2.1.1 倾斜角与斜率-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到创新探究，层层递进巩固直线斜率与倾斜角知识，培养数学眼光、思维与语言表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|斜率计算、倾斜角概念及转化|选择填空为主，直接应用公式，如已知斜率求点坐标，夯实基础| |关键能力·综合提升|斜率与倾斜角综合、对称问题、参数范围|加入多选与解答题，需分类讨论，如反射光线对称求解，培养推理能力| |核心价值·探索创新|方向向量与倾斜角、几何图形斜率分析|结合三角函数与菱形性质，如方向向量用sinθ表示斜率，提升建模与创新意识|

[必备知识·基础巩固] 1．已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若直线AB的斜率kAB＝4，则点B的坐标为(　　) A．(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8) C．(2，0) D．(0，－8) 解析　设B点坐标为(x，0)或(0，y)， 则kAB＝或kAB＝， ∴＝4或＝4， ∴x＝2，y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8). 答案　B 2.下列直线中，倾斜角最大的是(　　) A．2x＋y－1＝0 B．x－y－3＝0 C．x＝－2 D．y＝3 解析　对于A，由2x＋y－1＝0，可知斜率k＝－2，则倾斜角αA为钝角； 对于B，由x－y－3＝0，可知斜率k＝1，则倾斜角αB为锐角； 对于C，由x＝－2，可知倾斜角αC＝； 对于D，由y＝3，可知倾斜角αD＝0.所以倾斜角最大的直线为2x＋y－1＝0. 故选A. 答案　A 3．已知直线PQ的斜率为－，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是(　　) A．0 B． C． D．－ 解析　由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为. 答案　C 4．(多选)直线l1的倾斜角为α，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角可能为(　　) A．90°－α　　　　　　 B．90°＋α C．|90°－α| D．180°－α 解析　(1)当α＝0°时，l2的倾斜角为90°，(如图①) (2)当0°＜α＜90°时，l2的倾斜角为90°＋α.(如图②) (3)当α＝90°时，l2的倾斜角为0°.(如图③) (4)当90°＜α＜180°时，l2的倾斜角为α－90°.(如图④) 答案　ABC 5．已知点A(－3，2)，B(0，－1)，则直线AB的倾斜角为________． 解析　因为直线过点A(－3，2)，B(0，－1)， 所以kAB＝＝－1.设直线AB的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－1，所以α＝135°. 答案　135° 6．一束光线射到x轴上并经x轴反射．已知入射光线的倾斜角α1＝30°，则反射光线的倾斜角α2＝________． 解析　作出入射光线和反射光线，如图．因为入射光线的倾斜角α1＝30°，所以入射角为60°.又反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°. 答案　150° 7．若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________． 解析　由两点坐标求得斜率为k＝＝.∵倾斜角是钝角，∴k＜0，∴＜0，∴－2＜a＜1，即实数a的取值范围是(－2，1). 答案　(－2，1) 8．已知点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值． 解析　由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1. 所以kAC＝，kBC＝， 所以＝3×， 整理，得－m－1＝(m－5)(m＋1)， 即(m＋1)(m－4)＝0， 解得m＝4或m＝－1(舍去)，所以m＝4. [关键能力·综合提升] 9．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A．[0，2] B．[0，1] C． D． 解析　如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2的位置时，k＝＝2，故直线l的斜率的取值范围是[0，2]. 答案　A 10.已知直线l过第一象限的点和，直线l的倾斜角为135°，则mn的最大值为(　　) A．9 B．4 C．3 D． 解析　因为直线l过点和，且倾斜角为135°， 所以tan 135°＝＝－1，得m＋n＝6， 因为点在第一象限，所以m>0，n>0， 所以6＝m＋n≥2，得mn≤9，当且仅当m＝n＝3时等号成立， 所以mn的最大值为9. 故选A. 答案　A 11．已知从点A(6，1)射出的光线经y轴上的点M反射后经过点B(3，－2)，则点M的坐标为________． 解析　设点M(0，y)， 根据反射的对称性，知点B(3，－2)关于y轴的对称点B′(－3，－2)与A，M在同一直线上， 所以kAB′＝kAM， 所以＝，解得y＝－1， 所以点M的坐标为(0，－1). 答案　(0，－1) 12．已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________，直线AC的一个方向向量为________． 解析　设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α， 因为tan α＝＝，0°≤α<180°， 所以α＝60°，则2α＝120°， 所以kAC＝＝tan 120°＝－，得m＝2－3. 因为kAC＝－，所以直线AC的一个方向向量为(1，－)(答案不唯一). 答案　2－3　(答案不唯一) 13．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l的方向向量的坐标为(3，1)? (3)直线的倾斜角为45°？ 解析　(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，所以m＝1. (2)直线l的方向向量的坐标为(3，1)，故k＝，即＝，解得m＝. (3)由题意可知，直线l的斜率k＝1， 即＝1，解得m＝0. [核心价值·探索创新] 14.若直线l的方向向量m＝，θ∈，则l倾斜角α的取值范围是(　　) A．　　　　 B．∪ C．∪ D． 解析　直线l的方向向量m＝， 所以斜率为tan α＝＝2sin θ，θ∈， 则tan α∈，α∈[0，π)， 则l倾斜角α的取值范围是∪. 故选C. 答案　C 15．如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 解析　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB＝kCD＝0， 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $