2.3.2 两点间的距离公式-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到探索创新，覆盖平面解析几何核心知识点，梯度合理，适配新授课知识内化与能力提升需求，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|两点间距离、对称点、直线方程等单一知识点|选择填空为主，直接应用公式，如对称点坐标计算、直线与坐标轴交点面积| |关键能力·综合提升|光线反射、动态直线距离、几何证明等综合应用|结合实际情境（光线反射），含参数问题（直线恒过定点），培养推理能力| |核心价值·探索创新|参数方程应用、新定义距离等拓展内容|引入新定义“距离”，跨知识点综合（函数与几何），发展创新意识与模型意识|

[必备知识·基础巩固] 1．若点A(1，－2)关于原点的对称点为A′，则|AA′|＝(　　) A．2 B．5 C．5 D．2 解析　由题意得A′(－1，2)，所以 |AA′|＝＝2. 答案　A 2．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则等于(　　) A． B． C．3 D．2 解析　|AC|＝4，|CB|＝2，故＝2. 答案　D 3．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 解析　根据两点间的距离公式， 得|AB|＝＝， |AC|＝＝， |BC|＝＝3，所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且|AB|2＋|AC|2≠|BC|2，故△ABC是等腰非等边三角形． 答案　C 4．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　　) A．(－4，5) B．(－1，2) C．(－3，4) D．(1，－5) 解析　设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得或故选BC. 答案　BC 5．已知点P(a，2)，A(－2，－3)，B(1，1)，且|PA|＝|PB|，则a＝________． 解析　由|PA|＝|PB|，得＝，即6a＝－27，所以a＝－. 答案　－ 6．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________． 解析　由题意知kAB＝＝b－a＝1， 所以|AB|＝＝. 答案　 7．直线2x－5y－10＝0与坐标轴所围成的三角形面积是________． 解析　令x＝0，则y＝－2；令y＝0，则x＝5. ∴S＝×|－2|×|5|＝5. 答案　5 8．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程． 解析　若l与y轴平行，则l的方程为x＝1， 由 得B点坐标(1，4)，此时|AB|＝5，∴x＝1为所求； 当l不与y轴平行时， 可设其方程为y＋1＝k(x－1). 解方程组 得交点B(k≠－2). 由已知＋＝25， 解得k＝－. ∴直线l的方程为y＋1＝－(x－1)， 即3x＋4y＋1＝0. 综上可得，所求直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0. [关键能力·综合提升] 9．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B经过的路程为(　　) A．5 B．2 C．5 D．10 解析　点A(－3，5)关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，则光线从A到B经过的路程为A′B的长度，|A′B|＝＝5.故选C. 答案　C 10.点到直线λx＋y－2λ＋1＝0的距离的最大值为(　　) A．10 B． C．4 D． 解析　由λx＋y－2λ＋1＝0得λ(x－2)＋y＋1＝0， 令x－2＝0，则y＋1＝0，解得 故直线λx＋y－2λ＋1＝0恒过定点P， 记点为点Q，当PQ与直线λx＋y－2λ＋1＝0垂直时，点Q到直线λx＋y－2λ＋1＝0的距离有最大值， 最大值为＝＝. 故选D. 答案　D 11．已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为________． 解析　设点A(a，2a－1)，点B(b，2b－1)， 因为|a－b|＝， 所以|AB|＝ ＝|a－b|＝. 答案　 12．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝________． 解析　以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)， 设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)， 所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2， |PC|2＝a2＋b2， 于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2， 即＝10. 答案　10 13．如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2＋BC2－AC2＝2BD2. 证明　如图所示，以D为原点，AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设B(b，c)，C(a，0)， 依题意得A(－a，0)， AB2＋BC2－AC2 ＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2 ＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2BD2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以AB2＋BC2－AC2＝2BD2. [核心价值·探索创新] 14.已知实数a，b，c，d满足＝＝，则2＋2的最小值为________． 解析　由题意得＝，＝，化简得2a－3b＝0，2c－3d＋4＝0， 所以点，分别在两平行直线2x－3y＝0，2x－3y＋4＝0上，且d≠2， 而2＋2表示这两点之间距离的平方， 所以其最小值为两平行直线间距离的平方，即为2＝. 答案　 15．(多选)对于平面直角坐标系内的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”为|PQ|＝|x1－x2|＋|y1－y2|.已知不同三点A，B，C 满足|AC|＋|BC|＝|AB|，则下列结论正确的是(　　) A．A，B，C 三点可能共线 B．A，B，C 三点可能构成锐角三角形 C．A，B，C 三点可能构成直角三角形 D．A，B，C 三点可能构成钝角三角形 解析　设点C(0，0)，A(1，0)，B(t，s)，则|AC|＝1，|BC|＝|t|＋|s|，|AB|＝|t－1|＋|s|，由|AC|＋|BC|＝|AB| 得1＋|t|＝|t－1|， 当s＝0，t<0 时，A，B，C 三点共线，且有1＋|t|＝|t－1|成立，A正确； 当s≠0 时，A，B，C 三点不共线， 若t＝0，则∠ACB＝90°，且1＋|t|＝|t－1|成立，△ABC 为直角三角形，C正确； 若t<0，显然∠ACB 是钝角，且1＋|t|＝|t－1|成立，△ABC 为钝角三角形，D正确； 若t>0，则1＋|t|＝|t－1|不成立，所以A，B，C 三点不可能构成锐角三角形，B不正确．故选ACD. 答案　 ACD 学科网（北京）股份有限公司 $