动量守恒定律的应用：爆炸问题、子弹打木块模型、滑块弹簧模型、滑块曲面模型 专项训练-2027届高三物理一轮复习

**基本信息** 聚焦动量守恒四大典型模型，通过核心知识点系统提炼解题方法，构建“模型条件-守恒规律-能量关系”逻辑链条，深化运动与相互作用观念，培养模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |爆炸问题|2例+2变式|内力远大于外力时动量守恒，化学能转化为动能|静止/运动爆炸场景中动量矢量和守恒，能量转化分析| |子弹打木块模型|2例+2变式|动量守恒与摩擦生热关系，相对位移计算|完全非弹性/穿透型过程的动量与能量综合应用| |滑块弹簧模型|2例+2变式|共速时势能最大，恢复原长时动能最大|动量守恒与机械能转化的临界状态分析| |滑块曲面模型|2例+2变式|水平动量守恒，机械能守恒，最高点共速|光滑曲面中动量与能量守恒的动态过程分析|

动量守恒定律的应用：爆炸问题、子弹打木块模型、滑块弹簧模型、滑块曲面模型专项训练 动量守恒定律的应用：爆炸问题、子弹打木块模型、滑块弹簧模型、滑块曲面模型专项训练 考点目录 爆炸问题 子弹打木块模型 滑块弹簧模型 滑块曲面模型 考点一 爆炸问题 核心知识点 1. 模型条件：爆炸瞬间内力极大，外力（重力、摩擦力）可忽略，系统动量守恒；爆炸时间极短，物体位移不计。 1. 动量守恒式：爆炸前总动量 = 爆炸后所有碎片总动量 · 静止爆炸：初动量为0，碎片动量矢量和为0。 1. 能量特点：炸药化学能转化为碎片动能，总动能增大。 1. 典型场景：炮弹空中炸裂、爆竹炸开、物体瞬间分离。 例1．（2026·湖南·高考真题）如图，长为L的轻杆竖直放置，上端固定一质量为m的小球，下端连接于水平地面上某固定点，杆可绕该点无摩擦转动。小球内部安装了质量不计的智能弹射装置。受轻微扰动后，小球和杆从静止开始一起运动，当两者间弹力为0时，小球脱离轻杆，重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)求小球接触地面瞬间的速度v的大小； (2)求小球接触地面瞬间的速度与水平面夹角α的正切值； (3)小球与地面碰撞前后，竖直方向分速度大小相等、方向相反，水平方向分速度相等。碰撞后瞬间，智能弹射装置工作，小球在极短时间内分裂成两部分，两部分速度方向均与小球分裂前瞬间的速度方向成θ角（θ已知，且0 < θ < α）。设两部分质量之比为k，弹射装置释放的能量为E。 （i）求E与k的关系； （ii）当E最小时，若分裂后两部分第一次落地时刻相同，求两部分第一次落地点的间距d。 例2．（2026·河北保定·三模）如图所示，带有圆弧轨道的物块a、b放置在光滑水平地面上，圆弧轨道所对圆心角分别为和θ=90°，均在最低点与水平地面相切。物块c、d紧挨着放在a、b间的水平地面上，c、d间夹有一定质量的炸药。引爆c、d间的炸药，炸药释放的化学能有50%转变成c、d的动能。之后c、d分别滑上a、b上的圆弧轨道，物块c第一次运动到a上轨道最低点时所受支持力为，物块d第一次运动到b上轨道最低点时所受支持力为F2。已知，，圆弧轨道半径均为R=0.75m，重力加速度取，，不计一切阻力。假定物块从空中落到水平地面时，竖直方向速度瞬间减到零，水平方向速度大小不变。 (1)若，，求炸药爆炸后c、d的速度大小。 (2)若炸药释放的总能量为15J，，。 ①求c和d的质量。 ②求物块a、b、c、d最终的速度。 变式1．（2026·四川德阳·三模）如图，春节期间燃放的“火箭”型爆竹由A、B两部分构成，质量分别为m1＝0.2 kg、m2＝0.3 kg。现将“火箭”垂直于斜面静止摆放在倾角为37°的斜面上。点燃B底部火药（第一次爆炸），当A、B速度水平时，A、B间火药发生第二次爆炸，A、B分离瞬间，B速度为0，A速度大小为v1＝30 m/s，最终A撞击在与第一次爆炸位置同一高度的泥土堆上的C点。已知A撞击泥土堆的作用时间△t＝0.02 s，重力加速度大小g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，不计火药质量、空气阻力及“火箭”的体积，可认为火药爆炸所释放的化学能全部转化为A、B的机械能，求： (1)第二次爆炸前瞬间，A、B整体的速度大小v共； (2)第一次爆炸过程中，火药释放的化学能E； (3)A撞击泥土堆过程中，泥土堆对A的冲量方向与水平方向夹角的正切值。 变式2．（2026·广东惠州·一模）如图（a）所示，一科研小组计划研究某小型无人机的发射性能，将质量为的小型无人机装载到质量为的母机上，系统在竖直向上的恒定升力作用下，从地面静止起飞，经时间后系统速度为，此时母机发射筒内的少量火药在极短时间内释放化学能，使无人机瞬间以的速度与母机竖直向上分离，之后将作用在母机上的恒定升力调整为，同时，风洞装置对母机施加如图（b）所示的水平风力（以系统静止起飞时为计时起点），为常量，忽略空气阻力和系统质量的变化，重力加速度，求： (1)恒定升力的大小； (2)分离后，母机还需多长时间落地； (3)母机落地时的水平距离与的关系。 考点二 子弹打木块模型 核心知识点 1. 过程分两类 ① 完全非弹性：子弹留在木块内，二者共速，； ② 穿透型：子弹穿出，二者各自有不同末速度。 1. 守恒规律：水平方向不受外力，系统动量守恒；摩擦力为内力，产生热量。 1. 