2.3.1 两条直线的交点坐标-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础巩固到创新应用，构建“概念理解-综合运算-迁移创新”的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|直线交点、平行垂直判定、定点问题|8题，选择/填空/解答结合，聚焦单一知识点直接应用，如交点坐标计算| |关键能力·综合提升|三线位置关系、面积计算、参数范围|5题，含多选与解答题，综合2-3个知识点，如三角形构成条件分析| |核心价值·探索创新|对称问题、最优解情境|2题，创设实际问题情境，需转化建模，如面积最小值求解，培养创新意识|

[必备知识·基础巩固] 1.已知直线l1：3x＋4y－2＝0与直线l2：2x＋y＋2＝0，则两条直线的交点所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　由解得 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选B. 答案　B 2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k＝(　　) A．－2　　　　　　　　 B．－ C．2 D． 解析　解方程组得 所以两直线的交点为(－1，－2)， 将代入x＋ky＝0，得k＝－. 答案　B 3．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3，1) D．(－2，1) 解析　直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0， 令解得 ∴直线l恒过定点(－3，1).故选C. 答案　C 4．(多选)若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则实数m的值可为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　解方程组得 又交点在第四象限，所以解得－＜m＜2， 故选AB. 答案　AB 5．直线y＝ax＋1与y＝x＋b交于点(1，1)，则a＝________，b＝________． 解析　由题意知点(1，1)既在直线y＝ax＋1上又在直线y＝x＋b上，故a＋1＝1且b＋1＝1， 所以a＝0，b＝0. 答案　0　0 6．经过点P(1，0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程为_____________________． 解析　设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0.因为点P(1，0)在直线上，所以1－2＋λ(3＋2)＝0，所以λ＝，所以所求方程为x＋2y－2＋(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0. 答案　x＋y－1＝0 7．过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为________． 解析　由得 则所求直线的方程为y＋3＝－3(x－1)， 即3x＋y＝0. 答案　3x＋y＝0 8.已知直线l1：2x＋y－2＝0，l2：mx＋(2m－1)y＋1＝0，其中m为实数． (1)当l1∥l2，求实数m的值． (2)当m＝1时，求过直线l1，l2的交点，且垂直于直线x－3y＋4＝0的直线方程． 解析　(1)∵l1∥l2， ∴＝≠， 解得m＝. (2)当m＝1时，直线l2的方程为：x＋y＋1＝0， ∴解得 ∴两条直线的交点P(3，－4)， 又因为所求直线垂直于x－3y＋4＝0，设所求直线的方程为3x＋y＋a＝0， 将P(3，－4)代入可得3×3－4＋a＝0，解得a＝－5， ∴直线方程3x＋y－5＝0. [关键能力·综合提升] 9．无论m取何实数时，直线(m－1)x－(m＋3)y－(m－11)＝0恒过定点，则定点的坐标为(　　) A． B． C． D． 解析　直线方程可化为－x－3y＋11＋m(x－y－1)＝0， 解方程组得 答案　A 10．(多选)已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法正确的是(　　) A．l1与l2的交点坐标是(0，－1) B．过l1与l2的交点且与l1垂直的直线的方程为x－3y＋13＝0 C．l1，l2与x轴围成的三角形的面积是 D．l1的倾斜角是锐角 解析　联立3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0，解得交点坐标为(－1，4)，所以A中说法错误；由所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直得所求直线的斜率为，由点斜式得y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0，所以B中说法正确；l1，l2与x轴围成的三角形的面积S＝××4＝，所以C中说法正确；l1的斜率k1＝－3<0，所以l1的倾斜角是钝角，所以D中说法错误． 答案　BC 11．(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值可以为(　　) A．－ B．－ C． D．2 解析　设三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0分别为l1，l2，l3，斜率分别为k1，k2，k3，且k1＝，k2＝－，k3＝m， 当l3∥l1时，k3＝k1即m＝，l1，l2，l3不能构成三角形； 当l3∥l2时，k3＝k2即m＝－，l1，l2，l3不能构成三角形； 由可得 所以直线l1，l2的交点为， 当直线l3过直线l1，l2的交点时，l1，l2，l3不能构成三角形， 此时－m＋－1＝0，可得m＝－， 综上所述，实数m的取值集合为. 答案　ABC 12．已知A(－2，4)，B(4，2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为________． 解析　如图所示， 直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率， 设线段AB与y轴交于点C， 由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时， a大于或等于DB的斜率，即a≥＝1，即a≥1； 当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率， 即a≤＝－3，即a≤－3. 综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞). 答案　(－∞，－3]∪[1，＋∞) 13．已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2. (1)求直线l1与l2的交点坐标； (2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程． 解析　(1)设l2的方程为2x－y＋m＝0. 因为l2在x轴上的截距为， 所以2×－0＋m＝0，解得m＝－3. 即l2：2x－y－3＝0. 由得 所以直线l1与l2的交点坐标为(2，1). (2)当l3过原点时，l3的方程为y＝x； 当l3不过原点时，设l3的方程为＋＝1， 则＋＝1，得a＝， 所以l3的方程为2x＋y－5＝0， 综上，l3的方程为y＝x或2x＋y－5＝0. [核心价值·探索创新] 14．已知A(3，1)，B(－1，2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为(　　) A．y＝2x＋4 B．y＝x－3 C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0 解析　设点B关于直线y＝x＋1的对称点B′(x，y)， 则即解得即B′(1，0). 又B′在直线AC上， 则直线AC的方程为＝， 即x－2y－1＝0. 答案　C 15．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________． 解析　由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(4－k＋4)＋×4×(2k2＋2－2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $