1.4.1 第1课时 用空间向量研究直线、平面的位置关系-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 本同步练通过“基础巩固-综合提升-探索创新”三层设计，以空间向量方向向量与法向量为核心，实现从概念理解到综合应用再到创新探究的知识进阶，培养抽象能力、推理能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|空间向量平行判定、法向量基本计算|8道选择填空题，聚焦单一知识点，如向量平行求参数（题1）、法向量与平面向量垂直（题2），夯实概念理解| |关键能力·综合提升|法向量综合应用、线面垂直判定|4道题含多选与计算，如结合向量线性运算求法向量参数（题9）、在直三棱柱中求棱长（题11），提升推理能力| |核心价值·探索创新|复杂几何体中法向量求解|1道四棱柱情境题（题13），需构建空间坐标系分析，体现空间观念与创新意识|

[必备知识·基础巩固] 1．已知向量a＝(2，－1，3)和b＝(－4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A．－1 B．1或－1 C．－3 D．1 解析　由题意得a∥b， 所以解得x＝－1. 答案　A 2．已知向量＝(2，4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y，3)，若AB⊂α，则(　　) A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6 C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0 解析　由题意可知·n＝0， 可得3x＋4y＋2＝0. 答案　C 3.已知向量＝，＝，则平面ABC的一个法向量可以是(　　) A．(5，－2，－1)　　　　　　　 B．(－6，2，2) C．(3，1，－2) D．(4，－3，1) 解析　设平面ABC的法向量为n＝，由可得 令z＝－1得解得x＝5，y＝－2. 由此可得平面ABC的一个法向量为n＝. 又B，C，D三个选项的向量均不与n＝共线． 故选A. 答案　A 4．(多选)若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是(　　) A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥ 解析　由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A，B正确；又菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确． 答案　ABC 5．已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则直线OA的一个方向向量为________，点P的坐标满足的条件为________． 解析　由题意知，OA⊥α，直线OA的一个方向向量为＝(1，1，1).因为P∈α，所以⊥，所以(1，1，1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，所以x＋y＋z＝3. 答案　(1，1，1)(答案不唯一)　x＋y＋z＝3 6．棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为________． 解析　由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以＝(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1). 答案　(1，1，1)(答案不唯一) 7．已知平面ABC，且A(1，2，－1)，B(2，0，－1)，C(3，－2，1)，则平面ABC的一个法向量为________． 解析　＝(1，－2，0)，＝(2，－4，2)， 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝1，得x＝2，z＝0， 故平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，0). 答案　(2，1，0)(答案不唯一) 8．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量． 解析　设正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2). (1)连接AC(图略)，易知AC⊥平面BDD1B1， ∴＝(－2，2，0)为平面BDD1B1的一个法向量． (2)易知＝(2，2，0)，＝(1，0，2). 设平面BDEF的法向量为n＝(x，y，z)， ∴∴ 令x＝2，得y＝－2，z＝－1， 即n＝(2，－2，－1)为平面BDEF的一个法向量． [关键能力·综合提升] 9．(多选)已知平面α内两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)，若c为平面α的一个法向量，则(　　) A．m＝－1 B．m＝1 C．n＝2 D．n＝－2 解析　c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的一个法向量，得 得解得 答案　AC 10．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的是(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 解析　∵·＝0，·＝0， ∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确； 又与不平行， ∴是平面ABCD的一个法向量，则C正确； 由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)， ∴与不平行，故D错误． 答案　ABC 11．在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠ACB＝90°，平面A1B1C的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，则棱AA1的长为________． 解析　以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 设AA1＝h，由题意可知C(0，0，0)，A1(1，0，h)， 所以＝(1，0，h)，因为n＝(－2，－2，1)， 所以根据法向量的定义可得，n·＝(－2，－2，1)·(1，0，h)＝－2＋h＝0，解得h＝2，所以AA1＝2. 答案　2 12．如图，在三棱台ABC ­A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线AE，AD的一个方向向量． 解析　＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝a＋b＋c. 所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c. ＝＋＝＋ ＝＋ ＝＋＝b＋c， 所以直线AE的一个方向向量为b＋c. [核心价值·探索创新] 13．如图，四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，则平面OCB1的一个法向量n＝________． 解析　∵ABCD是正方形，且AB＝，∴AO＝OC＝1，∴＝(0，1，0).∵A(0，－1，0)，B(1，0，0)，∴＝(1，1，0)，∴＝(1，1，0).∵OA＝1，AA1＝，∴OA1＝＝1，∴＝(0，0，1). ∴＝＋＝(1，1，1).设向量n＝(x，y，z)，∵向量n是平面OCB1的法向量， ∴∴ ∴y＝0，x＝－z，取x＝1，∴z＝－1， ∴平面OCB1的一个法向量n＝(1，0，－1)， 故答案为(1，0，－1)(答案不唯一). 答案　(1，0，－1)(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $