1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 高中数学同步练聚焦空间向量应用，分基础巩固、综合提升、探索创新三层，覆盖线线角、线面角、面面角等核心知识点，梯度合理，适配新授课巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|空间向量概念、线线角/线面角计算、坐标表示|8题，选择、填空、解答结合，第1题概念辨析，第2-8题从简单几何体到坐标运算，强化基础应用| |关键能力·综合提升|平面夹角、综合线面关系、体积计算|4题，含多选和解答题，第12题三问递进，融合证明、计算，培养推理与运算能力| |核心价值·探索创新|折叠问题中的面面夹角|1题，情境创新，需构建空间模型，发展空间观念与创新意识|

[必备知识·基础巩固] 1．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2的夹角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则(　　) A．α＝θ B．α＝π－θ C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ| 解析　α＝θ或α＝π－θ，且α∈， 所以cos α＝|cos θ|. 答案　D 2．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　如图所示，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0，1，0)，M，A(1，0，0)，N.故＝，＝， 所以＝＝＝. 答案　C 3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，AB＝BB1＝1，则直线A1C与平面AB1C1所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC＝90°， 所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、BB1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 因为BC＝2，AB＝BB1＝1，所以A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B1(0，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)， 故A1C＝(－1，2，－1)，＝(－1，2，1)，B1C1＝(0，2，0). 设n＝(x，y，z)为平面AB1C1的一个法向量， 则 令x＝1，得z＝1，∴n＝(1，0，1). 设直线A1C与平面AB1C1，所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝＝， 故选A. 答案　A 4．(多选)在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　) A．B1的坐标为(2，2，3) B．＝(－2，0，3) C．平面A1BC1的一个法向量为(－3，3，－2) D．二面角B­A1C1­B1的余弦值为 解析　因为AB＝AD＝2，AA1＝3， 所以A1(0，2，3)，B(2，2，0)，B1(2，2，3)，C1(2，0，3)，所以＝(0，－2，3)，＝(2，0，－3)，故A正确、B错误． 设平面A1BC1的法向量为m＝(x，y，z). 所以则令x＝－3， 则z＝－2，y＝－3，即平面A1BC1的一个法向量为m＝(－3，－3，－2)，故C错误． 由几何体知识易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝(0，0，1)， 由于cos 〈m，n〉＝＝＝－， 结合图形可知二面角B­A1C1­B1的余弦值为，故D正确．故选AD. 答案　AD 5．若平面α的一个法向量为n＝，直线l的一个方向向量为a＝，则l与α所成角的正弦值为________． 解析　由题，设l与α所成角为θ，可得sin θ＝＝＝. 答案　 6.在所有棱长均相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是A1B1的中点，＝AA1，＝，则异面直线BD，EF所成角的余弦值为______． 解析　如图，取AB的中点O，以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 设AB＝6，则B，D，E，F， 则＝，＝. 设异面直线BD，EF所成的角为θ， 则cos θ＝＝＝. 答案　 7．在正四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值为________． 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，连接BD，C1D，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，所以＝(0，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，1，2). 设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1).设CD与平面BDC1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝. 答案　 8．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，E1在A1B1上，F1在C1D1上，且B1E1＝D1F1＝A1B1. (1)求向量，的坐标； (2)求BE1与DF1所成角的余弦值． 