第3章 圆锥曲线的方程 章末整合提升3-（配套教参）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦圆锥曲线核心知识点，以定义为“源”构建学习支架，涵盖定义应用（轨迹方程、焦点三角形、最值）、性质（离心率、渐近线等）、直线与曲线位置关系及最值范围问题，形成递进式知识脉络。 资料亮点在于“回归定义”解题策略，通过轨迹方程用椭圆定义、焦点三角形用双曲线定义等实例，培养学生数学眼光与思维，例题解析规范且结合逻辑推理与数学语言表达，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化解题方法。

[对应学生用书P122] 一、圆锥曲线定义的应用　题点多探　多维探究 圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略． 研究有关“点点”间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题． 角度1　根据定义求轨迹方程 　如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点A(－2，0)，B(2，0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程． (1)△PAB的周长为10； (2)圆P过点B(2，0)且与圆A外切(P为动圆圆心)； (3)圆P与圆A外切且与直线x＝1相切(P为动圆圆心). [解析]　(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6＞4＝|AB|， 故点P的轨迹是椭圆，且2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，所以b＝，因此其方程为＋＝1(y≠0). (2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r， 因此|PA|－|PB|＝1，由双曲线的定义知，点P的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1，2c＝4，即a＝，c＝2， 所以b＝，因此其方程为4x2－y2＝1. (3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4，因此其方程为y2＝－8x. 角度2　根据定义解决焦点三角形问题 　双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，求△PF1F2的面积． [解析]　双曲线方程16x2－9y2＝144化为－＝1，即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25， 解得a＝3，c＝5，所以F1(－5，0)，F2(5，0). 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6， 又m·n＝64，在△PF1F2中，由余弦定理知 cos ∠F1PF2＝ ＝＝ ＝＝. 所以∠F1PF2＝60°， 所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝m·n·sin 60°＝16， 所以△PF1F2的面积为16. 角度3　根据定义求最值 　(1)已知P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为________． (2)已知椭圆＋＝1内有一点P(1，1)，F为椭圆的右焦点，椭圆上有一点M，则|MP|－|MF|的最大值为________． [解析]　(1)抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，延长PQ交准线于点M，如图所示．根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1，所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝10－1＝9，当且仅当点A，P，F共线时，等号成立．所以|PA|＋|PQ|的最小值为9. (2)由题意，知a2＝25，b2＝16，所以c2＝9，即F(3，0). 当M，F，P三点不共线时， |MP|－|MF|<|PF|. 如图，当M，F，P三点共线时，|MP|－|MF|＝|PF|， 即|MP|－|MF|≤|PF|，所以|MP|－|MF|的最大值是|PF|＝＝. [答案]　(1)9　(2) 二、圆锥曲线的性质及应用 圆锥曲线的主要性质包括范围、对称性、焦点、顶点、离心率，另外椭圆还包括长、短轴，双曲线还包括实、虚轴及渐近线，抛物线还包括准线．有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，需要掌握基本公式和概念，充分理解题意，从而顺利求解． 　(1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率为________． (2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________． [解析]　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0). 依题意设A点坐标为， 则B点坐标为，∴|AB|＝. 由△ABF2是正三角形得2c＝×， 即b2＝2ac， 又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2－2ac＝0，两边同除以a2得＋2－＝0， 解得e＝＝. (2)设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2.又∠AOB＝，∴＝tan ＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. [答案]　(1)　(2)2 三、直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行． 2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值问题等． 3．这类问题综合性强，分析时，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等． 直线与椭圆的综合问题 [规范答题] 　(13分)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值． [思维导引] 明知求 求直线的斜率 探思路 设线、联立列式 [规范解答]　(1)设F(－c，0)(c＞0)， 由＝，知a＝c. 过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c， 代入椭圆方程，有＋＝1， 解得y＝±， 于是＝， 解得b＝.(3分) 又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1， 所以椭圆的方程为＋＝1.(4分) (2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)， 由方程组消去y，整理得 (2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.(7分) 由根与系数的关系可得 x1＋x2＝－， x1x2＝.(8分) 因为A(－，0)，B(，0)， 所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋. (11分) 由已知得6＋＝8， 解得k＝±.(13分) 四、圆锥曲线中的最值和范围问题 圆锥曲线的最值和范围问题是圆锥曲线中比较综合的问题，难度相对较大，常用的解题思路有： 1．几何法：若题目条件与结论有明显的几何特征、几何意义，常结合图形的性质寻求解题思路．这种方法常常较为简捷． 2．代数法：题设条件和结论中存在函数关系，可以建立起目标函数，转化为函数求最值的问题．解题时要注意自变量的取值范围对最值的影响． 　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值． [解析]　(1)设椭圆的半焦距为c， 依题意有所以c＝，b＝＝1， 所以所求椭圆方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2). ①当AB⊥x轴时，|AB|＝. ②当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为y＝kx＋m(k≠0). 由已知＝，得m2＝(k2＋1). 把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得 (3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2 ＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝(1＋k2) ＝ ＝ ＝3＋＝3＋ ≤3＋＝4. 所以|AB|≤2，故△ABO的面积最大值为 |AB|h＝×2×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $