2.2.3 直线的一般式方程-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到综合提升再到探索创新，构建“概念理解-综合应用-创新拓展”的知识巩固路径，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|直线倾斜角、截距、平行垂直判定|8题，单选/多选/填空/解答结合，如倾斜角与截距计算，夯实概念理解| |关键能力·综合提升|直线方程转化、对称问题、最值应用|5题，综合平行垂直与象限分析，如截距式与斜截式互化，提升推理能力| |核心价值·探索创新|数学史（欧拉线）、直线方程综合应用|2题，结合欧拉定理情境，如直角三角形欧拉线求解，发展创新意识|

[必备知识·基础巩固] 1．倾斜角为60°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x－3y－1＝0 D．x＋3y－1＝0 解析　由题意知，直线斜率k＝tan 60°＝，在y轴上的截距为－1，所以直线的斜截式方程是y＝x－1，化为一般式为x－y－1＝0. 答案　A 2．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有(　　) A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5 C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5 解析　直线5x－2y－10＝0可以化为截距式方程＋＝1，所以a＝2，b＝－5. 答案　B 3．(2025·开封期末)设a∈R，则“a＝0”是“直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0平行，则1×(－a)－2a×(3a－1)＝0， 即6a2－a＝0，可得a＝0或a＝ ， 故“a＝0”是“直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0平行”的充分不必要条件，故选A. 答案　A 4．(多选)(2025·淄博期末)已知直线l1：x＋ay＋1＝0，l2：(a－1)x＋y＋a＝0，则下列说法正确的是(　　) A．当a＝1 时，直线l1的倾斜角为45° B．若l1⊥l2 ，则a＝ C.若l1∥l2，则a＝－1 D．直线l2的纵截距为 －a 解析　对于A，当a＝1时，直线l1：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，则倾斜角为135°，故A错误；对于B，l1⊥l2等价于a－1＋a＝0，解得a＝，故B正确；对于C，若l1∥l2，则a(a－1)－1＝0，且a≠a－1，故a＝，故C错误；对于D，l2：(a－1)x＋y＋a＝0，当x＝0时，y＝－a，所以直线l2的纵截距为－a，故D正确．故选BD. 答案　BD 5．过点(－1，2)且以直线2x－3y－7＝0的方向向量为方向向量的直线的一般式方程是_______________________． 解析　直线2x－3y－7＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为，又所求直线过点(－1，2)，所以所求直线的方程为y－2＝(x＋1)，即2x－3y＋8＝0. 答案　2x－3y＋8＝0 6．过点(－1，5)，且与直线＋＝1垂直的直线方程是__________________． 解析　直线＋＝1的斜截式为y＝－3x＋6， 故斜率是－3，所以所求直线的斜率是， 所以所求直线方程是y－5＝(x＋1)， 即x－3y＋16＝0. 答案　x－3y＋16＝0 7．已知直线l1：x－my－6＝0，l2：(m－2)x－3y－2m＝0.若l1⊥l2，则m的值为________．若l1∥l2，则m的值为________． 解析　由两直线垂直可得，1·(m－2)＋m·3＝0，解得m＝， 故当l1⊥l2时，m＝； 由两直线平行可得＝≠， 由＝，解得m＝－1或m＝3， 而当m＝3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去， 故m＝－1. 答案　　－1 8．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R). (1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角为45°，求实数m的值． 解析　(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝. 所以若方程表示一条直线，则m≠－1， 即实数m的取值范围为{m|m≠－1}． (2)由(1)，易知当m＝时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝. (3)依题意，得＝－3， 所以3m2－4m－15＝0， 所以m＝3或m＝－，结合(1)知m＝－. (4)因为直线的倾斜角为45°，所以斜率为1， 所以－＝1，解得m＝或m＝－1(舍去)，所以若方程表示的直线的倾斜角为45°，则m＝. [关键能力·综合提升] 9．(多选)已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　由题意可把ax＋by＝c化为 y＝－x＋. 因为ab<0，bc<0， 所以直线的斜率k＝－>0， 直线在y轴上的截距<0， 由此可知直线通过第一、三、四象限． 答案　ACD 10．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　) A．2y－x－4＝0 B．2x－y－1＝0 C．x＋y－5＝0 D．2x＋y－7＝0 解析　由x－y＋1＝0得A(－1，0)， ∵P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，∴P为线段AB中垂线上的点，故B(5，0).又直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角互补，∴两直线的斜率互为相反数，故直线PB的斜率kPB＝－1，∴直线PB的方程为y＝－(x－5)，即x＋y－5＝0. 答案　C 11．若直线的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0且a>0，则a＋b＝________． 解析　由＋＝1，得y＝－x＋b，一般式为bx＋ay－ab＝0，所以－＝－2，－ab＝－8， 即解得或 因为a>0，所以a＝2，b＝4，所以a＋b＝6. 答案　6 12．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________． 解析　直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2＋.由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值. 答案　 13．已知直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且直线l1过点M(－4，－1)； (2)直线l1∥l2，且l1，l2在y轴上的截距互为相反数． 解析　(1)因为l1过点M(－4，－1)， 所以－4a＋b＋4＝0. 因为l1⊥l2，所以a×(1－a)＋b＝0. 所以或 (2)由题意可得，两条直线不可能都经过原点， 当b＝0时，两条直线分别化为ax＋4＝0，(a－1)x＋y＝0，可知两条直线不平行． b≠0时两条直线分别化为y＝x＋，y＝(1－a)x－，所以＝1－a，＝b， 解得或 [核心价值·探索创新] 14．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A(0，0)，B(8，0)，C(0，6)，则△ABC的“欧拉线”方程为(　　) A．3x＋4y－3＝0 B．3x－4y＝0 C．3x－4y＋3＝0 D．3x＋4y＝0 解析　因为直线AB的斜率为＝0，直线AC的斜率不存在，所以∠CAB为直角，即△ABC是直角三角形，则垂心为直角顶点A(0，0)，外心为斜边BC的中点M(4，3).因为点A，M所在直线的斜率为＝，所以“欧拉线”的方程为y＝x，即3x－4y＝0.故选B. 答案　B 15．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解析　(1)当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为0， 所以a＝2，此时直线l的方程为3x＋y＝0； 当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为，a－2， 所以＝a－2，解得a＝0或a＝2(舍去)， 所以直线l的方程为x＋y＋2＝0. 综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 因为l不经过第二象限，所以解得a≤－1. 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]. 学科网（北京）股份有限公司 $