1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到综合提升再到探索创新，覆盖空间向量应用全知识点，梯度合理，适配新授课教学，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|法向量垂直、点在平面内、线线垂直判断等单一知识点|选择、填空、证明题结合，注重概念理解与运算能力| |关键能力·综合提升|折叠问题、面面平行证明等知识综合应用|多选与证明题，强调逻辑推理与空间想象| |核心价值·探索创新|存在性点坐标、法向量应用等探究性问题|开放题型，培养创新意识与数学建模能力|

[必备知识·基础巩固] 1．两平面α，β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是(　　) A．－3 B．6 C．－6 D．－12 解析　α⊥β⇒u·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6. 答案　B 2．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1，1) B． C． D． 解析　对于B，＝， 则n·＝(3，1，2)·＝0， ∴n⊥，则点P在平面α内． 答案　B 3．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　) A．AC B．BD C．A1D D．A1A 解析　建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1. 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)， A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，E， 所以＝，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，0，－1)，＝(0，0，－1). 因为·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，所以CE⊥BD. 答案　B 4．(多选)如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　　) A．和AC垂直 B．和AA1垂直 C．和MN垂直 D．与AC，MN都不垂直 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a，则M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a). ∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0). ∴·＝0，·＝0， ∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1显然不垂直． 答案　AC 5．向量a＝(－1，2，－4)，b＝(2，－2，3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量为m＝(2，3，1)，则l与α是否垂直？________(填“是”或“否”). 解析　m·a＝(2，3，1)·(－1，2，－4)＝－2＋6－4＝0，m·b＝(2，3，1)·(2，－2，3)＝4－6＋3＝1≠0.所以l与α不垂直． 答案　否 6．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).若|a|＝，a分别与，垂直，则向量a＝________． 解析　由题意＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2). 设向量a＝(x，y，z)，则有 解得x＝1，y＝1，z＝1或x＝－1，y＝－1，z＝－1，则向量a＝(1，1，1)或(－1，－1，－1). 答案　(1，1，1)或(－1，－1，－1) 7．已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对． 解析　因为a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直． 答案　0 8．正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E为AC的中点． 求证：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1. 证明　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1). (1)＝(－1，－1，1)，＝(－1，1，0)， ∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，∴⊥，∴BD1⊥AC. (2)＝(－1，－1，1)，＝， ∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0， ∴⊥，∴BD1⊥EB1. [关键能力·综合提升] 9．如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)， E，F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， 所以＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)， 所以＝，＝(－1，－1，1)， 则＝－，·＝·＝0， 从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC. 答案　B 10．(多选)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是(　　) A．·＝0 B．AB⊥DC C．BD⊥AC D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量垂直 解析　以D为原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A(0，0，1)， 所以＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)，＝(－1，0，0)， 从而有·＝0＋0＋1＝1，故A错误；·＝0，故B正确；·＝0，故C正确；易知平面ADC的一个法向量为＝(－1，0，0)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则·n＝x－z＝0，·n＝y－z＝0，取y＝1，则x＝1，z＝1，故n＝(1，1，1)，由于·n＝－1，故D错误． 答案　BC 11．在三棱锥S­ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则直线SC与BC是否垂直？________(填“是”或“否”). 解析　如图，以A为原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则由AC＝2，BC＝，SB＝， 得B，S，C(0，2，0)， 所以＝，＝. 因为·＝0， 所以SC⊥BC. 答案　是 12．已知棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点．求证：平面A1EF∥平面B1MC. 证明　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，C(0，1，0)， 则 ＝(－1，1，0)， ＝(－1，0，－1)，＝(1，0，1)，＝(0，－1，－1)， 设＝λ，＝μ，＝v(λ，μ，v∈R，且均不为0). 设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量， 可得可得即 所以可取n1＝(1，1，－1).由 可得即 可取n2＝(1，1，－1)，所以n1＝n2，所以n1∥n2， 所以平面A1EF∥平面B1MC. [核心价值·探索创新] 13．已知空间三点A(－1，1，1)，B(0，0，1)，C(1，2，－3).若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________；若空间中点N满足BN⊥平面ABC，则符合条件的一个点N的坐标是________． 解析　设M(x，y，z). ∵＝(1，－1，0)，＝(2，1，－4)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)， ∴由题意，得 ∴x＝－，y＝，z＝1. ∴点M的坐标为. 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝x－y＝0，n·＝2x＋y－4z＝0. 令x＝1，则y＝1，z＝.∴n＝. 设点N的坐标为(a，b，c)，则＝(a，b，c－1). 由题知，∥n，即＝＝. ∴点N的坐标满足(4k，4k，3k＋1)，其中k≠0. 答案　　(4，4，4)(只需写出满足(4k，4k，3k＋1)(k≠0)形式的一个坐标即可) 学科网（北京）股份有限公司 $