2.2.2 直线的两点式方程-（配套教参）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦直线的两点式与截距式方程核心知识点，通过点斜式方程推导两点式，再结合坐标轴截距点引出截距式，构建从一般到特殊的认知支架，系统梳理方程形式、特点、适用范围及应用方法。 该资料以观察思考引导学生自主推导方程，培养数学抽象素养，通过判断题辨析适用范围、例题变式训练灵活应用，强化逻辑推理能力。课中助力教师引导学生构建知识体系，课后学生可借助练习与知识落实模块查漏补缺，提升应用意识。

2．2.2　直线的两点式方程 学业标准 素养目标 1．掌握直线方程两点式和截距式的形式、特点及适用范围．(重点) 2．能选择适当的形式求直线方程．(难点、易错点) 通过学习直线的两点式及截距式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养． [对应学生用书P53] 导学1　直线的两点式方程 观察如图所示的直线l，思考下列问题： 直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)两点，那么直线l的点斜式方程是什么？ [提示] 由x1≠x2，所求直线的斜率为k＝，则直线的点斜式方程为y－y1＝(x－x1). 方程y－y1＝(x－x1)(x1≠x2)能否写成＝？ [提示] 当y1≠y2时，可以写成上式；当y1＝y2时，不能写成该形式． 过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ [提示] 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母，过点(2，3)，(5，3)的直线也不能用两点式表示． ◎结论形成 直线的两点式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 __＝__ ____ 斜率存在且不为0 导学2　直线的截距式方程 若直线l经过点A(a，0)与点B(0，b)，a≠0且b≠0，则直线l的两点式方程是什么？ [提示] 直线l的两点式方程为＝， 即＋＝1. 过点(5，0)和(0，7)的直线能用＋＝1表示吗？ [提示] 能． ◎结论形成 直线的截距式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 __＋＝1__ 斜率存在且不为0，直线不过原点 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程＝表示．(　　) (2)在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1.(　　) (3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.(　　) (4)直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(　　) 解析　(1)×.当x1＝x2或y1＝y2时，直线不能用方程＝表示． (2)×.当a＝0或b＝0时，在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线不能用方程＋＝1表示． (3)√.直线的截距式就是直线过(a，0)，(0，b)两点的直线的两点式方程的简化形式． (4)√.直线y＝x与坐标轴的交点为(0，0)，故在x轴和y轴上的截距均为0. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．经过点A(－3，2)，B(4，4)的直线的两点式方程为(　　) A．＝　　　　　 B．＝ C．＝ D．＝ 解析　由方程的两点式可得直线方程为＝，即＝. 答案　A 3．经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析　因为由点坐标知直线在x轴、y轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为＋＝1. 答案　C 4．直线－＝1在y轴上的截距为________． 解析　－＝1可化为＋＝1，所以此直线在y轴上的截距为－3. 答案　－3 [对应学生用书P54] 题型一　直线的两点式方程 (1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________． (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________． [解析]　(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程， 所求的直线方程为x＝2. (2)由直线方程的两点式得＝， 即＝. ∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2， ∵点P(3，m)在直线AB上， 则m＋1＝－3＋2，得m＝－2. [答案]　(1)x＝2　(2)－2 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式． (2)若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． [触类旁通] 1．(1)经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线的方程为(　　) A．x＝2 B．y＝2 C．x＝3 D．x＝6 解析　由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线MN的方程为y＝2，故选B. 答案　B (2)过点(1，3)且在x轴上的截距为2的直线方程是________． 解析　由题意知直线过点(2，0)，又直线过点(1，3)， 由两点式可得＝，整理得3x＋y－6＝0. 答案　3x＋y－6＝0 题型二　直线的截距式方程 求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． [解析]　①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0. ②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a，又l过点A(5，2)， 所以5－2＝a，a＝3，所以直线l的方程为x－y－3＝0， 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0. 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． [触类旁通] 2．(多选)过点(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　　) A．y＝x B．x＋y＝5 C．y＝－x D．x＋y＋5＝0 解析　设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b. 当a＝b≠0时，直线方程为＋＝1， ∴＋＝1，∴a＝5，∴x＋y＝5； 当a＝b＝0时，k＝，∴y＝x， 综上所述，所求直线方程为y＝x或x＋y＝5. 答案　AB 题型三　直线方程形式的灵活应用　一题多变 (教材例4·提升)在△ABC中，已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2). (1)求BC边的方程； (2)求BC边中线所在直线的方程． [解析]　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝， 即2x＋5y＋10＝0， 故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5). (2)设BC的中点M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M， 又BC边的中线过点A(－3，2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. [母题变式] 1．(变结论)本例3中条件不变，试求AB边上的高线所在直线方程． 解析　设AB边上的高线所在直线的斜率为k. ∵kAB＝＝－，∴k＝， 又高线过点C(0，－2)， ∴由点斜式方程得高线所在直线方程为y＋2＝(x－0)，即4x－3y－6＝0. 2．(变结论)本例3中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线方程． 解析　由变式1知kAB＝－，即中位线所在直线斜率为－， 由例题知BC的中点为， 所以由点斜式方程可得，与AB平行的中位线所在直线方程为y＋3＝－，即6x＋8y＋9＝0. [素养聚焦]　本题主要考查直线方程形式的灵活应用，突出培养直观想象和数学运算核心素养． 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． [触类旁通] 3．(多选)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0 解析　由题意设直线方程为＋＝1或＋＝1，把点(2，1)代入直线方程得＋＝1或＋＝1，解得a＝3或a＝1，所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0. 答案　AC 知识落实 技法强化 直线的两点式方程及截距式方程． (1)当已知两点坐标，应考虑用两点式求直线方程． (2)利用截距式求直线方程时易忽略过原点的情况导致漏解． 学科网（北京）股份有限公司 $