脱离木板B，小球与木板B整体向右做匀减速直线运动，设整体向右滑行的距离为，由动能定理，有 得，因为，所以木板B右侧能运动到桌面上Q点右侧，能赢得游戏； （3）①设滑块A的质量，滑块A和木板B间的动摩擦因数，小球与滑块A发生弹性正碰，设碰后两者速率分别为、，碰撞过程，两者组成的系统动量和机械能均守恒，以水平向右为正 有， 得， 之后，滑块A相对木板B向右滑动，木板B受到滑块A的滑动摩擦力 木板B受到桌面的最大静摩擦力 由于，故木板B静止不动，设滑块A滑至木板B右侧与挡板相碰时，滑块A速度为，由动能定理，有，其中 得 滑块A与木板B发生弹性碰撞，设碰后两者速度分别为、，碰撞过程，两者组成的系统动量和机械能均守恒，以水平向右为正 有， 得， ②滑块A和木板B碰撞后，滑块A和木板B分别向右做匀加速直线运动和匀减速直线运动，假设两者能够共速，设经历的时间为，共同速度为，以水平向右为正，由动量定理 对滑块A有 对木板B 得， 设此过程中，滑块A和木板B的位移分别为和，由匀变速直线运动，平均速度和位移的关系 有， 得， 木板B相对滑块A的位移，两者共速假设成立，由于，且，故共速后，两者保持相对静止，一起向右继续做匀减速直线运动直至停止，设两者一起做匀减速直线运动的位移为，由动能定理，有 得，由于，所以不能赢得游戏。 例2．（25-26高一下·陕西西安·期末）如图所示，光滑水平地面上并排放置着两个平台A、B，平台A上固定一根竖直轻杆，杆的顶端通过长的轻质不可伸长细线悬挂一质量为的小球D。现有一玩家从左侧将一块质量为的橡皮泥C置于小球D左侧，给橡皮泥C水平向右的速度，使得C立即与静止的小球D发生碰撞，碰后C、D瞬间粘在一起形成整体E。已知平台A的质量，平台B的质量，重力加速度，忽略空气阻力，所有物体均可视为质点。求： (1)橡皮泥C与小球D碰撞形成E的过程损失的机械能； (2)整体E第一次向右摆动时上升的最大高度及整体E第一次向右摆动到最高点的过程中，平台B对平台A的冲量I的大小； (3)当整体E第一次回到最低点时，轻质细线对整体E的拉力大小。 【答案】(1)9J (2)0.3m， (3)38N 【详解】（1）C与D碰撞过程时间极短，内力远大于外力，取向右为正方向，由动量守恒定律得： 代入数据解得整体E的速度： 碰撞过程中系统损失的机械能为： 代入数据解得： （2）整体E向右摆动过程中，A、B、E组成的系统在水平方向不受外力，水平方向动量守恒。 当E摆动到最高点时，A、B、E三者具有相同的水平速度。 由水平方向动量守恒定律得 整体E摆动到的最大高度h。对A、B、E组成的系统，从E开始摆动到最高点，由机械能守恒定律得： 代入数据：。 从E开始摆动到最高点，单独隔离平台B，平台B仅在水平方向受到平台A对其向右的弹力作用。由动量定理可得，平台A对B的冲量为： 根据牛顿第三定律，平台B对平台A的冲量大小与A对B的冲量大小相等，故平台B对A的冲量大小为 （3）E第一次达到最低点时，A与B开始分离 对E、A、B构成的系统： 联立解得：， 在最低点时，轻线的拉力提供整体E相对平台A做圆周运动的向心力。 E相对于A的速度大小 由牛顿第二定律得： 解得 例3．（25-26高三下·河南·阶段检测）如图所示，一足够长的固定光滑斜面倾角为，底部有一垂直斜面的挡板，质量为m的物块B和质量为4m的物块A分别与劲度系数为k的轻弹簧两端拴接，物块B紧靠挡板，系统处于静止状态。质量为2m的物块C从斜面上与A相距的位置由静止释放，与A碰撞后粘连在一起成为一个整体。物块均看作质点，碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g，弹性势能（其中k为轻弹簧的劲度系数、x为轻弹簧的形变量）。求： (1)C与A碰撞后瞬间整体的速度大小； (2)碰后A、C整体做简谐运动的振幅； (3)B对挡板的最大压力与最小压力之差。 【答案】(1) (2) (3)4mg 【详解】（1）碰撞前，C做匀加速直线运动，根据速度位移关系式可知C与A碰前瞬间速度 碰撞过程根据动量守恒得 联立解得C与A碰撞后瞬间整体的速度大小 （2）碰撞前，弹簧的压缩量为，有 碰后A、C整体做简谐运动，平衡位置弹簧的压缩量为，有 设最低点弹簧的压缩量为，从碰后到最低点根据系统机械能守恒有 联立解得 碰后A、C整体做简谐运动的振幅 解得 （3）A、C整体运动到最高点时，B对挡板压力最小，此时弹簧的压缩量 解得 选B为研究对象，根据平衡条件得 解得 A、C整体运动到最低点时，B对挡板压力最大，此时弹簧的压缩量为，选B为研究对象，根据平衡条件得 解得 B对挡板的最大压力与最小压力之差 解得 变式1．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）如图所示，固定在竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，半径，其底端与水平传送带相切于点，传送带左、右两端的距离，以的速度沿顺时针方向转动，足够长的光滑水平面与传送带相切于点。一轻质弹簧右端与固定于点的挡板拴接，左端与一质量的物块连接。