2.2.2 直线的两点式方程-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 该同步练通过“基础巩固-综合提升-探索创新”三层设计，实现从直线方程概念理解到实际应用的递进，适配新授课分层教学需求，培养数学抽象、运算及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|直线方程（两点式、截距式）、斜率与截距计算|单一知识点直接应用，如选择、填空基础题型，强化数学抽象与运算能力| |关键能力·综合提升|直线方程与实际情境（行李票）、最值问题、反射问题|跨情境综合应用，含解析几何与函数结合解答题，发展推理能力与模型意识| |核心价值·探索创新|面积平分、最值探究|开放探究性问题，如三角形面积平分直线方程，培养创新意识与应用能力|

[必备知识·基础巩固] 1．已知直线l1的两点式方程为＝，则l的斜率为(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D． 解析　由两点式方程＝，知直线l过点(－5，0)，(3，－3)， 所以l的斜率为＝－. 答案　A 2．直线＋＝1过一、二、三象限，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 解析　直线＋＝1在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，若此直线过一、二、三象限，则a<0，b>0. 答案　C 3．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为(　　) A．－ B．－ C． D．2 解析　由两点式＝，得y＝2x＋3，令y＝0，得x＝－，即直线在x轴上的截距为－. 答案　A 4．(多选)下列说法正确的是(　　) A．不经过原点的直线都可以表示为＋＝1 B．若直线与两轴交点分别为A，B且AB的中点为(4，1)，则直线l的方程为＋＝1 C．过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2 D．直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1 解析　A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；B中，AB的中点为(4，1)，那么A(8，0)，B(0，2)的直线方程为＋＝1，故B正确；C中过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C正确；D中，方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D正确． 答案　BCD 5．经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x轴上的截距为________． 解析　由两点式得直线方程为＝， 即x＋5y－27＝0.令y＝0，得x＝27. 答案　27 6．经过两点M(4，3)，N(1，5)的直线交x轴于点P，则点P的坐标是________． 解析　由直线的两点式方程，得MN所在直线的方程为＝，即2x＋3y－17＝0. 令y＝0，得x＝，故P点坐标为. 答案　 7．已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________． 解析　由于A(2，－1)，B(6，1)， 故线段AB中点的坐标为(4，0)， 又直线在y轴上的截距是－3， ∴直线方程为＋＝1， 即3x－4y－12＝0. 答案　3x－4y－12＝0 8．已知在△ABC中，点A，B的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上． (1)求点C的坐标； (2)求直线MN的方程． 解析　(1)设点C的坐标为(m，n)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上， 由中点坐标公式得解得所以点C的坐标为(1，－3). (2)由(1)知，点M，N的坐标分别为M，N，由直线方程的截距式，得直线MN的方程为＋＝1，即y＝x－. [关键能力·综合提升] 9．某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为(　　) A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．80 kg 解析　由图知点A(60，6)，B(80，10)，由直线方程的两点式，得直线AB的方程是＝，即y＝x－6.依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30 kg行李． 答案　C 10．已知A(3，0)，B(0，4)，P(m，n)是直线AB上一动点，则mn的最大值是(　　) A．2 B．3 C．8 D．12 解析　易求得直线AB的方程为＋＝1， ∵P(m，n)在直线AB上，∴m＝3－n， ∴mn＝3n－n2＝[－(n－2)2＋4]≤3， 当n＝2时，mn取得最大值3.故选B. 答案　B 11．一条光线从点P(6，4)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在的直线方程为________________． 解析　由光学知识可得反射光线所在的直线过点Q(2，0)和P(6，4)关于x轴的对称点M(6，－4)，其直线方程为＝，即y＝－x＋2. 答案　y＝－x＋2 12．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为________________． 解析　由题意可知直线l过原点和平行四边形ABCD的中心，BD的中点为(3，2)，所以由两点式可得直线l的方程为＝，即y＝x. 答案　y＝x 13．已知直线l过点P(4，1). (1)若直线l过点Q(－1，6)，求直线l的方程； (2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程． 解析　(1)∵直线l过点P(4，1)，Q(－1，6)， ∴直线l的方程为＝， 即x＋y－5＝0. (2)由题意知，若直线过原点，则有＝，即x－4y＝0； 若直线不过原点，则直线l的斜率存在且不为0，故设直线l在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a，∴该直线的方程可设为＋＝1，即＋＝1，解得a＝，即2x＋y－9＝0，综上，直线l的方程为x－4y＝0或2x＋y－9＝0. [核心价值·探索创新] 14．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，8)，B(－4，0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为(　　) A．2x－y＋4＝0 B．x＋2y＋4＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x－2y＋4＝0 解析　由A(2，8)，C(6，0)，得AC的中点坐标为D(4，4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4，4)，则所求直线方程为＝，即x－2y＋4＝0. 答案　D 15．已知直线l过点P(－1，2). (1)若直线l在两坐标轴上的截距和为零，求l的方程； (2)设直线l的斜率k>0，直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，求△AOB面积的最小值． 解析　(1)当直线l过原点时，直线l在两坐标轴上的截距和为零， 此时直线l的方程为y＝－2x，即2x＋y＝0. 当直线l不过原点时，设其方程为－＝1， 则－＝1，得a＝－3， 此时直线l的方程为＋＝1，即x－y＋3＝0. 综上，直线l的方程为2x＋y＝0或x－y＋3＝0. (2)直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋2＋k＝0.令x＝0得y＝k＋2；令y＝0得x＝－－1， 所以△AOB的面积为S＝·|k＋2|＝＝＋2＋≥2＋2＝4(当且仅当k＝2时，等号成立)， 故△AOB面积的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $