1.3.1 空间直角坐标系-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 分层清晰，从基础概念辨析到综合应用再到创新探究，适配新授课知识巩固与能力提升，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|点到平面距离、坐标对称等单一知识点|选择、填空题为主，直接应用概念，如点在坐标轴射影坐标| |关键能力·综合提升|正方体向量运算、坐标变换等综合应用|多选、解答题结合几何体，如直三棱柱中向量坐标求解| |核心价值·探索创新|基底变换、正四面体坐标等拓展探究|新基底坐标转换、空间几何证明，培养创新意识|

[必备知识·基础巩固] 1．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到Oyz平面的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D． 解析　点P(x，y，z)到Oyz平面的距离为|x|＝1. 答案　A 2．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，则点A的坐标为(　　) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，10，12) D．(4，2，3) 解析　＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10). 答案　A 3．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2，4)关于y轴对称的点为(　　) A．(－1，－2，－4) B．(－1，－2，4) C．(1，2，－4) D．(1，2，4) 解析　关于y 轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4). 答案　A 4．(多选)如图，在长方体OABC­O′A′B′C′中，OA＝1，OC＝3，OO′＝2，点E在线段AO的延长线上，且OE＝，下列向量坐标表示正确的是(　　) A．＝(3，0，0) B．＝(1，0，2) C．＝ D．＝ 解析　因为OC＝3，所以＝(0，3，0)，故A不正确；因为＝＋＝＋，OA＝1，OO′＝2，所以＝(1，0，2)，故B正确；因为＝＋＋＝＋＋，OA＝1，OC＝3，OO′＝2，所以＝，故C正确；因为＝＋＝＋，OA＝1，OC＝3，所以＝，故D不正确．故选BC. 答案　BC 5．点P(2，3，4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是________，________，________． 解析　P(2，3，4)在x轴上的射影为(2，0，0)，在y轴上的射影为(0，3，0)，在z轴上的射影为(0，0，4). 答案　(2，0，0)　(0，3，0)　(0，0，4) 6．如图所示，以长方体ABCD ­A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则的坐标为________． 解析　因为的坐标为(4，3，2)，所以A(4，0，0)，C1(0，3，2)，所以＝(－4，3，2). 答案　(－4，3，2) 7．点P(1，1，1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为__________，点P关于z轴的对称点P2的坐标为__________． 解析　点P(1，1，1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1，1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，1). 答案　(1，1，－1)　(－1，－1，1) 8．如图所示，在三棱锥O ­ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以，，方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系Oxyz，求EF中点P的坐标． 解析　令Ox，Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i，j，k，因为＝＋＝(＋)＋＝(＋)＋(－)＝＋＋＝i＋×2j＋×3k＝i＋j＋k，所以点P的坐标为. [关键能力·综合提升] 9．(多选)下列命题正确的是 (　　) A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B．在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c) D．在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a，0，c) 解析　空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误，B，C，D正确． 答案　BCD 10．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　) A． B． C． D． 解析　∵＝＋＝＋＝－＋，∴＝. 答案　C 11．在直三棱柱ABO ­A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，点D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，，的坐标分别为_________，_______． 解析　(1)因为＝－ ＝－(＋) ＝－ ＝－－－.又||＝4， ||＝4，||＝2，所以＝(－2，－1，－4). (2)因为＝－＝－(＋)＝－－，又||＝2，||＝4， ||＝4，所以＝(－4，2，－4). 答案　(－2，－1，－4)　(－4，2，－4) 12．正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________． 解析　如图，连接A1C1，C1D，A1D，则E在A1C1上，F在C1D上， 易知EF綊A1D， ∴＝， 即－＝0， ∴λ＝－. 答案　－ 13．已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，建立空间直角坐标系，如图所示． (1)写出正方体ABCD ­A1B1C1D1各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标． 解析　(1)由题知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2). (2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，所以E(2，2，1)，F(0，1，0)，易得＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0，2，－1). (3)易知向量在向量上的投影向量为，在单位正交基底{i，j，k}下，＝＋＝－＋＝－2i＋2j，故＝(－2，2，0). [核心价值·探索创新] 14．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________，在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________． 解析　由题意知p＝2a＋b－c， 则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1). 设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又p＝2a＋b－c， ∴解得x＝，y＝，z＝－1， ∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为. 答案　(1，1，1)　 15．如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为________，的坐标为________． 解析　由题意可知，BG＝BE＝×＝， 所以AG＝＝， 所以G(0，0，0)，B，A， 所以＝， ＝. 答案　　 学科网（北京）股份有限公司 $