能量关系：系统损失动能 = 摩擦生热 · ：子弹相对木块的穿透深度；：子弹与木块间滑动摩擦力。 1. 位移区分：子弹对地位移，木块对地位移，相对位移。 例1．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）在粗糙的水平地面上选一点O，以O为原点建立直角坐标系xOy，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。把一块“L”形质量为0.3 kg的长木板放在水平地面上，并使长木板的中点与原点O对齐，长木板左侧挡板的厚度不计。长木板中点的左侧上表面光滑，右侧上表面粗糙，一可看作质点质量为0.098 kg的滑块放在长木板的中点。某时刻一质量为0.002 kg的子弹以200 m/s的速度水平向左射入滑块（时间极短）并嵌入其中，滑块与挡板发生弹性碰撞（时间极短）后反弹，当滑块回到原点O时速度刚好为零。已知滑块未从木板上滑落，子弹射入滑块后，木板与地面间的最大静摩擦力为0.9N，滑块与木板粗糙部分间的最大静摩擦力为0.4N，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)子弹射入滑块过程系统损失的机械能； (2)滑块与木板左端挡板发生弹性碰撞后瞬间各自的速度大小； (3)木板的长度。 例2．（2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，光滑水平面上放置木板，木板的上表面光滑，其左端放置一可视为质点的物块，木板左侧一定距离处放置带有光滑轻质定滑轮的物块。一根轻质弹性绳绕过定滑轮，两端分别与木板和物块相连，且滑轮两侧的弹性绳均保持水平，初始时系统处于静止状态，弹性绳处于原长。一质量为的子弹以初速度水平向右射入并留在其中（作用时间极短）。已知木板的质量为，物块的质量为，物块的质量为，在研究过程中、未发生碰撞，且未从上滑落，弹性绳的形变始终在弹性限度内。求： (1)子弹射入的过程中产生的热量； (2)当的速度大小为时，的速度大小； (3)弹性绳伸长到最长时的弹性势能； (4)弹性绳刚好恢复原长时的速度。 变式1．（25-26高二下·福建三明·期末）如图，弹性轻绳连接的滑块A、B静止在光滑水平面上。子弹C水平击穿A向前运动，子弹射入、射出速度分别为、。一段时间后，B与A碰撞并粘在一起。已知两滑块的质量分别为、，子弹的质量为，求： (1)子弹击穿滑块时A的速度大小； (2)两滑块发生碰撞前瞬间的速度大小、； (3)两滑块碰撞过程中损失的机械能。 变式2．（2026·河北·高考真题）如图所示，质量为的木板上放有一个质量为的机器人，木板始终受到水平向右、大小为的恒力作用。初始时木板与机器人一起以的速度沿水平地面向右匀速运动。机器人正上方有一个沿竖直方向可以伸缩、水平向右速度恒为的机械夹爪。某时刻夹爪将机器人向上提起，后放回木板，同时夹爪缩回，机器人在摩擦力的作用下最终与木板相对静止。取，机器人可视为质点，机器人被提起和放下瞬间竖直方向速度均为零。求 (1)机器人被提起的内，木板位移的大小。 (2)从机器人被放回木板到与木板相对静止的过程中，摩擦力对机器人所做的功。 考点三 滑块弹簧模型 核心知识点 1. 系统：光滑水平面，两滑块中间连轻弹簧，全程合外力为0，动量守恒。 1. 两个临界状态 ① 弹簧压缩/拉伸至最短/最长：两滑块速度相等（共速），弹簧弹性势能最大，系统动能最小； ② 弹簧恢复原长：弹性势能为0，系统动能最大，等效弹性碰撞，可用弹性碰撞速度公式。 1. 能量关系：动能与弹性势能相互转化，总机械能（动能+弹性势能）不变。 例1．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，A、B均静止，M、N处于原长状态。时，有一水平向右的恒力作用在B上，B运动后开始匀速运动，B开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为0.1 J。已知A、B的质量分别为0.2 kg、0.4 kg，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内且弹性势能和形变量的平方成正比。 (1)求A与B间的动摩擦因数； (2)求B做匀速运动时的速度大小； (3)若时，有一水平向右的恒力作用在B上，A向右运动到最远点后向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A脱离） 例2．（2026·四川泸州·一模）如图所示，小球A以水平初速度，从半径的粗糙半圆弧轨道顶端冲入，然后从半圆弧另一端沿水平方向以速度冲出，在光滑水平轨道上通过轻质弹簧与静止的小球B发生相互作用（弹簧与小球B连接）。已知、。忽略空气阻力，A、B球均可视为质点，重力加速度。求： (1)小球从到的过程中阻力做的功； (2)弹簧弹性势能的最大值； (3)在整个相互作用过程中，弹簧对小球A的冲量。 变式1．（2026·福建福州·一模）如图（a），水平面上电荷量的滑块A静置在绝缘不带电木板B的中间。水平面右侧放置一辆平板小车C，其上表面和B上表面等高，物块D放在C上通过水平轻质弹簧与车的右端相连，弹簧处于原长。时刻A、B、C、D均处于静止状态，在空间加一水平向右的匀强电场，电场强度E随时间t变化关系如图（b）所示。时刻木板B恰碰到大小不计的固定立柱，立即停止，同时A恰平滑滑上小车C并撤去电场。A与D碰撞后粘在一起，碰后弹簧弹性势能第一次达到最大。已知A、B、D的质量m均为1kg，小车C的质量为2kg，A、D可视为质点。A和B间的动摩擦因数为，B和地面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，不计小车C与其他物体间的摩擦。弹簧的弹性势能公式为，弹簧劲度系数，x为弹簧形变量，弹簧始终在弹性限度内。取重力加速度大小，不计电磁辐射。求： (1)滑块B的加速度大小； (2)时滑块A的速度大小； (3)木板B的长度L； (4)碰后时间内小车C的位移大小。 变式2．（2025·河北衡水·模拟预测）如图所示，光滑水平面上有一质量M＝1.98kg的小车，B点右侧为水平轨道，其中BC段粗糙，CD段光滑。B点的左侧为一半径R＝1.3m的光滑四分之一圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在B点相切，车的最右端D点固定一轻质弹簧，弹簧处于自然长度时左端恰好位于小车的C点，B与C之间距离L＝0.7m。一质量m＝1kg的小物块（可视为质点），置于小车的B点，开始时小车与小物块均处于静止状态。一质量m0＝20g的子弹以速度v0＝600m/s向右击中小车并停留在车中，假设子弹击中小车的过程时间极短，已知小物块与BC间的动摩擦因数μ＝0.5，取g=10m/s2。求： (1)小物块沿圆弧轨道上升的最大高度； (2)小物块第一次返回到B点时速度的大小； (3)弹簧弹性势能的最大值。 考点四 滑块曲面模型 核心知识点 1. 光滑曲面：无摩擦，系统水平方向动量守恒；竖直方向受地面支持力，动量不守恒。 1. 临界状态：滑块到达曲面最高点时，滑块与曲面水平共速，滑块竖直分速度为0。 1. 能量关系：只有重力做功，系统机械能守恒（动能↔重力势能） · ：滑块上升最大高度。 1. 滑块滑离曲面：等效弹性分离，水平动量守恒+机械能守恒，同弹性碰撞计算分离速度。 例1．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）如图所示，一质量为且左右对称的光滑小车（不计轮子质量）放置于光滑水平面上，轮子被固定住。将一个质量为的小球从点自由释放，其下落之后自B点进入半径为的圆弧部分，滑至点飞出，恰好在点沿切线进入右侧圆弧，最终上升到右侧与开始相同的高度。已知过的半径与竖直方向夹角，，，求： (1)小球在C点对小车的压力大小； (2)l的长度； (3)不再固定轮子，仍将小球从A点自由释放，求小球在C点的速度大小。（结果可用根号表示） 例2．（2026·河北秦皇岛·二模）如图所示，装置的左侧是固定在水平面上有半径为2R的四分之一圆弧的光滑曲面体，装置的右侧是没有固定放在光滑水平面上有半径为R的四分之一圆弧的光滑曲面体，其质量为3m，现将质量为m的滑块从A点由静止释放，经过一段时间后滑块冲上右侧光滑曲面体，重力加速度为g，滑块可视为质点。 (1)滑块从右侧的曲面体的顶端滑离后还能上升多高？ (2)滑块在右侧的曲面体上第一次滑至离水平面高度为时，光滑曲面体的速度多大？ (3)若滑块从右侧的曲面体的底端滑至顶端的时间为，滑块从右侧的曲面体的顶端滑至底端的时间为，滑块从右侧的曲面体的底端开始到再次回到底端的过程中曲面体向右运动的距离为多大？ 变式1．（2026·河南信阳·模拟预测）如图所示，质量为的L形长木板静止在光滑水平面上，长木板上表面段水平，段为半径为的四分之一光滑圆弧，圆弧面的最低点切线水平。质量为的物块以一定的初速度沿水平方向从长木板的左端A点滑上长木板，物块刚好能滑到圆弧面的最高点C，最后恰好滑到A点与长木板相对静止。已知物块与间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为，不计物块的大小。求： (1)物块刚滑上长木板时，物块与长木板的加速度大小； (2)长木板上表面AB部分的长度和物块刚滑上长木板时的初速度大小。 变式2．（2026·云南红河·三模）如图所示，一个质量的滑块静止在光滑水平面上，其AB段是半径的光滑圆弧，BC段水平，A点与圆心O等高，OB与竖直方向成30°。一质量、可视为质点的小球从A点由静止释放，最终恰好落在滑块的C点，g取，求： (1)小球运动到圆弧最低点时的速度大小； (2)小球运动到圆弧最低点时对滑块的压力大小； (3)水平面BC的长度。 2 学科网（北京）股份有限公司 $动量守恒定律的应用：爆炸问题、子弹打木块模型、滑块弹簧模型、滑块曲面模型专项训练 动量守恒定律的应用：爆炸问题、子弹打木块模型、滑块弹簧模型、滑块曲面模型专项训练 考点目录 爆炸问题 子弹打木块模型 滑块弹簧模型 滑块曲面模型 考点一 爆炸问题 核心知识点 1. 模型条件：爆炸瞬间内力极大，外力（重力、摩擦力）可忽略，系统动量守恒；爆炸时间极短，物体位移不计。 1. 动量守恒式：爆炸前总动量 = 爆炸后所有碎片总动量 · 静止爆炸：初动量为0，碎片动量矢量和为0。 1. 能量特点：炸药化学能转化为碎片动能，总动能增大。 1. 典型场景：炮弹空中炸裂、爆竹炸开、物体瞬间分离。 例1．（2026·湖南·高考真题）如图，长为L的轻杆竖直放置，上端固定一质量为m的小球，下端连接于水平地面上某固定点，杆可绕该点无摩擦转动。小球内部安装了质量不计的智能弹射装置。