质量的物块从圆弧轨道顶端由静止滑下，运动到点与物块发生碰撞，每次发生的都是完全非弹性碰撞，但碰后并不粘连，第一次碰撞前物块静止于平衡位置，且每次回到平衡位置时物块都会立即被锁定，而在它们再次碰撞前锁定被解除。弹簧的最大压缩量不超过其弹性限度。已知物块与传送带间的动摩擦因数，两物块均可视为质点，忽略它们经过衔接点时的机械能损失。求： (1)物块从轨道顶端下滑至底端时对轨道的压力的大小； (2)物块和物块第一次碰撞后物块的速度的大小； (3)全过程中，物块与传送带间因摩擦而产生的热量。 【答案】(1)，竖直向下 (2) (3) 【详解】（1）物块从轨道顶端下滑至底端的过程中，由机械能守恒定律可得 解得 物块到达轨道底端时，根据牛顿第二定律可得 由牛顿第三定律，对轨道底端压力，方向竖直向下 （2）物块滑上传送带后，根据牛顿第二定律有 解得 物块的速度增大到与传送带速度相等所需的时间 对地位移，由于，此后物块做匀速直线运动，物块的速度为 第一次碰后物块与物块的速度为，两物块系统在碰撞过程中，根据动量守恒，有 解得 （3）第一次通过传送带过程中与传送带相对位移 物块与传送带间因摩擦而产生的热量 设第一次碰撞后当弹簧恢复原长时、分离，此时物块的速度大小仍为，物块在传送带上先向左做匀减速运动，减速到零的位移，所以物块在传送带上先向左做匀减速到零的运动，再向右做匀加速运动以原速率返回右端，所以物块与物块第二次碰撞前的速度为 设第二次碰后物块与物块的速度为，则对第二次碰撞过程，有 解得 同理可推物块每次碰撞后都将被传送带带回与物块发生下一次碰撞，则碰撞次后返回传送带，速度大小为 第次与物块碰撞后，在传送带上运动的时间，物块与传送带的相对位移 与物块第一次碰后运动的全过程，物块与传送带间因摩擦而产生的热量 所以全过程总热量 变式2．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）倾角的传送带以的速度顺时针转动，某时刻将质量的小物块A轻放在传送带顶端，与此同时另一质量的小物块B从传送带底端以初速度沿传送带上滑，当物块B上滑至最大位移时恰与物块A发生碰撞粘在一起，碰撞时间。已知两物块与传送带之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，，，求： (1)物块B沿传送带上滑过程的划痕； (2)物块A从释放到与物块B相碰的过程中，物块A与传送带因摩擦产生的热量； (3)物块A与B碰撞的过程中，A对B的平均作用力的大小。 【答案】(1)1.25m (2)21J (3)2000N 【详解】（1）B全程做减速运动，刚放在传送带上时，有 解得 经过时间B与传送带共速，有 此段时间B运动的位移为 传送带的位移为 二者的相对位移为 B接下来会继续做减速运动， B从减为0所用的时间为 这段过程B的位移为 传送带的位移为 二者的相对位移为 第一段的相对位移更大，所以划痕为1.25m。 （2）A沿传送带向下做匀加速运动，有 解得 A向下运动的位移为 所以摩擦生热为 （3）A与B碰撞前A的速度为 碰撞过程动量守恒，有 碰后共速的速度大小为，方向沿传送带向下。 对B应用动量定理，由于作用时间极短，B的重力分量与摩擦力可忽略不计，有 解得A对B的平均作用力的大小为 变式3．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）如图所示，在竖直平面内，长度L=1m的粗糙水平轨道MN左侧与半径R=0.9m的四分之一光滑圆弧轨道（固定）相切，右侧与一足够长的倾斜传送带通过一小段圆弧（图中未画出）平滑连接。传送带与水平方向的夹角，以大小恒为的速度逆时针转动。将物块A从圆弧轨道的最高点由静止释放，物块A与静止在N处的物块B碰撞并粘在一起（碰撞时间极短），A、B的质量均为m=1kg。两物块与水平轨道MN间的动摩擦因数均为，物体与传送带间的动摩擦因数均为，取重力加速度大小g=10，，，两物块均视为质点。求： (1)物块A与物块B碰撞后瞬间的速度大小v； (2)物块A沿传送带上滑的最大距离x； (3)物块A在水平轨道MN上运动的总路程s。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设在两物块碰撞前瞬间，物块的速度大小为 ，对物块从圆弧轨道最高点运动到点的过程，根据动能定理有 对两物块碰撞的过程，根据动量守恒定律有 解得。 （2）设两物块沿传送带上滑的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 解得 根据匀变速直线运动的规律有 解得。 （3）在两物块下滑的速度小于传送带速度的过程中，两物块的加速度大小也为，该过程中两物块下滑的距离 设在两物块沿传送带下滑的速度大于传送带速度的过程中，两物块的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 解得 该过程中两物块下滑的距离 设两物块返回点时的速度大小为，根据匀变速直线运动的规律有 设两物块返回点后沿水平轨道滑行的路程为，根据动能定理有 经分析可知 解得。 2 学科网（北京）股份有限公司 $