解析　(1)由题意可得B(1，1，0)，E1， D(0，0，0)，F1， 故＝，＝. (2)由(1)可知＝，＝， 所以||＝＝， ||＝＝. ·＝0×0＋×＋1×1＝. 所以cos 〈，〉＝＝＝.故BE1与DF1所成角的余弦值为. [关键能力·综合提升] 9．(2025·湛江期末)在棱长为2的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，若＝，则平面A1BP与平面A1B1P夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　在棱长为2的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(2，0，0)，B1(2，2，0)，B(2，2，2)，C(0，2，2)，由＝，得P， 则＝(0，2，0)，＝(0，2，2)，＝， 设平面A1BP的法向量n＝(x，y，z)，则 令y＝1，得n＝(2，1，－1). 设平面A1B1P的法向量m＝(a，b，c)，则 令a＝1，得m＝(1，0，1)， 所以平面A1BP与平面A1B1P夹角的余弦值为 |cos 〈m，n〉|＝＝＝.故选D. 答案　D 10．(多选)在正三棱柱A1B1C1­ABC中，AA1＝AB，则(　　) A．直线AA1与CB1所成的角为30° B．直线AC1与CB1所成的角为60° C．AC1与平面ABC所成角的正弦值为 D．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 解析　取A1C1的中点E，AC的中点F，连接EF，EB1，则EB1，EC1，EF两两垂直，以E为原点，EB1，EC1，EF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝2，则AA1＝2. ∴A1(0，－1，0)，C1(0，1，0)，A，C(0，1，2)，B1， ∴＝，＝(，－1，－2)， 则＝＝＝，∴直线AA1与CB1所成的角为30°，故A正确． ＝， ∴＝＝＝，故B错误． 平面ABC的一个法向量为m＝， ∴AC1与平面ABC所成角的正弦值为|cos 〈m，〉|＝＝＝，故C正确． 取A1B1的中点K，连接C1K， ∴K的坐标为， 易知侧面AA1B1B的一个法向量为＝， ∴AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 |cos 〈1，〉|＝＝＝，故D正确． 答案　ACD 11．在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝________． 解析　平面Oxy的一个法向量为n＝(0，0，1).设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，又＝(－3，4，0)，＝(－3，0，a)，则 即即3x＝4y＝az，取z＝1， 则u＝. 所以cos 〈n，u〉＝＝， 又a>0，所以a＝. 答案　 12.(2025·天津卷)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为A1D1，C1B1中点，点G在棱CC1上，且CG＝3C1G. (1)求证：GF⊥平面EBF； (2)求平面EBF与平面EBG夹角的余弦值； (3)求三棱锥D-BEF的体积． 解析　(1)证明　以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则G(0，4，3)，F(2，4，4)，E(2，0，4)，B(4，4，0)，＝(2，0，1)，＝(0，4，0)，＝(－2，0，4)， ∴·＝0，·＝0，即GF⊥EF，GF⊥BF. 又EF∩BF＝F，EF⊂平面EBF，BF⊂平面EBF， ∴GF⊥平面EBF. (2)设平面EBF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 故y1＝0，取x1＝2，则z1＝1， 故n1＝(2，0，1). 设平面EBG的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 又＝(－2，4，－1)，＝(－4，0，3)， 故 可取x2＝6，则y2＝5，z2＝8， 故n2＝(6，5，8). 令平面EBF与平面EBG夹角为θ， ∵cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝， ∴平面EBF与平面EBG夹角的余弦值为. (3)设点D到平面EBF的距离为d， 易知＝(2，0，4)， 由(2)知平面EBF的一个法向量为n1＝(2，0，1)， 故d＝＝， 在△EBF中，易知BE＝6，BF＝2，EF＝4， 故EF2＋BF2＝BE2，∴EF⊥BF， ∴△EBF的面积为×4×2＝4， 故三棱锥D­BEF的体积为d×4＝. [核心价值·探索创新] 13．已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面ACD，则平面BCD与平面ACD夹角的余弦值为________． 解析　如图，取AC的中点E，以E为原点，EA，ED，EB所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设菱形ABCD的边长为2，则A(1，0，0)，C(－1，0，0)，D(0，，0)，B， 所以＝，＝. 设平面BCD的法向量为n＝(x，y，z)， 所以 令z＝，则y＝，x＝－3，即n＝(－3，，).平面ACD的法向量为m＝(0，0，1). 设平面BCD与平面ACD夹角为θ，则cos θ＝＝＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $