2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 本同步练通过“基础巩固-综合提升-探索创新”三层设计，实现从单一知识点到综合应用再到创新探究的梯度进阶，强化斜率与直线位置关系的运算能力、推理意识及创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|三点共线、倾斜角与斜率、平行垂直判定|8题，单选/多选/填空/解答结合，聚焦斜率公式直接应用，如第1题三点共线求参数，夯实运算能力| |关键能力·综合提升|平行垂直综合应用、三角形垂心、四边形判定|5题，含多选与解答题，需多知识点联动，如第13题正方形证明，培养逻辑推理与几何直观| |核心价值·探索创新|直线旋转、角度关系探究|2题解答题，动态问题与实际情境结合，如第14题直线旋转后平行关系，发展创新意识与数学建模|

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·莆田期末)已知三点A(2，－1)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，则k的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析　由A(2，－1)，B(4，3)，C(5，k)三点共线，得kAB＝kBC，即＝，解得k＝5.故选B. 答案　B 2．直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°， ∴l2的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－. 答案　C 3．(多选)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与CD平行，则实数m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析　当m＝0时，A(0，3)，B(0，4)，C(1，2)，D(1，0)，直线AB⊥x轴，直线CD⊥x轴，此时直线AB与CD平行．当m≠0时，kAB＝，kCD＝，因为直线AB与CD平行，所以＝，所以m＝1.故选BC. 答案　BC 4．(多选)已知点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则下列结论正确的是(　　) A．PQ∥SR B．PQ⊥PS C．PS∥QR D．PR∥QS 解析　由斜率公式知kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，kQR＝＝.所以ABC均正确，D错误． 答案　ABC 5．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________． 解析　由题意得l1∥l2，所以kAB＝kMN， 因为kAB＝＝－，kMN＝＝3， 所以－＝3，所以a＝－6. 答案　－6 6．已知A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D的坐标为________时，AB⊥CD. 解析　设D的坐标为(x，0)，因为kAB＝4， 由AB⊥CD可知kAB·kCD＝－1， 即4×＝－1， 解得x＝－9. 答案　(－9，0) 7．已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝_______；若l1∥l2，则b＝________． 解析　若l1⊥l2，则k1·k2＝－1，即－＝－1， ∴b＝2；若l1∥l2，则k1＝k2， ∴Δ＝(－3)2－4×2(－b)＝0，∴b＝－. 答案　2　－ 8．已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2). (1)若l1∥l2，求m的值； (2)若l1⊥l2，求m的值． 解析　由题知直线l2的斜率存在且 k2＝＝－. (1)若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2， 得＝－，解得m＝1或m＝6， 经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2. (2)若l1⊥l2，当k2＝0时， 此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意； 当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0， 则直线l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1， 即－·＝－1， 解得m＝3或m＝－4， 所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2. [关键能力·综合提升] 9．已知A(1，2)，B(－1，0)，C(2，－1)，若点D满足CD⊥AB，且CB∥AD，则点D的坐标为(　　) A．(－2，－3) B．(2，－3) C．(2，3) D．(－2，3) 解析　设D点的坐标为(x，y)，由CD⊥AB，且CB∥AD，知kCD·kAB＝－1，kCB＝kAD，即解得即D点的坐标为(－2，3)，故选D. 答案　D 10．(多选)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析　当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD； 当m≠0时，kAB＝， kCD＝， 则kAB＝kCD，即＝，得m＝1， ∴m＝0或1. 答案　BC 11．已知△ABC的三个顶点分别是A(2，3)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________． 解析　由题意得AD⊥BC，则kAD·kBC＝－1， 所以·＝－1，解得m＝3. 答案　3 12．已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为________． 解析　设A(x，y)，由已知，得AH⊥BC，BH⊥AC，且直线AH，BH的斜率存在， 所以即 解得即A(－19，－62). 答案　(－19，－62) 13．已知四边形ABCD的顶点为A(－7，0)，B(2，－3)，C(5，6)，D(－4，9)，求证：四边形ABCD为正方形． 证明　∵kAD＝＝3，kBC＝＝3，∴AD∥BC. 又kAB＝＝－，kCD＝＝－， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 又kAB·kAD＝×3＝－1，∴AB⊥AD， ∴四边形ABCD为矩形． ∵kAC＝＝，kBD＝＝－2， ∴kBD·kAC＝－1，∴AC⊥BD， 即矩形ABCD的对角线互相垂直， ∴四边形ABCD为正方形． [核心价值·探索创新] 14．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________． 解析　如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝， 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝， ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－， ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 答案　4＋ 15．已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0). (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角． 解析　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1， 即×3＝－1.　① 由已知得kPN＝－2， 由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ， 即＝－2.　② 联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0，1). (2)设Q(x，0)， ∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝－kNP. 又kNQ＝，kNP＝－2， ∴＝2，即x＝1，∴Q(1，0). 又M(1，－1)，∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $