江苏南通市2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试卷

2026年高一期末考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则 A．-1 B．0 C．1 D．2 2．已知向量，满足，，则与的夹角为 A． B． C． D． 3．函数的图象可由函数的图象（ ）个单位得到 A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 4．已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的侧面积是 A． B． C． D． 5．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 A． B． C． D． 6．一艘船从处出发，以的速度向正北方向航行．从处看灯塔位于船北偏东的方向上，后船航行至处，从处看灯塔位于船北偏东的方向上，则灯塔与之间的距离是 A． B． C． D． 7．已知点到平面的距离是，，，且，则的最小值是 A． B． C． D． 8．在中，已知，，为边上一点，平分，且，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，则 A． B． C． D． 10．在正方体中，下列说法正确的是 A．与是异面直线 B． C．平面平面 D．与平面所成角是 11．定义变换为：将向量绕点逆时针旋转得到向量，其中，．已知点，，若对作变换，则下列说法正确的是 A．作变换，得到 B．作变换，得到点 C．作，变换，分别得到，，若，则的最小值为2 D．作变换得，若，则锐角的不同取值有1012种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则_________． 13．在矩形中，，，点为中点，点在边上，若，则_________． 14．将一个弧长为，圆心角为的扇形卷成一个圆锥，则该圆锥的高为_________．若将该圆锥放入一个球内，则球的最小体积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知向量，． （1）若，求； （2）若，求． 16．（15分） 如图，在三棱锥中，.是二面角的平面角． （1）证明：； （2）已知，，，若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 17．（15分） 已知函数． （1）证明：； （2）求图象的对称中心； （3）若为锐角，且，求． 18．（17分） 如图，在直三棱柱中，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）已知，． （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点在上，且平面，求的值． 19．（17分） 若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求证：是倍角三角形； （2）已知为锐角三角形，． （ⅰ）若的面积为1，求； （ⅱ）若点满足，求线段长度的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一期末考试数学参考答案与评分建议 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 B A D B A B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 题号 9 10 11 答案 ABD AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 243V2 12.5 13.-11 14.22,64 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.(13分) 解：(1)因为 2分 a+b= 53W3 22 所以 4分 所 6分 (2)若a⊥b,所以d:b=2cos0+V3sin0=0, 8分 ano=sine2v3 因为C0s8≠0，所以 cos0 3 10分 元 tan+tan 23,V5 6 33 1-tanOtan 6 1 235 3 所以 3 13分 16.(15分) 证明：(1)因为∠ACB是二面角A-CD-B的平面角， 所以CD⊥AC,CD⊥BC.2分 因为AC∩BC=C,AC,BCc平面ABC, 所以CD⊥平面ABC.4分 因为ABC平面ABC, 所以AB⊥CD. 6分 A ->D N (2)因为AB⊥BD,AB⊥CD, CD∩BD=D,CD,BDC平面BCD, 所以AB⊥平面BCD. 因为BCC平面BCD, 所以AB⊥BC.8分 取CD的中点N,连接MN,BN. 在△ACD中，因为M,N分别是AC,CD中点， 所以MNI∥AD, 所以∠BMN是异面直线AD与BM所成角或其补角. 10分 AC=4B+BC2=2+1=5,AD=VAC2+CD=5+4=3 BM-)4c=5 所 2,BN=BC2+CN2=2 MN-14D=3 2. 13分 coS∠BMN= 2×53 5 所以 22 5 所以异面直线AD与BM所成角的余弦值是5·15分 17.(15分) 解：(1)因为 (x)-sinxcosx+cos 2, sn(o()+ico(sJoo() 所以 所以f(x+=f().4分 2f-sn2r+5( 8分 x=-πm 2x+你k2,解得62，ke乙 令3 Aufm时a心e后+会0e2刀 10分 (3)因为 f5,秋m =t a=t+ π 设12，则 12， a-引-m}m 因为 0s21=2c0s1-1=3 cos=4 ,所以 -0<a-π<5π 因为0为锐角，所以12 1212, cos a- 所以 12 5 15分 18.(17分) 解：(1)在直三棱柱ABC-AB,C中，CC1平面ABC. 因为BCC平面ABC,所以CC⊥BC」 因为AC⊥BC,CC∩AC=C,AC,CCC平面ACC,4, 所以BC⊥平面ACCA. 因为BCC平面BCD, 所以平面BCD⊥平面ACCA, 4分 (2)(i)在直三棱柱ABC-AB,C中，BCIB,C, 又因为BCC平面BCD,B,C￠平面BCD, 所以B,C∥平面BCD 所以点B到平面BCD的距离等于点C到平面BCD的距离， 6分 取CD的中点M,连接CM。 因为4C=2CC=4W5,所以CD=25,所以CM1CD 由(1)得，BC⊥平面ACC4, 因为CMc平面ACC4,所以BC⊥CM 因为BC∩CD=C,BC,CDc平面BCD, 所以CM上平面BCD. 所以点B到平面BCD的距离是CM的长度. 8分 在直三棱柱ABC-AB,C中，CC1平面ABG. 因为CDc平面4BG,所以CC1CD, 在△CC0,CD=CC=26,所Sw=cD=6 所以点B到平面BCD的距离是V6.10分 (i)取AB的中点P,连接PD,PB, 因为P,D分别是AB,AG的中点，所以PDliBC, 又因为BCIB,C,所以PD/BC, 所以P,D,B，,C四点共面。 12分 因为AE∥平面BCD,AEC平面ABBA,平面ABBA∩平面BCD=BP, 所以AEIIBP 14分 因为BEAP,所以四边形APBE是平行四边形， 所以AP=BE BE=4P-2A8=2 1 因为P是AB的中点，所 AE 1 所以AB2 17分 A 0 P Bi M E B 19.(17分) a =b=c 解：(1)在△ABC中，因为b+c=2 acosB,由正弦定理sinA sin B sinC, sinB+sinC 2sinAcosB 2分 因为A+B+C=π， sinC=sin(-4-B)=sin(+B)=sin AcosB+cos4sinB 所以sinB+sinAcosB+cosAsinB=2 sinAcosB, 所t以sinB=sin4cosB-cos4sinB=sin(A-B) 因为0<B<π，-π<A-B<π， 所以B=A-B或B+A-B=π， 所以A=2B或A=元（舍去）， 所以△ABC是倍角三角形.5分 (2)(i)因为△ABC为锐角三角形， 0<B<延0<2B<，0<π-3B<5 所以2. 2 I<B<T 所以64. 记AB边上的高为CH, SAC=)CH×AB=1 则 ,所以CH=1.7分 设BH=x,则AH=2-x,则0<x<2, tan B=I tand=1 所以， x:2-x, 2 tan2B=-x 2x1 1x2-12-x 1- 所以 ,所以3x2-4x-1=0, 9分 2+√7 x= 解得3， tanA=_ 1 34+√7 2-2+74-万=3 所以 3 .11分 (i)因为b+c=2 acosB,所以 +c=2a0+c2-b2 2ac, .b2+c2-(b2+bc）c-b cosA=- 所以a2=b2+bc,所以 2bc 2b CD-AD-AC-2AB-AC 因为 3 D-16+公-8b2b-6+4b-8 所以 9 32b 309 14分 因为△ABC为锐角三角形， a2+c2>b2, b2+bc+4>b2, a2+b2>c2, b2+bc+b2>4, 所以 2+d2>a,所以 2+4>b2+bc, 解得l<b<2 13<h2+4b-852 因为9 399, V132√13 所以CD的取值范围是 3,3 17分