受轻微扰动后，小球和杆从静止开始一起运动，当两者间弹力为0时，小球脱离轻杆，重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)求小球接触地面瞬间的速度v的大小； (2)求小球接触地面瞬间的速度与水平面夹角α的正切值； (3)小球与地面碰撞前后，竖直方向分速度大小相等、方向相反，水平方向分速度相等。碰撞后瞬间，智能弹射装置工作，小球在极短时间内分裂成两部分，两部分速度方向均与小球分裂前瞬间的速度方向成θ角（θ已知，且0 < θ < α）。设两部分质量之比为k，弹射装置释放的能量为E。 （i）求E与k的关系； （ii）当E最小时，若分裂后两部分第一次落地时刻相同，求两部分第一次落地点的间距d。 【答案】(1) (2) (3)（i）；（ii） 【详解】（1）根据机械能守恒定律有 解得小球接触地面瞬间的速度的大小 （2）设小球脱离轻杆时，轻杆与竖直方向的夹角为，如图所示 设此时小球的速度为，根据机械能守恒定律 对小球，根据牛顿第二定律 解得， 此时小球水平方向分速度 竖直方向分速度 竖直方向，根据速度位移关系 小球接触地面瞬间的速度与水平面夹角的正切值 联立解得 （3）（i）设其中一部分的质量为，则另一部分质量为，如图所示 根据动量守恒定律有， 弹射装置释放的能量 联立可得 （ii）根据数学知识可知，当时，最小为 即有，， 两小球同时落地，运动时间为 可得 两小球的距离 由可得 联立可得 例2．（2026·河北保定·三模）如图所示，带有圆弧轨道的物块a、b放置在光滑水平地面上，圆弧轨道所对圆心角分别为和θ=90°，均在最低点与水平地面相切。物块c、d紧挨着放在a、b间的水平地面上，c、d间夹有一定质量的炸药。引爆c、d间的炸药，炸药释放的化学能有50%转变成c、d的动能。之后c、d分别滑上a、b上的圆弧轨道，物块c第一次运动到a上轨道最低点时所受支持力为，物块d第一次运动到b上轨道最低点时所受支持力为F2。已知，，圆弧轨道半径均为R=0.75m，重力加速度取，，不计一切阻力。假定物块从空中落到水平地面时，竖直方向速度瞬间减到零，水平方向速度大小不变。 (1)若，，求炸药爆炸后c、d的速度大小。 (2)若炸药释放的总能量为15J，，。 ①求c和d的质量。 ②求物块a、b、c、d最终的速度。 【答案】(1)3m/s，1.5m/s (2)①1kg，1.5kg；②2m/s，方向水平向左，1m/s，方向均水平向右，1m/s，方向均水平向右，3m/s，方向均水平向右 【详解】（1）设炸药爆炸后物块c速度大小为v 则 得炸药爆炸后d的速度大小为 由圆周运动规律，有 ， 其中 ，联立解得c的速度大小为3m/s，d的速度大小为1.5m /s （2）①设物块c的质量为2m，爆炸瞬间速度为3v，则物块d的质量为3m，速度为2v。 由动能关系有 类比（1）中分析，有 联立解得m=0.5kg，v=1m/s 则物块c的质量为1kg，物块d的质量为1.5kg。 ②结合①分析可知，物块c滑上a时的速度大小 物块 d滑上b时的速度大小 假设c能从a上飞出，c运动到a最高点时，c的水平速度大小为vₓ、竖直速度大小为，a的速度大小为 水平方向，由动量守恒定律有 根据机械能守恒，有 由几何关系有 由数学知识解得 即物块c恰运动到物块a的最高点，假设不成立，c会从a下滑到地面。 物块c与物块a作用过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律有 ， 解得 同理可得，物块d与物块b相互作用后，速度大小分别为1m/s、3m/s 物块a最终速度大小为2m/s、方向水平向左，物块b、c、d最终速度大小分别为1m/s、1m/s、3m/s，方向均水平向右。 变式1．（2026·四川德阳·三模）如图，春节期间燃放的“火箭”型爆竹由A、B两部分构成，质量分别为m1＝0.2 kg、m2＝0.3 kg。现将“火箭”垂直于斜面静止摆放在倾角为37°的斜面上。点燃B底部火药（第一次爆炸），当A、B速度水平时，A、B间火药发生第二次爆炸，A、B分离瞬间，B速度为0，A速度大小为v1＝30 m/s，最终A撞击在与第一次爆炸位置同一高度的泥土堆上的C点。已知A撞击泥土堆的作用时间△t＝0.02 s，重力加速度大小g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，不计火药质量、空气阻力及“火箭”的体积，可认为火药爆炸所释放的化学能全部转化为A、B的机械能，求： (1)第二次爆炸前瞬间，A、B整体的速度大小v共； (2)第一次爆炸过程中，火药释放的化学能E； (3)A撞击泥土堆过程中，泥土堆对A的冲量方向与水平方向夹角的正切值。 【答案】(1) (2) (3)0.54 【详解】（1）第二次爆炸过程时间极短，水平方向动量守恒，爆炸后速度为0，速度为，由动量守恒定律 代入，， 解得 （2）第一次爆炸后，整体沿垂直斜面向上做斜抛运动，最高点速度水平，即最高点速度就是斜抛的水平分速度。 斜面倾角，垂直斜面方向与水平方向夹角为，因此斜抛初速度满足 代入， 得 第一次爆炸释放的化学能全部转化为整体动能，因此 代入数据解得 （3）斜抛上升过程中，初速度竖直分量 由运动对称性，下落到与爆炸点同高的点时，竖直速度大小，方向向下； 爆炸后水平速度保持不变。 对撞击过程应用动量定理，设泥土冲量的水平分量大小为，竖直分量大小为，撞击后速度为0。 水平方向 竖直方向 设冲量与水平方向夹角为，则 代入，，， 解得 变式2．（2026·广东惠州·一模）如图（a）所示，一科研小组计划研究某小型无人机的发射性能，将质量为的小型无人机装载到质量为的母机上，系统在竖直向上的恒定升力作用下，从地面静止起飞，经时间后系统速度为，此时母机发射筒内的少量火药在极短时间内释放化学能，使无人机瞬间以的速度与母机竖直向上分离，之后将作用在母机上的恒定升力调整为，同时，风洞装置对母机施加如图（b）所示的水平风力（以系统静止起飞时为计时起点），为常量，忽略空气阻力和系统质量的变化，重力加速度，求： (1)恒定升力的大小； (2)分离后，母机还需多长时间落地； (3)母机落地时的水平距离与的关系。 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【详解】（1）系统从静止开始匀加速运动，后速度为，由运动学公式得加速度 对整体（总质量）由牛顿第二定律 解得 （2）分离过程动量守恒，设分离后母机速度为，无人机速度为，有 解得，方向向上。 分离前系统上升的高度 分离后母机质量，升力为，由牛顿第二定律（向下为正） 解得，方向向下。 设分离后落地时间为，位移向下为，由运动学公式 解得正根（负根舍去） （3）水平方向内，水平位移为0； 分离后母机水平加速度，分离后总运动时间为，分两种情况： 当分离后全程受水平风力，水平位移 当风力作用秒后，剩余秒水平匀速； 前秒位移，秒末速度，匀速位移 总位移 考点二 子弹打木块模型 核心知识点 1. 过程分两类 ① 完全非弹性：子弹留在木块内，二者共速，； ② 穿透型：子弹穿出，二者各自有不同末速度。 1. 守恒规律：水平方向不受外力，系统动量守恒；摩擦力为内力，产生热量。 1. 能量关系：系统损失动能 = 摩擦生热 · ：子弹相对木块的穿透深度；：子弹与木块间滑动摩擦力。 1. 位移区分：子弹对地位移，木块对地位移，相对位移。 例1．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）在粗糙的水平地面上选一点O，以O为原点建立直角坐标系xOy，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。把一块“L”形质量为0.3 kg的长木板放在水平地面上，并使长木板的中点与原点O对齐，长木板左侧挡板的厚度不计。长木板中点的左侧上表面光滑，右侧上表面粗糙，一可看作质点质量为0.098 kg的滑块放在长木板的中点。某时刻一质量为0.002 kg的子弹以200 m/s的速度水平向左射入滑块（时间极短）并嵌入其中，滑块与挡板发生弹性碰撞（时间极短）后反弹，当滑块回到原点O时速度刚好为零。已知滑块未从木板上滑落，子弹射入滑块后，木板与地面间的最大静摩擦力为0.9N，滑块与木板粗糙部分间的最大静摩擦力为0.4N，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)子弹射入滑块过程系统损失的机械能； (2)滑块与木板左端挡板发生弹性碰撞后瞬间各自的速度大小； (3)木板的长度。 【答案】(1) (2)均为2m/s (3) 【详解】（1）设子弹和滑块嵌合体A的质量为，嵌入后的速度为，根据动量守恒定律有 解得 系统损失的机械能 解得 （2）取向左为正方向，滑块向左运动的过程中，木板一直处于静止状态，用表示木板质量，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 解得， 即速度大小均为2m/s。 （3）设A与B碰后再次回到O点时，匀速运动时间为，减速运动时间为，在时间内，B做匀减速直线运动，B的加速度 设木板的长度为L，在这段时间内A运动的位移与B运动的位移大小之和等于，则有 在时间内，A的加速度 A在这段时间内运动的总位移也等于，则有 联立解得（另一解舍去）， 例2．（2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，光滑水平面上放置木板，木板的上表面光滑，其左端放置一可视为质点的物块，木板左侧一定距离处放置带有光滑轻质定滑轮的物块。一根轻质弹性绳绕过定滑轮，两端分别与木板和物块相连，且滑轮两侧的弹性绳均保持水平，初始时系统处于静止状态，弹性绳处于原长。一质量为的子弹以初速度水平向右射入并留在其中（作用时间极短）。已知木板的质量为，物块的质量为，物块的质量为，在研究过程中、未发生碰撞，且未从上滑落，弹性绳的形变始终在弹性限度内。求： (1)子弹射入的过程中产生的热量； (2)当的速度大小为时，的速度大小； (3)弹性绳伸长到最长时的弹性势能； (4)弹性绳刚好恢复原长时的速度。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）打击瞬间，子弹与物块C组成的系统动量守恒，满足 解得 系统动能损失转化为热量，满足 联立解得 （2）由题意知，所有接触面均光滑，设任意时刻轻质弹性绳的拉力大小为，对木板由动量定理有 对物块由动量定理有 联立可知此时的速度大小 （3）由小问（2）分析可知，子弹射入物块后，物块连同子弹一起向右运动，弹性绳拉长；木板向左运动，物块向右运动，、间弹性绳长度变短。当、间弹性绳长度的增加量等于、间弹性绳长度的减少量时，弹性绳伸长到最长，此时、、三者的速度大小满足 对物块由动量定理有 结合小问（2）分析得，弹性绳伸长到最长时有 规定向右为正方向，由系统动量守恒可知 三式联立，解得，， 从子弹打入后到弹性绳最长过程的系统机械能守恒，满足 解得 （4）弹性绳刚好恢复原长时，设、、三者的速度大小分别为、、，根据系统的机械能守恒有， 同时结合第（2）、（3）小问分析可知， 联立解得 变式1．（25-26高二下·福建三明·期末）如图，弹性轻绳连接的滑块A、B静止在光滑水平面上。子弹C水平击穿A向前运动，子弹射入、射出速度分别为、。一段时间后，B与A碰撞并粘在一起。已知两滑块的质量分别为、，子弹的质量为，求： (1)子弹击穿滑块时A的速度大小； (2)两滑块发生碰撞前瞬间的速度大小、； (3)两滑块碰撞过程中损失的机械能。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）子弹击穿滑块A过程，以向左为正方向，根据动量守恒可得 代入数据解得子弹击穿滑块时A的速度大小为 （2）子弹击穿滑块A后，滑块A开始向左运动，弹性轻绳先处于伸长状态，使得滑块B也向左运动，当A、B共速时，弹性轻绳伸长量达到最大，之后弹性轻绳逐渐恢复到原长状态，设此时A、B的速度分别为、，根据系统动量守恒可得 根据能量守恒可得 解得， 之后弹性轻绳处于松弛状态，直到A、B发生碰撞，所以两滑块发生碰撞前瞬间的速度大小分别为， （3）两滑块碰撞过程中，以向左为正方向，根据动量守恒可得 解得 根据能量守恒可知，两滑块碰撞过程中损失的机械能为 解得 变式2．（2026·河北·高考真题）如图所示，质量为的木板上放有一个质量为的机器人，木板始终受到水平向右、大小为的恒力作用。初始时木板与机器人一起以的速度沿水平地面向右匀速运动。机器人正上方有一个沿竖直方向可以伸缩、水平向右速度恒为的机械夹爪。某时刻夹爪将机器人向上提起，后放回木板，同时夹爪缩回，机器人在摩擦力的作用下最终与木板相对静止。取，机器人可视为质点，机器人被提起和放下瞬间竖直方向速度均为零。求 (1)机器人被提起的内，木板位移的大小。 (2)从机器人被放回木板到与木板相对静止的过程中，摩擦力对机器人所做的功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，设木板与地面间的摩擦因数为，则有 解得 机器人被提起时，对木板有 解得 机器人被提起的2s内，木板位移的大小 （2）机器人被放回木板时，木板的速度为 机器人被放回木板后，恒力与地面对木板的摩擦力平衡，机器人和木板组成的系统所受合力为零，则由动量守恒定律有 解得 对机器人，由动能定理可得，摩擦力对机器人所做的功 考点三 滑块弹簧模型 核心知识点 1. 系统：光滑水平面，两滑块中间连轻弹簧，全程合外力为0，动量守恒。 1. 两个临界状态 ① 弹簧压缩/拉伸至最短/最长：两滑块速度相等（共速），弹簧弹性势能最大，系统动能最小； ② 弹簧恢复原长：弹性势能为0，系统动能最大，等效弹性碰撞，可用弹性碰撞速度公式。 1. 能量关系：动能与弹性势能相互转化，总机械能（动能+弹性势能）不变。 例1．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，A、B均静止，M、N处于原长状态。时，有一水平向右的恒力作用在B上，B运动后开始匀速运动，B开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为0.1 J。已知A、B的质量分别为0.2 kg、0.4 kg，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内且弹性势能和形变量的平方成正比。 (1)求A与B间的动摩擦因数； (2)求B做匀速运动时的速度大小； (3)若时，有一水平向右的恒力作用在B上，A向右运动到最远点后向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A脱离） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）做匀速直线运动，根据共点力平衡条件，有 解得 （2）B开始匀速运动瞬间，A、B刚好要发生相对滑动，此时A、B速度大小相等为v，M、N两弹簧的弹性势能相同，B运动的过程中，对A、B及弹簧M、N组成的系统，由功能关系有 解得   （3）A、B刚好发生相对滑动时，设二者共同加速度为 对A有   对B有   联立解得 设此时A、B速度大小相等为     其中，弹性势能和形变量的平方成正比，故   此后A做简谐运动，当A速度最大的时候，加速度为0，对A可得 解得 对A由动能定理得   解得    例2．（2026·四川泸州·一模）如图所示，小球A以水平初速度，从半径的粗糙半圆弧轨道顶端冲入，然后从半圆弧另一端沿水平方向以速度冲出，在光滑水平轨道上通过轻质弹簧与静止的小球B发生相互作用（弹簧与小球B连接）。已知、。忽略空气阻力，A、B球均可视为质点，重力加速度。求： (1)小球从到的过程中阻力做的功； (2)弹簧弹性势能的最大值； (3)在整个相互作用过程中，弹簧对小球A的冲量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球从到的过程中根据动能定理可得 解得 （2）当速度相等时，弹性势能最大，根据动量守恒定律可得 根据能量守恒定律可得 解得 （3）在整个相互作用过程中，根据动量定理可得 解得 变式1．（2026·福建福州·一模）如图（a），水平面上电荷量的滑块A静置在绝缘不带电木板B的中间。水平面右侧放置一辆平板小车C，其上表面和B上表面等高，物块D放在C上通过水平轻质弹簧与车的右端相连，弹簧处于原长。时刻A、B、C、D均处于静止状态，在空间加一水平向右的匀强电场，电场强度E随时间t变化关系如图（b）所示。时刻木板B恰碰到大小不计的固定立柱，立即停止，同时A恰平滑滑上小车C并撤去电场。A与D碰撞后粘在一起，碰后弹簧弹性势能第一次达到最大。已知A、B、D的质量m均为1kg，小车C的质量为2kg，A、D可视为质点。A和B间的动摩擦因数为，B和地面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，不计小车C与其他物体间的摩擦。弹簧的弹性势能公式为，弹簧劲度系数，x为弹簧形变量，弹簧始终在弹性限度内。取重力加速度大小，不计电磁辐射。求： (1)滑块B的加速度大小； (2)时滑块A的速度大小； (3)木板B的长度L； (4)碰后时间内小车C的位移大小。 【答案】(1)0.5m/s2 (2)1m/s (3)2m (4) 【详解】（1）设和地面恰好相对运动时，有 由题图（b）的E-t图像可知对应时刻为 由于，即4s之后A、B一起向右加速，再随E继续增大，A在t2时刻相对木板B向右滑动，对、系统，有 对B，有 解得， 时，A、B恰好相对滑动，则时，对A、B系统，有 解得 （2）4~6s内，对系统，由动量定理有 代入数据解得 （3）6~7s内，对A，有 根据位移时间关系可得 对B，有 根据位移时间关系可得， 联立解得 （4）A滑上车的速度 A、D碰撞过程，有 AD、C共速时，弹性势能最大，有 A、D碰撞后到弹性势能最大的过程中，根据能量守恒定律可得 根据动量守恒定律、微元、累加可得 解得， 变式2．（2025·河北衡水·模拟预测）如图所示，光滑水平面上有一质量M＝1.98kg的小车，B点右侧为水平轨道，其中BC段粗糙，CD段光滑。B点的左侧为一半径R＝1.3m的光滑四分之一圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在B点相切，车的最右端D点固定一轻质弹簧，弹簧处于自然长度时左端恰好位于小车的C点，B与C之间距离L＝0.7m。一质量m＝1kg的小物块（可视为质点），置于小车的B点，开始时小车与小物块均处于静止状态。一质量m0＝20g的子弹以速度v0＝600m/s向右击中小车并停留在车中，假设子弹击中小车的过程时间极短，已知小物块与BC间的动摩擦因数μ＝0.5，取g=10m/s2。求： (1)小物块沿圆弧轨道上升的最大高度； (2)小物块第一次返回到B点时速度的大小； (3)弹簧弹性势能的最大值。 【答案】(1)1.2m (2)8m/s (3)8.5J 【详解】（1）对子弹与小车组成的系统，由动量守恒定律有                                                  当小物块上升到最大高度时三者共速，对三者由水平方向动量守恒有                                         由机械能守恒定律有                               联立解得h＝1.2m                                                    即小物块沿圆弧轨道上升的最大高度h＝1.2m                                                                                                                  （2）当小物块第一次回到B点时，设车和子弹的速度为v3，取水平向右为正方向，由水平方向动量守恒有                                         由能量守恒定律有                                   联立解得v3＝2m/s ，v＝8m/s                                                              即小物块第一次返回到B点时速度大小为 v＝8m/s    （3）当弹簧具有最大弹性势能Epm时，三者速度相同，由动量守恒定律有                                            由能量守恒定律有    联立解得 考点四 滑块曲面模型 核心知识点 1. 光滑曲面：无摩擦，系统水平方向动量守恒；竖直方向受地面支持力，动量不守恒。 1. 临界状态：滑块到达曲面最高点时，滑块与曲面水平共速，滑块竖直分速度为0。 1. 能量关系：只有重力做功，系统机械能守恒（动能↔重力势能） · ：滑块上升最大高度。 1. 滑块滑离曲面：等效弹性分离，水平动量守恒+机械能守恒，同弹性碰撞计算分离速度。 例1．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）如图所示，一质量为且左右对称的光滑小车（不计轮子质量）放置于光滑水平面上，轮子被固定住。将一个质量为的小球从点自由释放，其下落之后自B点进入半径为的圆弧部分，滑至点飞出，恰好在点沿切线进入右侧圆弧，最终上升到右侧与开始相同的高度。已知过的半径与竖直方向夹角，，，求： (1)小球在C点对小车的压力大小； (2)l的长度； (3)不再固定轮子，仍将小球从A点自由释放，求小球在C点的速度大小。（结果可用根号表示） 【答案】(1)76N (2)0.384m (3) 【详解】（1）小球从A运动到C的过程，小车固定，只有重力做功，机械能守恒。由图及题意可知，A点到B点高度为，B点到圆弧最低点高度为，C点相对于最低点的高度为。则A到C的高度差 代入数据得 根据机械能守恒定律 解得。 在C点，小球受重力和支持力，合力提供向心力。由几何关系，C点半径与竖直方向夹角为，根据牛顿第二定律 代入数据解得 根据牛顿第三定律，小球对小车的压力大小为。 （2）小球从C点飞出后做斜抛运动。C点速度，方向沿切线斜向上，与水平方向夹角为。水平分速度 竖直分速度 小球恰好在D点沿切线进入右侧圆弧，小球从C到D做斜抛运动，竖直方向先上抛后下落，时间 水平位移 （3）不再固定轮子，小球下滑过程中，系统水平方向不受外力，动量守恒；只有重力做功，系统机械能守恒。设小球在C点的速度大小为，方向与水平方向成角斜向上；小车速度大小为，方向水平向左。水平方向动量守恒，取向右为正，有 代入数据解得 系统机械能守恒 代入数据解得 例2．（2026·河北秦皇岛·二模）如图所示，装置的左侧是固定在水平面上有半径为2R的四分之一圆弧的光滑曲面体，装置的右侧是没有固定放在光滑水平面上有半径为R的四分之一圆弧的光滑曲面体，其质量为3m，现将质量为m的滑块从A点由静止释放，经过一段时间后滑块冲上右侧光滑曲面体，重力加速度为g，滑块可视为质点。 (1)滑块从右侧的曲面体的顶端滑离后还能上升多高？ (2)滑块在右侧的曲面体上第一次滑至离水平面高度为时，光滑曲面体的速度多大？ (3)若滑块从右侧的曲面体的底端滑至顶端的时间为，滑块从右侧的曲面体的顶端滑至底端的时间为，滑块从右侧的曲面体的底端开始到再次回到底端的过程中曲面体向右运动的距离为多大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块从左侧光滑曲面体上滑下，设滑块运动到B点的速度大小为，根据机械能守恒定律有 解得 滑块在右侧的曲面体上运动过程中，系统水平方向动量守恒，滑块滑至右侧的曲面体的顶端时滑块与右侧的曲面体水平方向共速，设共同速度大小为，以向右为正方向，则有 解得 设滑块滑至右侧的曲面体的顶端时的竖直速度为，根据机械能守恒定律有 解得 滑块从右侧的曲面体的顶端滑离后做斜抛运动，在竖直方向有 （2）设滑块在右侧的曲面体上第一次滑至离水平面高度为时滑块的水平速度大小为，曲面体的速度大小为，滑块在右侧的曲面体上运动，系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，则有 设滑块在右侧的曲面体上第一次滑至离水平面高度为时滑块的竖直速度大小为，根据机械能守恒定律有 滑块相对右侧的曲面体做圆周运动，则有 联立得， 解得（另一解不符合题意，舍去） （3）滑块从右侧的曲面体的底端滑至顶端过程中水平方向有 对时间的积累有 又 解得 滑块离开曲面体顶端做斜抛运动再回到右侧的曲面体的顶端过程中，右侧的曲面体的位移为 滑块从右侧的曲面体的顶端滑至底端过程有 对时间的积累有 又 解得 滑块从右侧的曲面体的底端再回到底端的过程中曲面体向右运动的距离 变式1．（2026·河南信阳·模拟预测）如图所示，质量为的L形长木板静止在光滑水平面上，长木板上表面段水平，段为半径为的四分之一光滑圆弧，圆弧面的最低点切线水平。质量为的物块以一定的初速度沿水平方向从长木板的左端A点滑上长木板，物块刚好能滑到圆弧面的最高点C，最后恰好滑到A点与长木板相对静止。已知物块与间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为，不计物块的大小。求： (1)物块刚滑上长木板时，物块与长木板的加速度大小； (2)长木板上表面AB部分的长度和物块刚滑上长木板时的初速度大小。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）设物块刚滑上长木板时，物块的加速度大小为、长木板的加速度大小为。根据牛顿第二定律， 解得， （2）设物块滑上长木板时的初速度大小为，到达点时速度为，两者最后的共同速度为，长为，根据系统水平方向动量守恒 根据能量守恒 ， 可得 解得， 变式2．（2026·云南红河·三模）如图所示，一个质量的滑块静止在光滑水平面上，其AB段是半径的光滑圆弧，BC段水平，A点与圆心O等高，OB与竖直方向成30°。一质量、可视为质点的小球从A点由静止释放，最终恰好落在滑块的C点，g取，求： (1)小球运动到圆弧最低点时的速度大小； (2)小球运动到圆弧最低点时对滑块的压力大小； (3)水平面BC的长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球从A点滑到最低点过程系统水平方向动量守恒，机械能守恒，则 解得 （2）小球滑到最低点相对滑块做圆周运动得 由牛顿第三定律得 解得 （3）小球到B点时相对滑块M以的速度斜抛，滑块以水平运动，由系统水平动量守恒，机械能守恒，则 小球相对滑块以的速度30°斜抛，落到C点，水平方向： 竖直方向： 解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $